超越凹型情形的离散时间金融市场模型

但是，我们也可以直接看到这一点，因为我们注意到，在净时间无摩擦市场中，如果存在套利机会，也存在买入并持有套利机会。因此，我们得到在固定交易成本模型中，对于一个（随机）效用函数，效用最大化子总是存在，该函数由一个可积随机变量限定。5.市场模型在RN中取值在本节中，我们将展示如何将前几节的定义和结果扩展到市场模型B可能在更一般的空间中取值而不仅仅是R的情况。为了简化论证和数学，我们将把注意力限制在以下情况：→ L（F；Rn）∪ {-∞}),其中A代表所有适应策略的速度。重点-∞ 我出现在空间里；以价值为导向的战略-∞ 非零概率是不可行的。定义2.1中的市场模型公理逐字转移到这里。Axiom A1是市场模型的标准化，表示BV（0）=0 a.s.至于Axiom A2，它逐字传输：对于任何t∈ {0，…，T- 1} ，有什么特别的吗∈ 《金融时报》和《战略》∈ A以下为holdsbV（θ，…，θT）-1） 1A=bV（θ，…，θt）-1，θtA，θt+1，θT-1） 1Aa。s、 也就是说，在集合A之外修改策略∈ FTA不修改集合A的结果。这组模型至少与外汇市场的卡巴诺夫模型[12]一致，并且[2]对该模型进行了修改，以研究信息不完整的市场。后一篇论文的思想是我们的方法的主要动机。定义2.1中的备注5.1价值-∞ 是集合R上规范关系的最小值。在Rn的情况下，对于一个不完整的关系，可能有多个最小元素的概念。

一个概念是声明一个元素，用-∞, 关系的最小元素，并将其附加到空间。这是为了我们的目的。考虑最小元素的另一种方法是使用宇宙闭合的概念，见[20]中的第3章。在集合中，Rnone将在单位处添加点；用Φx 7映射集RN→x1+| x |到开放单位球。点的完整性与图像Φ（Rn）的边界一致。因此，我们可以讨论序列的收敛性（xn） RN通过映射Φ变换序列，到达一个完整的点。空间R被赋予了规范完备关系≥, 因此，它不需要明确提及。然而，在空间上，我们需要明确定义偏序。这将用一个封闭的凸锥K来定义。由锥K生成的顺序将表示为K也就是说，f或两个向量a，b∈ 我们有一个Kb当且仅当ifa- B∈ K.关系的等价性用a表示的Kis~Kb。让K：Ohm => Rn可以是一个封闭的凸锥值可测对应。假设圆锥体满足int K（ω）6= 几乎所有ω。在随机向量L（F；Rn）的空间上，我们定义了一个几乎确定的部分关系：对于向量X∈ L（F；Rn）我们写X如果几乎所有ω都有X（ω）K（ω）Y（ω）。K的圆锥体的正极性用K表示o并定义了byKo(ω) =Y∈ 注册护士hx，易≥ 0十、∈ K（ω）.这是一个集值映射，具有闭值、凸值和锥值。它也是[20]中练习14.12（e）的F可测量对应关系。随机偏序现在可以用以下等价的方式表示：对于两个随机向量X，Y∈ L（F；Rn）我们有XKY当且仅当hZ，Xi≥ hZ，Y i a.s.对应K的每个F可测量选择o.

对应K的F可测选择集o将被L（F；K）包围o).这种关系被扩展到了一点-∞ 通过设置XK-∞ 每X∈L（F；Rn）。此外，我们通过设置hZ来扩展标量积，-∞我=- ∞ 对于每个选择Z∈ L（F；K）o).首先，通过观察，我们可以利用可数函数族推断空间的顺序。引理5.2设C={Zk | k∈ N} 表示可测量的对应关系Ko. 那么对于随机向量X，Y∈ L（F；Rn）我们有XKY if和onlyif hZk，Xi≥ 我几乎可以肯定∈ N.证据。这直接遵循了两极定理，见[20]中的推论6.21。所以，对于我们拥有的几乎所有ω（ω）=十、∈ 注册护士hx，易Y∈ Ko(ω)=十、∈ 注册护士hx，Zk（ω）iK∈ N.通过与上面引理相同的论证，我们可以证明，对于随机向量x，Y∈ L（F；Rn）我们有XKY当且仅当hZ，Xi≥ hZ，Y，i，几乎可以肯定的是，对应关系的所有可测量的选择o.在RN中定义具有值的映射的上半连续性需要一个新的想法。由于由随机锥导出的关系是不完整的，所以上确界的概念不是直接的。关于如何在此设置中定义上确界的想法是一个主题[10]。他们提出的关于锥诱导相关的上确界的构造产生了一个集合，即随机集合中的可测量对应。

