集团内转移、集团内多元化及其风险

考虑到M（x）的封闭性，它包含了定理，所以x∈ R（X（·），C）。集团风险的单调性（见命题4.1）产生R（X（·），C） r（ξ）+Rd+，因此，下表给出了内模的可达性。引入风险的以下基本性质很容易证明。命题4.3（i）集团风险和总风险是现金不变的，即R（X（·+a），C+a）=R（X（·），C）- a、 R∑（X（·+a），C+a）=R∑（X（·），C）-dXi=1ai。（ii）如果用于构造选择风险度量的r是同质风险度量，且I（tC）=tI（C）表示所有t>0，则r（X（t·），tC）=tR（X（·），C）和r∑（X（t·），tC）=tR∑（X（·），C）表示所有t>0。（iii）如果（4.2）成立，则R∑（X（·），C）≤ R∑（X（·），C）表示C≤ C.备注4.3尽管集团风险部具有货币集值风险度量的自然属性，且总风险与货币风险度量类似，但我们避免将其称为风险度量，因为它们取决于两个参数：一个随机闭集X（C）和该集中的一个特定随机点C。[23]众所周知，随机汇率的多资产模型的风险评估可能会受到所谓的风险套利的影响，这意味着有可能找到一系列选择，这些选择可以通过增加趋于负的资本来进行，从而有可能释放固定资本，保持头寸的可接受性。当且仅当总风险达到该值时，才会出现这种情况-∞. 我们将证明，由于条件（4.1），这对于凸风险度量是不可能的。然而，它可能成为多货币环境中的一个相关问题，随机汇率，见第6.5节，以及通用货币风险度量。

回想一下，一致风险度量的inf卷积是通过接受集的闭凸包定义的，参见[8]。命题4.4如果r是一个具有所有相同成分的凸风险测度，或者是一个具有其成分的非平凡卷积的一致风险测度，那么相应的总风险不同于-∞ 对于满足（4.1）要求的所有IGT组。证明条件（4.1）得出X（C） C+H，所以R（X（·），C） R（·+H，C）=R（C+H）。因此，必须考虑后一种情况。首先假设r是相干的，并且存在一个序列{x（k），k≥ 1} 在Rd中，使Pdi=1x（k）i→ -∞ 作为k→ ∞ 和0∈ R（C+H+x（k））对于所有k.因此，存在ξ（k）∈ Lp（Rd），k≥ 1，使得Pdi=1ξ（k）i≤ 0a.s.和r（C+ξ（k）+x（k））≤ 0.用r表示*r分量的卷积。然后r*（Ci+ξ（k）i+x（k）i）≤ 0表示所有i=1，d、 根据次可加性，r*dXi=1Ci+dXi=1x（k）i≤ R*dXi=1Ci+dXi=1ξ（k）i+dXi=1x（k）i≤ 0.因此，r*（PCi）=-∞, 条件排除了这一点。在凸的情况下，证明与R相似*= 下面的例子表明，使用非凸风险度量（如风险值）可能会导致高维环境中的托里斯克套利。这种套利与风险度量的可分性概念密切相关，将下面的例子与[29]中建议2.2的证明进行比较可以看出这一点。在本文中，我们使用了以下风险价值定义VaRα（η）=- infx:P（η）≤ 十）≥ α（4.6）对于随机变量η。例4.2假设r具有所有相同的分量r=VaRα。此外，假设在非原子概率空间上C=0几乎可以肯定，在Rd中I（C）=H，其中维数d满足d>α-1.分区Ohm 分为A子集，概率d-每个人。

设η（n）i（ω）=-（d）- 1） n代表ω∈ a和η（n）i（ω）=n否则，i=1，d、 nη（n）i=0，所以η（n）∈ H还有，林→∞r（η（n）i）=-∞,因为η（n）i=n在一组概率d之外-1< α.如果d<α，这种构造是不可能的-1.在这种情况下，r（η（n）i）的极限性质得出，对于任何大a和所有i=1，d、 η（n）i>a在一组至多α的概率之外。由于dα<1，所有这些集合的并集不包括Ohm. 这意味着η（n）的所有成分同时以正概率超过a，因此η（n）不是H的选择。注4.4在二维环境中，I（C）=H的风险套利的存在和风险度量r=（r，r）意味着r（ζn）+r(-ζn）→ -∞对于序列ζn∈ Lp（R），n≥ 1.如果r是凸的，或者r=VaRα且α<1/2，这显然是不可能的，而如果α>1/2.4.3绝对可接受性，则可能是不可能的。多元风险度量理论中的主要设置涉及单个代理使用多种货币或在不同市场上操作的情况。在这种情况下，从可达到位置的集合X中存在可接受的选择是一个自然的可接受性要求。相反，代理人的利益，尤其是集团中不同法律实体的保单持有人的利益可能会有所不同。当试图在整个群体中平衡投保人的利益时，人们可能会特别重视不会恶化任何投保人状况的转让，换句话说，满足个人理性约束，参见[18]。定义4.3如果X（C）允许选择ξ，则该对（X（·），C）称为绝对可接受∈ Lp（X（C））使得r（ξ）≤ 0和r（ξ）≤ r（C）。换句话说，这种选择ξ具有所有单独可接受的成分，并且其每个成分的风险都低于C的相应成分。

