超越凹型情形的离散时间金融市场模型

作为f+和f-是映射f的两种表示形式，也可以得出f+（ω，θ（ω））=f-（ω，θ（ω））所有人的a.s.θ∈ L（F；Rd）。考虑闭值F可测对应aε（ω）=（x，y）∈ Rd×RF-（ω，x）+ε≤ Y≤ f+（ω，x）.如果我们能证明Aε= 几乎可以肯定的是，对于所有ε>0，那么对于几乎所有ω，函数f+（ω，·）和f-（ω，·）重合，即在一个空集合外，函数f+（ω，·）是连续的，证明了这一说法。假设P[Aε6=] > 有些ε>0时为0。然后在集合上存在Aε的F可测选择θOhmε= {ω ∈ Ohm | Aε6=}, 我们设定为0(Ohmε） 但是，通过表示结果，这意味着bf（θ）（ω）=f-(ω, θ(ω)) ≤ f+（ω，θ（ω））+ε=bf（θ）（ω）+ε表示ω∈ Ohmε、 也就是说，具有正概率。这是一个矛盾，证明了aε（ω）=a、 例3.13一般来说，顺序连续性并不意味着映射可以用Carathéodory映射来表示。请特别注意以下示例。允许Ohm = 带G平凡和mapbf:L（G；R）的R→ L（F；R）由bf（x）（ω）给出=1倍≥ ω0，否则。很容易看出，映射bf对于任何不含原子的被测物都是等连续的。然而，它不能用卡拉斯气味图来表示。4无套利及后果示例2.4中无价格市场模型中的经典无套利条件为以下公式：xt=1hθt，St+1- 性病≥ 0 a.s==>TXt=1hθt，St+1- Sti=0 a.s.该定义表示，如果交易策略不发生损失，则不会产生收益。考虑这种无套利定义有两个主要原因，一个是技术上的，一个是哲学上的。首先，定义与定义条件的度量无关；它只依赖于测度P的零集，因此，市场模型的无套利性质是“代数的”。

第二个原因是如果一个战略θ∈ A将是一种套利策略，对于任何n>0的情况，nθ也将是一种套利策略，而具有这种属性的模型是不现实的，即交易者不能在现实世界中使自己的头寸任意大。正是这第二个论点，我们建立了无套利条件。这个想法是，一个人不能在不增加负面影响的情况下增加自己的职位。为了描述大价值θ的市场模型，根据衰退模型定义了无套利条件。它是在[16]的金融数学框架中引入的。另请参见[15]了解更一般的介绍。在投资组合优化的背景下[1]中，衰退的论点也更为明显。在第五章的剩余部分：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞}, 其中定义的表示定理将被称为市场模型。也就是说，我们假设市场模型BV是上半连续的。定义4.1让V：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 做一个市场模型。衰退模式V∞: Ohm ×RdT→ R∪ {±∞} 以ω-方式定义asV∞（ω，z）=limλ→∞supδ>λ，|x-z |<λδV（ω，δx）。映射V∞定义明确，因为上面表达式中的限制是递减顺序。根据[20]中的练习14.54，映射∞也是F B（RdT）是可测量的，比如函数x7→ 五、∞（ω，x）对于所有ω都是上半连续且正齐次的。请注意，当V是正同质市场模型时，则V=V∞, i、 衰退映射只是市场模型的上半连续正则化。备注4.2从现在起，我们将注意力限制在上半连续市场车型SBV上有两个原因。首先，我们希望我们的市场模型是半连续的，以证明超边缘索赔集合的完结性。然而，还有一个更微妙的原因。

首先，让我们注意到，在一般情况下，我们也可以定义衰退市场模型asbV∞（θ）=limλ→∞ess supδ>λ，kа-θk∞<λδbV（ΔП）。这可以被视为上半连续边界的衰退图。所以，这里有一个微妙的点：上半连续包络线可能不是R∪{-∞}有价值的，即接受价值+∞ 对一些人来说θ∈ A具有正概率。通过使用sumingupper半连续性，我们排除了这种情况。我们现在定义了无套利条件。这个想法应该与[20]中定理3.10的条件相比较。定义4.3市场模型满足无套利（NA）条件，如果θ ∈ A.五、∞(θ) ≥ 0 a.s。= {0}.作为一个简单的例子，我们可以检查无摩擦市场模型在满足经典无套利条件且不存在大量资产时是否完全满足条件。一个更一般的市场模型是示例2.5中的模型。我们可以很容易地检查衰退市场模型是否由V给出∞（θ）=T-1Xt=0hθt（St+1- St）+(-gt）∞（θt- 977t-1） i.因此，该市场模型满足NA条件，尤其是当（St）是无套利价格过程且g∞t（x）>0 a.s.对于所有x 6=0；在具有比例交易成本的市场理论中，这种价格过程被称为严格一致价格系统。备注4.4无套利条件已在[14]中以不可缩放套利的名义出现，并针对凸交易成本和市场的加性结构进行了定义。关于无套利条件的类似观点可以在[3]中找到，即第二类高产量制度的无边际套利。他们假设市场是无套利的，如果它可以被一个有效的市场模型支配，满足无套利条件。