目前尚不清楚，人们是否可以利用他们的想法来获得单一价值的高级酸橙定义。为了能够以简单的方式处理上半连续性的概念，我们将通过市场模型的规模化来定义它。定义5.3 A市场模型BV:A→ L（F；Rn）∪ {-∞}) 对于相对内Rik的每一个F可测选择Z，上半导是否成立omappingbVZ:A→ L（F；R）∪ {-∞})θ 7→Z、 bV（θ）是上半连续的。定义上半连续性的一个直接结果是，对于每个Z∈ L（F；Rik）o) VZ有一个表示：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 市场模型BVZ的。为了获得表示定理，我们现在想使用标度市场模型vzt来重构市场模型V：Ohm ×RdT→ 注册护士∪ {-∞}这以适当的方式代表了市场模式。让我们首先证明，如果这是可能的，那么V将具有所需的可测量性。引理5.4 LetbV是一个上半连续市场模型，表示为VZforeach Z∈ L（F；Rik）o). 如果存在映射V：Ohm ×RdT→ 注册护士∪ {-∞}, 这样我们就有了VZ=hZ，每个Z都有vi∈ L（F；Rik）o), 然后它的下标对应hypo V（ω）=（x，y）∈ RdT×RnV（ω，x）K（ω）y是闭值且可度量的。证据设C={Zk | k∈ N} 代表Ko这样C L（Rik）o).让我们扩展映射Vhypo V（ω）={（x，y）的下标图的定义∈ RdT×Rn | V（ω，x）K（ω）y}={（x，y）∈ RdT×Rn|Z∈ C、 VZ（ω，x）≥ hZ（ω），yi}=\\Z∈Cn（x，y）∈ RdT×Rn | VZ（ω，x）≥ hZ（ω），yio=\\Z∈Cn（x，y）∈ RdT×Rn |（x，hZ（ω），yi）∈ hypo VZ（ω）o.最后一个表达式是[20]中示例14.15（b）可测量的F。需要注意的是，它也是一个封闭的通信交叉点。在上述引理中是否存在这样一个映射V不是一个容易的问题。

原因在于以下观察：让Zand Zbe两次选举L（Rik）o). 然后，标量化bvz+zi的自然表示是mappingVZ+VZ。为了证明我们的市场模型bv存在表示V，我们需要说明我们的市场模型表示的特定构造对于每个ω都是svz（ω，·）+VZ（ω，·）=VZ+Z（ω，·）。仔细检查这些证明将表明，我们在n=1的情况下构造表示只产生VZ（ω，·）+VZ（ω，·）≥ VZ+Z（ω，·）作为每个ω的函数。因此，通常不可能找到V：Ohm ×RdT→ 注册护士∪ {-∞} 所有Z的Hz，V i=V Z∈ L（riKo). 然而，如果我们放松对映射V的上半连续性的要求，我们确实得到了一个表示。现在，让我们为映射V构造一个候选者，以表示市场模型。可以很容易地检查集合L（F；Riko) F的可测性可测对应ri K的选择o满足[4]中定理2.8的条件。因此，存在成对不相交集A，一∈ F和Z，锌∈ L（F；Rik）o) 例如：1。Sni=1Ai=Ohm 和K的线性跨度o（ω） i的维数是ω吗∈ 人工智能；2.f或所有我∈ P[Ai]>0，Z（ω），Zi（ω）与ω线性无关∈ 人工智能。现在我们构造映射V。尽管我∈ {1，…，n}当P[Ai]>0时，对于一些映射αk，我们写出V（ω，x）=Pik=1αk（ω，x）zk：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 这取决于hZ（ω），Z（ω）i··hZ（ω），Zi（ω）i。。。。。。。。。hZi（ω），Z（ω）i··hZi（ω），Zi（ω）iα（ω，x）。。。αi（ω，x）=V（ω，x）。。。Vi（ω，x）.矩阵对于所有ω都是可逆的∈ Ai由（Zk）的线性独立性决定，因此αkare是唯一定义的，因此V也是唯一定义的。