在财务上，这可能被解释为一个可接受的许可，它导致所有代理人的可接受立场，而不会恶化每个代理人的个人风险评估。条件r（ξ）≤ r（C）可以通过要求r（ξ）来放松∈ r（C）+K表示锥K 研发部-它描述了集团内所有代理人都认为可以接受的一系列个人风险。关于广义个人理性约束的讨论，我们参考[28]。显然，如果C是可接受的，（X（C），C）是绝对可接受的，而下面的例子表明，情况未必相反。例4.3设X（C）=C+H表示C=（C，C），设r=（r，r）具有两个相同的分量，即0.01级的预期差额（ES0.01）。假设r（C）<0，比如改变标准正态分布，让C=min（a）- C、 0）对于一些≥ 比如说a=E（C）。那么Cis clearlynot可接受，所以（C，C）是不可接受的。但是（X（C），C）是绝对可以接受的。在不恶化C风险的情况下，通过转移来降低CBE风险是可能的，这仅仅是因为Cstem的不可接受性源于其在CTA值相当高的集合上的行为。更具体地说，如果η=C，那么（C+η，C- η） 这是可以接受的。因为C- η=0，我们有0=r（C）- η） <r（C）。此外，r（C+η）=r（C），因为η=0，在概率至少为1/2的事件{ω：C（ω）<a}上。因此，Cand C+η的0.01分位数（以及所有下分位数）重合，我们得出结论r（C）=r（C+η）。因此（C+η，C- η） 是可接受的，并且在组成上比（C，C）的风险更低。在许多情况下，不可能确保在最佳风险分配后，没有任何一种药物能够缓解风险恶化。

以下结果表明，在初始资本转移后，个体理性是可能实现的。命题4.5假设存在ξ∈ Lp（X（C））使得pri（ξi）=R∑（X（·），C）。然后存在sp=（p，…，pd）∈ Rd使得Ppi=0和r（ξ+p）≤ r（C）。证明集合R（X（·），C）包含R（C）。此外，M=r（C）+r-∩nx:Xxi=R∑（X（·），C）o6=,因为其他情况下，PRI（Ci）将低于总风险。对于任何一个∈ M、 p=-a+r（ξ）满足要求。命题4.5中的向量p确定了代理人在时间零点支付（或接收）的风险价格，以便产生的头寸不会恶化任何代理人的风险，且集团总风险最小。这一结果在[18，Th.3.3]中针对两种药物得出。5颗粒和固结试验5。1严格粒度测试严格粒度方法假定不允许非平凡IGT，因此I（C）=Rd-, andX（C）=C+Rd-= (-∞, C] ×···×(-∞, Cd]。那么所有从X（C）中选择的风险都不比r（C）好，因此r（X（·），C）=[r（C），∞)对于所有货币风险度量，R∑（X（·），C）=Pri（Ci）。5.2合并和无约束测试要求越来越流行的合并方法要求（2.1）中定义的随机变量D在规定的风险度量方面是可接受的。事实证明，在一致的情况下，该设置对应于最大的可接受IGT集，并将意味着所有资产的不受限制的可替换性，即在考虑的时间段结束时，资产可自由用于结算集团内的任何负债。在这种情况下，I（C）=H={x=（x，…，xd）：Xxi≤ 0}是半个空间，x（C）={x=（x，…，xd）：Xxi≤ D} =C+H。（5.1）注意最大值（0，-D） 是p-可积的当且仅当X（C）有p-可积选择。

