高斯函数多曲线延拓的导数定价，

受信贷风险类比的启发，但也受通过在相应的单曲线（无风险）数量上添加利差来推导多曲线数量的常见做法的启发，在这种情况下，即短期利率rt，让我们将Libor（风险）债券价格定义为¨p（t，t）=EQ经验-ZTt（如+苏）杜| 英尺, （9） 多曲线高斯指数二次短期利率模型的衍生定价。仅在违约风险的情况下，ST对应于风险率/违约强度，但在这里，它更一般地对应于影响Libor利率的所有因素，即除了信用风险，还有流动性风险等。请注意，利差从一开始就在这里引入。简单地考虑了一个男高音因此，对于单个p（t，t），我们也将只考虑单个排列。然而，一般来说，一个排列有st每一个男高音.我们现在需要一个RTA和stand的动力学模型，我们将直接在鞅测度Q（鞅建模）下定义这个模型。3短期利率模型3。1.模型如前所述，我们将考虑RTA的动态模型和鞅测度Q的单价差，在实践中，必须根据市场进行校准。为此，我们将考虑一个因素模型，其中有几个因素驱动rtandst。在危机前的单曲线设置中，短期利率的两个基本因素模型类，即指数函数模型类和指数二次模型类，都考虑了灵活性和分析可处理性，这反过来又允许线性和可选利率衍生工具的闭式或半闭式公式。前者通常比后者更为人所知，但后者有其自身的优势。

事实上，对于指数函数类，我们将考虑由因子的线性组合给出的RTA和STA，因此，为了获得正性，我们必须考虑因子的平方根模型。另一方面，在高斯指数二次类中，我们考虑均值回复高斯因子模型，但RTA和Stapper的线性组合中至少有一些因子是平方的。这样，因子的分布始终保持高斯分布；在平方根模型中，它是一个非中心χ-分配还要注意的是，指数二次模型可以看作是平方根指数函数模型的对偶。在危机前的单曲线设置中，指数二次模型已在El Karoui等人（1992年）、Pelsser（1997年）、Gombani和Runggaldier（2001年）、Leippold和Wu（2002年）、Chen等人（2004年）和Gaspar（2004年）中得到考虑。然而，由于危机前的指数曲线模型更为常见，因此也有更多的尝试将其扩展到危机后的多曲线设置（有关概述和详细信息，请参见Grbac和Runggaldier（2015））。Kijima等人（2009年）首次将指数二次模型扩展到多曲线环境，本论文致力于可能的完全扩展。现在，让我们展示RTA和st的模型，其中我们不仅考虑了短速率rtitself，还考虑了其传播st由因子的线性组合给出，其中至少一些因子显示为平方。为了保持陈述8 Zorana Grbac和Laura Menegholl以及Wolfgang J.Runggaldiersimple，我们将考虑少量因素，并且为了对RTA和st之间可能的相关性进行建模，最小的因素数量是三个。

从一些计量经济学文献中也可以看出，少量因素可能足以对大多数情况进行充分建模（另见达菲（1999）和达菲（1999）以及戈尔利安（2001））。给定三个独立的细因子过程ψit，i=1,2,3，在qt下，高斯动态ψit=-biψitdt+σidwit，i=1,2,3，（10），其中bi，σi>0，wit，i=1,2,3，独立Q-维纳过程，我们让rt=ψt+（ψt）st=κψt+（ψt），（11）其中，ψ是允许RTA和st之间瞬时相关的共同系统因子，相关强度κ和ψ与ψ是特质因子。可以添加其他因素来驱动st，但包含常见和特殊成分的最小模型需要三个因素，如上所述。公共因素尤其重要，因为我们希望在模型中考虑RTA和stin之间非零相关性的现实特征。备注3.1此处考虑的零均值回归水平仅为方便更简单的公式，但很容易被视为正值，因此，短期利率和利差只能以很小的概率变为负值（参见Kijima和Muromachi（2015），以高斯因子的形式表示利差，确保利差保持非负值，并且仍然允许RTA和st之间的相关性）。