还要注意，V是F B（RdT）可测量，因为Viare和上述矩阵有F个可测量元素。我们现在可以很容易地看到，映射V代表了以下意义上的市场模型：对于每个策略θ∈ A恒等式bv（θ）（ω）~K（ω）V（ω，θ（ω））几乎肯定成立。要看到这一点，请选择一个i∈ P[Ai]>0的{1，…，n}。每个选择都是Z∈ L（F；Rik）o) 可以写在一个集合上，作为基向量Z，…，的线性组合，Ziab-Oveab为某些权重βk构造了V:Z=βZ+·β·+βizif∈ L（F；R）。因此als oZ（ω），V（ω，θ（ω））=iXk=1βk（ω）Vk（ω，θ（ω））=iXk=1βk（ω）bVk（ω，θ（ω））=bVZ（θ）（ω）a.s。这意味着V（ω，θ（ω））~集合ω上的K（ω）bV（θ）（ω）∈ 人工智能。因为每个i都有相同的程序，所以它几乎肯定也适用。我们已经展示了以下内容。定理5。5 LetbV:A→ L（Rn）∪ {-∞}) 成为上半成品市场模型。然后存在一个映射V：Ohm ×RdT→ 注册护士∪ {-∞}, 关于toF可测量 B（RdT），这样对于每个θ∈ A我们有bv（θ）（ω）~K（ω）V（ω，θ（ω））a.s.为了获得所需的表示定理，需要证明V的构造独立于{Zk | K=1，…，n}基的选择。然而，这需要市场模型bv的一些附加属性，比如凹性，或者VZlike的表示，比如它是一个Carathéodory被积函数。现在我们来谈谈无套利条件的定义。在上面，我们根据衰退锥定义了无套利条件。这一点在这里不可用，因此我们根据规模化定义了无套利条件。定义5.6我们认为市场模型V满足无套利条件，如果θ ∈ A.五、∞Z（θ）≥ 0 a.s。Z∈ L（F；Rik）o)= {0}.备注5.7此时一个明显的问题是如何检查市场模型是否满足无套利条件。

这里我们给出两种简单的情况，在这种情况下，性质是直接的。1.设V为正齐次的上半连续市场模型。这意味着对于每个λ，V（λθ）=λV（θ）≥ 0.然后，无套利的定义导致了经典的有效无套利条件（参见[11]）：一个市场模型VS描述了无套利条件ifV（θ）K0==> θ = 0.事实上，对于每一个选择∈ L（F；Rik）o), 假设函数vzi为正齐次上半连续函数。因此，V∞Z=VZ。2.设V为存在Random向量ζ的上半连续模型∈ L（F；Rn）和矩阵L∈ L（F；Rn×dT），使得（a）ζ+LθKV（θ）a.s.适用于所有θ∈ A.（b）市场模式θ7→ 满足无套利条件。然后满足无套利条件。的确，每一次∈ L（F；Rik）o)我们有∞Z（θ）=hZ，vi∞(θ) ≤ 赫兹，ζ+L·i∞（θ）=hZ，Lθi，其中通过hZ，ζ+L·i表示函数x7→ 赫兹，ζ+Lxi。在[3]中，这种情况的一种变体被称为高生产率制度的无边际套利（第二种）。现在我们来解释一下一维案例的结果是如何转移到这个设置中的。对于随机向量f∈ L（F；Rn）确定一套主导itAf的策略=θ ∈ A.V（θ）Kf a.s。.引理5.8设V为满足无套利条件的市场模型。那么这个集合的概率是有界的。证据这个证明几乎与一维情况相同，引理4.10。设（θn）是Af中的一个无界序列。引理4.10证明的关键在于提取序列的arandom子序列ψn，而不必调整，以确保ψn1+|ψn|→ ψ几乎可以肯定，并且也可以是|ψ|∈ {0, 1}. 表示A={ω| limn |ψn |=∞} 注意，通过对|ψ|值的假设，ψ1A=ψ。

然后每选一次∈ L（F；Rik）o) 我们有∞Z（ψ）≥ 林尚→∞Z、 1+|ψn | V（ψn）1A≥ 林尚→∞Z、 1+|ψn | f1A= 0，即ψ是一种套利策略。定理5。9设V为满足无套利条件的m市场模型。对于每个随机向量f∈ L（F；Rn）存在一个随机变量kf，使得θ∈ 阿夫拉|θ|≤ 几乎可以肯定。证据我们已经证明了n=1情况下的等价索赔；这种一般情况不需要任何新想法。由于无套利条件是根据选择满足条件确定的<==>\\Z∈L（Rik）o)θ ∈ A.五、∞Z（θ）≥ 0= {0}我们将需要不同的公式化证明。定义过滤F=（F，…，英尺）-1） 对于每个选择Z∈ L（Rik）o) 市场模型集合VZ（θ）=VZ（θ）。所以，我们也修改了AFF=θ适应FVZ（θ）≥ 赫兹，f i a.s。Z∈ L（F；Rik）o).定义随机变量M=ess sup|θ| | θ ∈ Af.当我们在一个向上的集合上取本质上确界时，根据s et Af概率的边界，我们必然有m<∞ a、 现在进入“诱导步骤”。定义过滤F=（F，F，F，…，英尺）-1） ，也就是说，两个西格玛代数等于F，其余的保持不变。定义市场模型VZ（θ）=VZ（θ）- 1|θ|≤m、 其中指示符是凸解析指示符：如果参数为真，则取值0，并且∞ 否则所以，我们也修改了AFF=θ适应FVZ（θ）≥ 赫兹，f i a.s。Z∈ L（F；Rik）o).在继续之前，我们检查无套利条件。假设θ是新市场模式的一个任意机会，即（VZ）∞(θ) ≥ 0 a.s.代表所有Z∈ L（Rik）o). 但是，根据VZ的定义，我们必然有θ=0。这意味着θ是Fadapt的，因此也是（VZ）∞（θ）=（VZ）∞(θ) ≥ 0 a.s.，即θ是市场的套利策略V，这与假设相矛盾。现在，前面的引理意味着af在概率上是有界的。