这也意味着，在我们的定义下，它是无套利的。备注4.5这是一个微不足道的观察结果，在前面的备注中提到：如果VandVare有两个市场模型，V（ω，x）≤ V（ω，x）表示所有（ω，x），如果V满足无套利条件，则V也满足无套利条件。通过这一观察，我们可以理解比例交易成本理论：具有比例交易成本的集合定价的基本原理表明，具有比例交易成本的市场模型V是无套利的，当且仅当我们能够找到一个无摩擦且无套利的主导V模型。准确地说，VN需要满足有效的无套利条件，并且不允许冗余资产。下面的例子表明，这种等价性在非凸市场模型中不再成立。示例4.6在具有两种状态的一步模型中Ohm = {ω，ω}和平凡的初始西格玛代数，我们定义了一个如下的市场模型：V（ω，x）=|x |：ω=ω-|x |：ω=ω市场模型是正齐次的，其衰退锥正好等于V。很明显，市场模型满足无套利条件。然而，我们不能用任何无摩擦的市场模式来控制它。让f∈ L（F；R）∪ {-∞}) 是一个随机变量。用Cf表示支配f的所有超边缘主张的集合，即Cf=G∈ L（F；R）Z∈ A:V（z）≥ G≥ f.a.s。. （4） 此外，用C定义市场上所有超级边缘索赔的集合，即表示C=C-∞.我们现在确定了市场的可行性。我们的意思是对市场模型的最小假设，这使得谈论预期效用最大化是明智的。定义4.7我们认为，如果集合Cf对每个有限随机变量f的概率有界，则市场模型是可行的∈ L（F；R）。满足NA条件的引理4.8市场模型是可行的。证据

在证明中，我们考虑f∈ L（F；R）给定并固定。假设Cf在概率上是无界的，let（θn） 一系列策略，使得P[V（θn）≥n] 对于someδ>0，δ>0。我们将讨论序列（θn）在概率上是无界的，其余的由下一节的引理4.10给出。对于几乎所有ω，函数x7→ V（ω，x）是上半连续的[-∞, ∞)值，因此它们在紧上有界。因此，存在一系列有限随机变量（mi），例如V（ω，x）≤ 每x的mi（ω）∈ 球的半径为i，中心为0。假设策略序列（θn）的概率是有界的。通过定义，对于每个ε>0，我们可以找到一个M>0，这样∈NP[|n |≥ M] <ε。接下来，选择anN>0，使P[supi=1，…，Mmi≥ N]<ε。我们估计P[|V（θk）|>N]=P[|V（θk）|>N，k>M]+P[|V（θk）>N，k |≤ M]≤ P[|k>M]+P“MXi=1mi|∈（一）-1，i]>N#≤ε+P“supi=1，…，Mmi>N#≤ε+ε= ε.这也意味着策略集（θn）的概率是无界的。根据引理4.10，这反过来意味着市场模型不能满足NA。备注4.9反向含义通常不正确。NA条件只是有效的，但不是生存的必要条件。市场模型V（z）=0（根据我们的定义，它不是无套利的）已经不满足条件，尽管该模型显然是可行的。对于一个随机变量f，定义一个子集Afof策略，即Af=θ ∈ A.V（θ）≥ f.a.s。.引理4.10设f∈ L（F；R）是一个随机变量，V是一个满足NA条件的市场模型。那么af的概率是有界的。这本质上是对[20]中定理3.10的一种修改；也可与[15]进行比较。证明基于随机子序列的思想：引理4.11 Let（fn） L（F；Rn）是一个随机向量序列，使得P[lim infn | fn |<∞] =1.