然而，请注意，鉴于当前的市场情况，观察到的利率非常接近于零，有时也为负，甚至考虑了均值回归水平为负的模型，以及均值回归参数中的制度转换模型。备注3.2对于短期利率本身，我们也可以考虑模型rt=φt+ψt+（ψt），其中φ是一个非终结性的移位扩展（见Brigo and Mercurio（2006）），允许在具有恒定模型参数的短期利率模型7中对初始期限结构进行良好的调整。在模型（11）中，我们加入了一个线性项ψt，它可能会导致利率和利差的负值，尽管在（10）型模型的情况下，只有很小的概率具有正均值回归水平。包含该线性项的优点是模型更具通用性和灵活性。此外，它还允许用p（t，t）乘以一个因子来表示p（t，t）。这一特性将导致调整系数，通过调整系数，人们可以将危机后的数量表示为相应的危机前数量，见Morino和Runggaldier（2014），其中首次提出了这一想法，并将其与多条曲线的指数精确短期率模型联系起来。多曲线高斯指数二次短期利率模型93.2债券价格（OIS和Libor债券）的衍生定价在本小节中，我们推导了（3）中定义的OIS债券p（t，t）和（9）中定义的实际Libor债券p（t，t）的显式定价公式。因此，Rtand和Stare应该由（11）给出，因子过程ψi根据（10）在标准鞅测度Q下旋转。

定义矩阵F=-B000-B00-B, D=σ0 0σ0 0σ（12） 考虑到向量因子过程ψt:=[ψt，ψt，ψt]′，以及多元维纳过程Wt:=[Wt，Wt，Wt]′，其中′表示转置，动力学（10）可以以合成形式asdψt=Fψtdt+DdWt重写。（13） 使用关于指数二次项结构的结果（见Gombani和Runggaldier（2001），Filipovi\'c（2002）），我们得到了p（t，t）=EQne-特鲁杜Fto=EQne-RTt（ψu+（ψu））duFto=exph-A（t，t）-B′（t，t）ψt-ψ′tC（t，t）ψti（14）和，设置Rt:=Rt+st，\'p（t，t）=EQne-特鲁杜Fto=EQne-RTt（（1+κ）ψu+（ψu）+（ψu））duFto=exph-\'A（t，t）-\'B′（t，t）ψt-ψ′t′C（t，t）ψti，（15）其中A（t，t），\'A（t，t），B（t，t），\'B（t，t），C（t，t）和\'C（t，t）是需要确定的标量、向量和矩阵值的确定性函数。为此，我们回顾了Heath Jarrow Morton（HJM）的方法，当（14）中的p（t，t）代表无风险零息票债券的价格时。HJMAP方法导致了所谓的HJM漂移条件，该条件对（14）中的系数施加了条件，因此产生的价格p（t，t）并不意味着套利的可能性。由于无风险债券是交易的，无套利条件通过要求p（t，t）bt为Q来表示-B的鞅定义如（1）所示，正是这个鞅性质产生了漂移条件。在我们的例子中，p（t，t）是OIS债券的价格，该债券不一定是可交易的，通常与无风险债券的价格不一致。然而，无论OIS债券是否交易，p（t，t）BTA都是Q-通过（14）中p（t，t）的定义（见（14）中的第一个等式），我们可以使用相同的HJM方法来获得（14）中系数的条件。10 Zorana Grbac和Laura Meneghlo以及Wolfgang J。

另一方面，关于（15）中的系数，Runggaldierf回忆道，“p（t，t）”是一种不可交易的活跃资产，因此不受任何无套利条件的约束。然而，请注意，通过类比（14）中的p（t，t），根据（15）中第一个等式给出的定义，“p（t，t）”bt是Q-\'Bt的鞅由\'Bt:=expRtRudu给出。因此，p（t，t）和‘p（t，t）这两种情况可以在完整的分析中处理，前提是我们使用‘p（t，t）的数字’Bt。接下来我们将从Q-（14）和（15）中对应于经典HJM漂移条件的p（t，t）bt和“p（t，t）”bt条件的鞅性，从而导致对这些系数的颂歌。为此，我们将类比Gombani和Runggaldier（2001）中的第2节，特别是其中命题2.1的证明，我们还将参考该命题的更多细节。引入“瞬时远期利率”f（t，t）：=-Tlog p（t，t）和¨f（t，t）：=-t对数p（t，t）和设置a（t，t）：=TA（t，t），b（t，t）：=TB（t，t），c（t，t）：=从（14）和（15）我们获得了（14）和（15）我们从（14）和（14）和（15）我们获得了（t，t，t）我们从（14）和（15）我们获得了f（t，t）我们获得了（t，t，t）t=a（t，t，t）t=a（t，t，t）t（t，t，t）t=a（t，t，t，t，t，t，t，t，t）t+b（t，（t，t，t，t，t，t，t，t，t，t，t，t）b（t）b（t，t，t，t）b（t，t）b（t）b（t，t，t）b（t，t）b（t）和（t）b（t）b（t）b（t）b（t）b（t，t，t，t，t）和（18）的（18）的（18）的（18）的回顾：=c（t，t），类似地，对于带有条形的相应量，t=a（t）+b′（t）ψt+ψ′tc（t）ψt（19）和rt=rt+st=\'a（t）+\'b′（t）ψt+ψ′t\'c（t）ψt。