即使C本身不是p-可积的，也可能是这样。我们将要求（5.1）中的X（C）为可接受的偿付能力测试称为无约束偿付能力测试。在这种情况下，R（X（·），C）=R（X（C））=R（C+H）和R∑（X（·），C）=inf（dXi=1r（ξi）：ξ=（ξ，…，ξd）∈ Lp（C+H））。（5.2）对于两个代理，在[18]中对这种情况进行了深入研究。下面的结果为具有所有相同组件的r提供了此设置的独立分析，并将其扩展到凸壳和任意数量的代理。定理5.1设C=（C，…，Cd）为p-可积随机向量，设r=（r，…，r）为货币风险测度r。此外，设X（C）由（5.1）给出。i） 如果r是相干的，那么X（C）允许一个可接受的选择当且仅当r（D）≤ 0.在这种情况下，在ξ=d时，可获得增量（5.2）-1（D，…，D）和R∑（X（·），C）=R（D）。ii）假设对于任何p-可积随机向量C，X（C）允许可接受的选择，当且仅当ifr（D）≤ 那么r是次可加的。iii）如果r是凸的，那么X（C）允许一个可接受的选择当且仅当r（Dd）≤ 0.上限（5.2）为ξ=d-1（D，…，D）和R∑（X（·），C）=dr（D/D）。iv）假设对于任何d和任何（C，…，Cd），随机向量（C，…，Cd）的可接受性使d的可接受性降低-1（D，…，D）。那么r是凸的。证明i）假设r（D）≤ 0和定义ξ=d-1（D，…，D），这是X（C）的选择。因为r是正齐次的，所以ξ的所有成分都是可接受的，η=ξ- C产生相应的IGT。注意η的坐标之和几乎肯定会消失。相反，假设存在X（C）的选择ξ，使得r（ξ）≤ 0.设^ξ为ξ在X（C）边界上的投影。注意p^ξi≥Pξi.然后^ξ=C+η，其中η=^ξ- C使得pηi=0a。s

因此，r（D）=rD+Xηi= RX^ξi≤ r（Xξi）≤Xr（ξi）≤ 0 .in（4.4）等于所有a=px的in（D+a）≤ 0，所以就达到了。ii）对于任何p-可积随机向量C，定义C=C+r（C）。根据货币属性，r（C）=0，每C，这是可以接受的。根据假设，D=PCII是可接受的，而货币属性Y为0≥ r（D）=rXCi+Xr（Ci）= RXCi-Xr（Ci）根据需要。iii）如果r（D/D）≤ 0，那么ξ=d-1（D，…，D）是可接受的选择。相反，假设ξ=（ξ，…，ξd）是一个可接受的选择。然后pξi≤PCi，hencedPξi≤dPCi。通过凸性，r（D/D）≤ RdXξi≤dXr（ξi）≤ 0.iv）根据现金不变性，假设等于tor（D/D）≤dXr（Ci）。我们必须证明r（λC+（1- λ） C）≤ λr（C）+（1）- λ） r（C）对于任何C，Cand 0≤ λ ≤ 1、由于r分量的强连续性，对于有理λ=mn，必须显示这一点。将该假设应用于由CdN的mcopies组成的随机向量（C，…，C，C，…，C）- 我是Cyields That R的副本mC+（n）- m） Cn≤mnr（C）+n- mnr（C），因此，证明了该断言。如果r的组成部分不一定一致，那么经典的合并方法和无约束方法不一定会产生相同的风险。如果D=PCiis可接受，那么C+会给出一个可接受的选择，例如由（D，0，…，0）给出。然而，在非凸情况下，无论是ofD还是ofdD的可接受性都不能从可接受选择的存在中得出结论，参见第5.1节。因此，与非凸环境下的经典合并测试相比，基于无约束偿付能力测试计算的集团风险可能过于乐观。命题5.1假设d≥ 2和r具有相同的风险价值组成部分。（i） 如果C。