然后，随机dom变量（τ（n））的序列不断增加 L（F；N）这样的（Fτ（N））几乎肯定会收敛到L（F；R）中的一个随机变量。证据引理4.10。这个论点是自相矛盾的：假设af不受概率的限制。我们可以选择一个序列（θk）k∈N 这已经是无限的可能性了。然后，通过使用随机子序列的思想，我们想证明存在一个带有V的策略∞(^θ) ≥ 0 a.s.我们对每个步骤t重复以下算法，从t=0开始，按递增顺序进行。通过（θk）我们表示上面的原始序列，并使用修改后的序列（^θk）；该序列的第一个版本，即在开始算法之前，我们定义为θk=^θk。如果集合{ω| lim infk→∞|^θkt |=∞} 具有非零概率，用A表示，并定义一系列随机变量λt（k）=1+|^θkt |在A上，外部为零；否则设置λt（k）=1。我们传递给一个可测的子序列（τt（k）），这样，通过上述引理，随机变量序列λt（τt（k））^θτt（k）t几乎肯定会收敛。在继续下一步t+1之前，替换原始序列^θkbyλt（τt（k））τt（k）。表示τ（k）=τ（…τT）-2（τT）-1（k））…）λ（k）=T-1Yt=0λt（τt（…τt-2（τT）-1（k））…），我们可以很容易地看到，这些序列是以这样一种方式构建的：在完成上述程序后，^θk满足^θk=λ（k）θτ（k）和k→ 对于某些适应策略∈ A.现在我们展示V∞(φ) ≥ 几乎可以肯定。我们有0=limk→∞λ（k）f≤ 林克→∞λ（k）V（θτ（k））=limk→∞λ（k）V^θτ（k）λ（k）！≤ 林克→∞supλ∈（0，λ（k））|x-φ(ω)|≤λ（k）λVxλ= 五、∞(φ).这是一个矛盾，因为通过构造，s策略是非零的，我们假设模型满足无套利条件。请注意，上述计算是按ω进行的。引理4.12 Let（θn） A可以是概率有界的序列。

然后，存在随机变量的递增序列（τ（n）） L（F；N）使得（τ（N））最确定地收敛到一个适应的策略∈ A.证据。我们遵循与前一个证明类似的论点。取一个可测量的子序列τ（k），使序列τ（k）收敛到一个有限的随机变量^θ。然后传递到τ（k）的可测子序列τ（k），使得θτ（k）收敛到^θ。我们以这种方式继续，直到我们得到一个随机子序列τ（k），使得τ（k）收敛到一个可预测的策略。定理4。1.3如果市场模型满足无套利条件，则超套期保值债权集C的概率闭合。证据选择一系列随机变量∈ 在概率上收敛到某个随机变量h的∈ L.通过传递到子序列，我们可以假设序列几乎肯定收敛到h。设（θk）为相应的策略等式，例如hk≤ V（θk）。现在，请注意，几乎可以肯定的是，收敛意味着pointwiseminimum f=infkhkis是一个有限的随机变量。通过上面的引理，我们知道这个集合（θk）在概率上是有界的。Let（τ（k）） L（F，N）是引理4.12中定义的递增序列。注意我们还有hτ（k）≤ V（τ（k））。注意V是点态上半连续的，我们得到h=limn→∞hτ（k）≤ 林素福→∞V（τ（k））≤ V（θ），这表明f∈ C.备注4.14之前的陈述通常被称为“超边缘定理”。乐舞团∈ L（F；R）是一个随机变量，即或有权益的支付。我们将f的价格定义为p的最小值∈ R使得f- p是超可边的，即ρ（f）=infP∈ RF- P∈ C.上述结果表明，如果ρ（f）是有限的，则存在策略θf∈ 这样的≤ ρ（f）+V（θf）a.s.这是清楚的，因为序列f- 2.-N C收敛于a.s。