定义随机变量M=ess sup|θ| | θ ∈ Af,这也是一个向上的集合的本质上确界，因此m<∞a、 s.对所有t到t=t重复此步骤- 1，然后设置Kf=m+·m+mT-1.注意，在证明中，我们称之为集合{ViZ|Z∈ L（F；Rik）o)} 一个市场模型，并将上述声明用于向量值市场模型。这是合理的，因为我们正在从规模化的角度定义所有概念。因此，我们可能会“忘记”在{hZ，vi|Z集合后面的那个∈ L（F；Rik）o)} 有一种市场模式V：Ohm ×RdT→注册护士。我们现在陈述一个经典定理，即无套利意味着超对冲索赔集的封闭性=H∈ L（F；Rn）θ ∈ A:bV（θ）Kh a.s。.我们还定义了集合Cf={h∈ C | hKf a.s.}。引理5.10如果市场模型满足无套利条件，则CFI的概率有界。证据证明的依据与n=1的情况相同。定理5。1 1 LetbV是一个满足无套利条件的上半连续市场模型。当集合C在概率上闭合时。证据设HN是C中的一个序列，它以概率收敛到一个随机向量h。通过一个子序列，我们可以假设几乎肯定会发生收敛。第一步：存在一个g∈ L（F；Rn）这是什么自hn以来，所有n的总重量为Kg a.s→ 哈s、 那么随机变量ρ=supnkhnk是有限的。现在，选择一个可测量的selectionx∈ L（F；int K）和一个F可测随机变量r>0，使得Br（x） int K；这是引理A.4的结论。我们可以选择g=-ρrx。第二步：让 A是一系列的策略与V（θn）坤。通过步骤1和定理5.9，我们知道序列（θn）在意义上是有界的≤ 公斤在证明n=1的情况下，我们可以选择一个随机子序列θτ（n），使得limnθτ（n）=θ∈ A和τ（n）：Ohm → N是随机变量的递增s等式。

现在的结果来自于V是上半连续和V（τ（n））的观察Khτ（n）。那么，V（θ）Kh。我们在这里给出了一个金融市场的简单模型，其风格类似于[2]中提出的市场模型。它是具有交易成本的市场的基本模型。建模方法来自货币市场的第一篇论文[12]。例5.12考虑d资产的金融市场模型。交易员的投资组合被建模为一系列随机向量（Vt）Ti=0，其中的每个分量都说明了交易员在投资组合中持有的股票数量。交易通过订单顺序进入市场。用对角线为零的矩阵集表示。市场中的交易将使用Md元素进行编码，其中插槽（i，j）中的数字表示转移到ass et j的资产i的股份数量。负分录意味着从资产j购买和支付集合i的股份。表示具有A的F适应Md值序列的空间。交易量的一部分作为交易成本被市场吸收。我们将用Ft表示：Ohm ×Md→ Rd由于执行订单而导致的交易者投资组合的变化-1，即f或θ∈ 我们表示Vt- 及物动词-1=英尺（θt-1). 我们的市场模型是V（θ）=PTi=1Fi（θi）-1). 我们假设（i）对于每个固定ω，映射为x7→ Ft（ω，x）是连续的；（ii）对于每个固定x，映射ω7→ Ft（ω，x）是F可测的。换句话说，我们假设F Carathéodory被积函数；这反过来意味着V是一个上半连续市场模型。为了讨论无套利条件，让我们通过将订单锥定义为K=Rd+，将y订单指定为Rd。无套利条件是根据让渡市场模型推导出来的，人们可以很容易地说服自己，这是V∞（θ）=PTi=1F∞我（θi）-1).