（20） 将（19）和（20）与（11）进行比较，我们得到以下条件，其中i，j=1,2,3，即a（t）=0bi（t）=1{i=1}ci j（t）=1{i=j=2}\'a（t）=0\'bi（t）=（1+κ）1{i=1}\'ci j（t）=1{i=j=2}∪{i=j=3}。使用下一个事实p（t，t）=exp-ZTtf（t，s）ds, \'p（t，t）=exp-ZTt-f（t，s）ds,并将p（t，t）bt和‘（t，t）’bt设为Q-在鞅中，我们可以得到由c（t，t），b（t，t），a（t，t）满足的常微分方程，类似地，对于带条的量。将这些常微分方程与多曲线高斯指数二次短期利率模型的二元导数定价相结合，得到（16）（详情见命题2.1 inGombani和Runggaldier（2001））的证明（Ct（t，t）+2FC（t，t）-2C（t，t）DDC（t，t）+c（t）=0，c（t，t）=0’Ct（t，t）+2F’c（t，t）-2\'C（t，t）DD\'C（t，t）+\'C（t）=0，\'C（t，t）=0（21）带C（t）=0 0 00 1 00 0 0\'c（t）=0 0 00 1 00 0 1.

（22）F，D，c（t）和‘c（t）的特殊形式以及边界条件c（t，t）=0和‘c（t，t）=0意味着只有c，‘c，’关心非零并满足Ct（t，t）-2bC（t，t）-2（σ）（C（t，t））+1=0，C（t，t）=0’Ct（t，t）-2b\'C（t，t）-2（σ）（\'C（t，t））+1=0，\'C（t，t）=0\'Ct（t，t）-2b\'C（t，t）-2（σ）（\'C（t，t））+1=0，\'C（t，t）=0（23），可以显示为溶液C（t，t）=C（t，t）=2（e（t-t） h-1） 2h+（2b+h）（e（T-t） h-1） \'C（t，t）=2（e（t-t） h-1） 2h+（2b+h）（e（T-t） h-1） （24）当hi=p4（bi）+8（σi）>0时，i=2,3。其次，通过类比Gombani和Runggaldier（2001）中命题2.1的证明，一阶项的系数B（t，t）和‘（t，t）的向量可以满足以下系统（Bt（t，t）+B（t，t）F-2B（t，t）DDC（t，t）+b（t）=0，b（t，t）=0\'Bt（t，t）+b（t，t）F-2\'B（t，t）DD\'C（t，t）+B（t）=0，\'B（t，t）=0（25），其中B（t）=[1,0,0]\'B（t）=[（1+κ），0,0]。同样地，注意到只有B（t，t），\'B（t，t）是非零的，系统（25）变成（Bt（t，t）-bB（t，t）+1=0b（t，t）=0\'Bt（t，t）-b（t，t）+（1+κ）=0（t，t）=0（26）导致显式解B（t，t）=B1.-E-b（T）-（t）\'B（t，t）=1+κB1.-E-b（T）-（t）= （1+κB（t，t）。（27）12 Zorana Grbac和Laura Meneghollo以及Wolfgang J.Runggaldier最终，A（t，t）和‘（t，t）必须满足（At（t，t）+（σ）C（t，t）-（σ） （B（t，t））=0，\'At（t，t）+（σ）\'C（t，t）+（σ）\'C（t，t）-（σ） （\'B（t，t））=0（28），边界条件A（t，t）=0，\'A（t，t）=0。通过积分上述方程，可以简单地得到显式表达式。综上所述，我们已经证明了以下命题3.1假设OIS短期利率r和价差s由（11）给出，因子过程ψit，i=1，2，3，在标准鞅测度Q下根据（10）演化。