对于f，根据前面的定理，这个主张如下。现在，我们将证明，如果市场模型满足NA条件，那么最终财富将受到巨大限制。我们从以下观察开始。定理4。1.5让V成为满足NA和f的市场模型∈ L（F；R）一个随机变量。然后存在一个有限的随机变量K，使得任何策略θ∈ 满足后≤ 当然不是。证据根据引理4.10，满足可容许性条件的策略集是概率有界的。在这里，我们用这个观察来证明一个更强的界。我们将根据时间步数进行归纳。为了证明战略第一步的合理性，我们定义了以下集合ψ=H∈ L（F；R+）θ ∈ Af:|θ|≥ H,它包含了f到FirstComp组件的超边缘策略的所有限制规范。请注意，集合在概率上是有界的，并且也是向上的。因此，存在一系列策略（θk） 一个这样的例子：limk→∞|θk |=ess supψ。由于超边f的策略集在概率上是有界的，所以集合{| k | k也是有界的∈ N} 因此，随机变量m=ess supψ是有限的。接下来，定义简化的市场模型，定义ω，如下v（ω，x，…，xT）-1） =supy∈Rd | y|≤m（ω）V（ω，y，x，…，xT）-1).注意，对于每一个ω最大化都是在一个紧集上，这意味着V（·几乎肯定是上半连续的（参见[20]中的定义1.16和定理1.17]）。Vis也可以联合测量，因此是一个市场模型（见[20]的推论14.34和命题14.47）。很明显，V（θ，…，θT-1) ≥ f所有策略θ∈ 之后，通过V的构造，我们认为市场模型Valso满足无套利条件。首先，我们计算市场模型V的衰退函数∞（x，…，xT）-1） =limΔ0supλ∈（0，δ），|x-u |<ΔλVuλ。

，uT-1λ= limΔ0supλ∈（0，δ），|x-u |<δsupy∈Rd | y|≤m（ω）λVy、 uλ，美国犹他州-1λ= 五、∞（0，x，…，xT）-1） 因此，如果原始市场模型V满足无套利条件，那么简化的市场模型V也满足该条件。重复第一步的步骤，得到随机变量m，mT-1.然后我们可以将随机变量K定义为K=m+·m+mT-1.引理4.16如果市场模型满足NA条件，则随机变量F=ess sup cffite。证据让Mibe表示有限的随机变量，例如V（x）≤ 每个x∈ Bi（0）。从前面的定理中选择随机变量K，我们得到以下估计：Mf≤∞Xi=1MiK∈（一）-1，i]这是有限的。我们现在给出一个基本的效用最大化结果。阿玛肟化剂存在的基本陈述基本上遵循[8]。我们在这里给出了一个相当一般的公式。正半直线上的随机效用函数U是映射U：Ohm ×R+→ 就这样。f或每个ω∈ Ohm, 映射x→ U（ω，x）是非递减的。2.f表示每个随机变量X∈ L（F）我们有ω7→ U（ω，X（ω））相对于σ代数F是可测的。我们通常会忽略U对ω的依赖性。在凸分析语言中，我们可以说映射U是一个递增的正规被积函数。所需的性质足以使合成物o V正规被积函数；见[20]中的14.45号提案。效用最大化设置的基本语句是以下定理4。设U为随机效用函数，f为随机变量。设M=ess sup，并假设U（M）∈ L.然后，针对以下效用最大化问题的优化器存在SUPθ∈AE[U（V（θ））]=E[U（V（θ）]*))].证据我们可以假设这个问题是非常重要的，也就是说，存在这样一种策略，即e[U（V（θ））]>-∞.

否则，任何策略都是效用最大化。如果问题满足无套利条件，则最优策略存在于[8]的定理2中。使用引用文件中的表示法，集合φ（x，ω）=U（ω，V（ω，x））。然后：（i）通过假设可以测量；（ii）它由随机变量u（M）控制∈ L（iii）inf紧性来自定理4.15。注意，在上面的例子中，不需要假设效用函数是凹的。事实上，[8]中引用的定理2的证明是通过动态编程实现的。只有对偶方法需要凸性。[17]最近表明，在[8]的引用结果中，inf紧性可以被移除，并替换为与无套利条件相同的衰退条件。因此，财富的统一下限是不必要的。我们将给出固定交易成本的例子，这是推动这项研究的主要例子。例4.18假设我们是d维无摩擦股票价格过程，λ>0，交易者需要为每一次港口货物再平衡支付的成本。为了策略θ∈ A、 交易的最终财富用v（ω，θ）=TXt=1hhθt，St（ω）表示- 圣-1（ω）i- λ1（θt）i.注意，如果x，这里的指示函数1B（x）取值1∈ 否则为B和0。当无摩擦股票价格过程S是无套利且不存在冗余资产时，V给出的市场模型是无套利的。的确，请注意这一点∞（ω，θ）=PTt=1hθt，St（ω）-圣-1（ω）i正是市场中无摩擦的部分，这一点可以从中得出结论。