，CdI对VaRα是可接受的，那么D=PcII对VaRα是可接受的。（ii）如果β<dα，则存在随机变量C，Cd使得Ci对于VaRα是可接受的，但对于VaRβ是不可接受的。尤其是β=α的情况。证明（i）假设产生P（Ci<-ε） <α，对于每个ε>0。然后p（D<-dε）≤XP（Ci<-ε） <dα，意味着在VaRdα下d的可接受性。（ii）选择一个非原子概率空间，让Ohm, . . . , Ohmdbe相互不相交的概率事件α=α- （dα- β） /（2d）。定义Ci（ω）=-ω为1∈ Ohmi、 否则Ci（ω）=0。然后VaRα（Ci）≤ 0代表alli，whilePD<-= P(∪di=1Ohmi） =dXi=1P(Ohmi） =dα=（dα+β）>β，因此d对于VaRβ是不可接受的。1转移限制和总风险在一般单一货币环境中，可接受的终端投资组合集夹在严格粒度方法和无约束方法之间。哪些IGT被接受为可接受的，主要不是一个数学问题。在续集中，我们展示了在设计可受理集I（C）时如何考虑偿付能力评估、交易成本和一些风险来源。选择I=H对应于无约束风险评估，因此在单一货币环境下产生最大可能的可接受IGT集。在一致情况下，命题4.1的单调性会产生这样的结果：在任何限制条件下，与通过执行无约束偿付能力测试方法获得的风险相比，本集团永远不会获得更好的风险。这在下面的命题中正式化。命题6.1设C=（C，…，Cd）为p-可积随机向量，设r=（r，…，r）为凸风险测度r。

如果X（C）是任何可容许的IGT家族，则相应的总风险至少为Td r（d）-1PCi），这是无约束偿付能力测试的总风险。H的限制大大增加了集值偿付能力测试的复杂性。有鉴于此，人们自然会问，与无约束、严格细化的方法相比，对由此产生的资本要求的影响是否重大。命题6.2假设对于一致的Lp风险度量r，r=（r，…，r）。如果不通过限制转移到I（C）来增加无约束的总群体风险，那么对于某些x=（x，…，xd）且Pxi=r（PCi），集合I（C+x）包含一个p-可积选择η，使得r（XCi）=Xr（Ci+ηI）。（6.1）证明如果与非限制设置相比，限制设置中的总风险没有增加，那么pxi中存在x≤ r（PCi），例如xr（Ci+ηi+xi）≤ 0表示I（C+x）的选择η。货币属性产生thatXr（Ci+ηi）≤二十一≤ r（XCi），以及次可加性性质和pηi≤ 0表示相等。a） b）C=（C，C）C=（C，C）X（C）X（C）图1在两个代理人都有偿付能力的情况下（a）和在第二个代理人有偿付能力的情况下（b）可达到的头寸集。6.2没有导致或加剧任何保单持有人破产的转让，要避免的最重要事件之一是其对手破产。因此，为了平衡集团内所有法人实体的所有保单持有人的利益，可接受IGT的自然限制可能是排除超过法人实体资本的转让，前提是该资本为正。此外，也有人认为，如果破产公司的股息因集团内交易而减少，这不符合保单持有人的利益。同样明显的是，在破产的情况下，可替代性受到了极大的限制，例如：。

如果存在具有法律约束力且可执行的集团内部合同，则该破产被分割。因此，为了至少部分地保护破产子公司的保单持有人利益，以及为了包括一些可替代性方面，禁止从一家资本为负的公司转出似乎是合理的。综上所述，有几个原因可以排除将非破产法人实体转变为破产法人实体的转让，以及从破产法人实体转移到另一个法人实体（来自同一集团）的转让。我们对此类IGT使用BBREVIATION NTB（无导致或恶化破产的转让）。在这里，我们提出了一个简单的假设，即破产是根据最终资本头寸C而不是不同的资产负债表来定义的，即转移可能不会将C的非负成分变成负成分。相应的可达到位置集X（C）=C+INTB（C）由INTB（C）={（X，…，xd）：Xxi给出≤ 0，xi≥ -C+i，i=1，d} ，其中a+=a的最大值（a，0）∈ R.注意（4.2）在这种情况下成立，X（C+X）非线性地依赖于X。此外，+X（C）是p-可积有界且上半连续的，因此R（X（C））和群风险R（X（·），C）在相干情况下是闭集，见命题4.2。对于由两个代理组成的群，终端位置集X（C）的顶点位于（C+C+，C）-C+）和（C- C+，C+C+，见图1。因此，hX（C）（u）=hC，ui+（C+（u- u） ，u≥ u、 C+（u）- u） ，u<u，（6.2）表示u=（u，u）∈ R+.6.3对于某些代理人来说，将安全边际转移到消失资本（在NTB下是可能的）可能仍然被认为是进步的，因为代理人在IGT后可能最终没有资本缓冲，即他们几乎破产。鉴于此，值得注意的是，如果将集合I（C）替换为I（C），则对可接受IGT的要求可能会变得更严格- a） 对于固定向量a=（a。