OIS债券p（t，t）的时间-t价格，如第（3）条所述，由p（t，t）=exp给出[-A（t，t）-B（t，t）ψt-C（t，t）（ψt）]，（29）和（9）中定义的实际伦敦银行同业拆借利率债券p（t，t）的时间t价格，由p（t，t）=exp[-\'A（t，t）-（κ+1）B（t，t）ψt-C（t，t）（ψt）-\'C（t，t）（ψt）]=p（t，t）exp[-~A（t，t）-κB（t，t）ψt-\'C（t，t）（ψt）]，（30）式中，A（t，t）：=\'A（t，t）-A（t，t），其中A（t，t）和A（t，t）由（28）给出，B（t，t）由（27）给出，C（t，t）和C（t，t）由（24）给出。尤其是，表达式（30）给出了p（t，t）的¨p（t，t）。在此基础上，我们将在下一节推导出从危机前数量到相应危机后数量的公告调整系数。3.3远期计量（10）中根据标准鞅计量Q定义了基础因素模型。对于衍生产品价格，我们将在以下两部分中确定，在远期计量下工作将很方便，考虑到单一期限, 我们将考虑通用（T+)-向前看。将测量值从Q改为QT的密度过程+isLt:=d QT+d QFt=p（t，t+)p（0，T）+)Bt（31），从中接上（29）和的鞅性质p（t，t）+)英国电信T≤ T+多曲线高斯指数二次短期利率模型的衍生定价13dLt=Lt-B（t，t+)σdwt-2C（t，t+)ψtσdwt.这意味着吉尔萨诺夫定理dw1，T+t=dwt+σB（t，t+)dtdw2，T+t=dwt+2C（t，t+)ψtσdtdw3，t+t=dwt（32）为QT+-维纳过程。

从Q-动力学（10）然后我们得到以下QT+-系数dψt=-bψt+（σ）b（t，t+)dt+σdw1，T+tdψt=-bψt+2（σ）C（t，t+)ψtdt+σdw2，T+tdψt=-bψtdt+σdw3，T+t、 （33）注释3.3在动力学（10）中，对于ψit，（i=1,2,3），在Q下，我们假设了零平均回复水平，在（t+)-正向测量由于测量转换，ψt的平均回复水平与零不同。引理3.1类似于p（t，t）代表风险债券的价格的情况，同样对于被视为OIS债券的p（t，t），我们有p（t，t）p（t，t）+)是aQT吗+-鞅。证据我们已经看到，对于（3）中定义的OIS债券，我们有（1）中的BTA，比率（t，t）BTA是Q-鞅。根据Bayes公式，我们得到了haveET+np（T，T）p（T，T）+)| Fto=EQnp（0，T+)英国电信+p（T，T）p（T，T）+)|FtoEQnp（0，T+)英国电信+|Fto=EQnp（T，T）p（T，T+)EQnBT+|FTo | Ftop（t，t+)Bt=BtEQnp（T，T）p（T，T+)p（T，T）+)BT | Ftop（t，t+)=BtEQnp（T，T）BT | Ftop（T，T+)=p（t，t）p（t，t）+),从而证明了引理的说法。我们记得，我们表示了关于QT度量的期望+拜特+{·}. （33）中的动力学导致ψit的高斯分布，i=1,2,3，给定B（·）和C（·），具有均值和方差et+{ψit}=\'αit=\'αit（bi，σi），VarT+{ψit}=\'βit=\'βit（bi，σi），可以显式计算。更准确地说，我们有14名佐拉娜·格巴克、劳拉·梅内格洛和沃尔夫冈·J·伦格尔迪耶αt=e-bthψ-（σ） 2（b）e-b（T）+)(1 -e2bt）-（σ） （b）（1）-ebt）i′βt=e-2bt（e2bt）-1） （σ）2（b）’αt=e-（bt+2（σ）~C（t，t）+))ψ′βt=e-（2bt+4（σ）~C（t，t）+))Rte2bs+4（σ）~C（s，T）+)（σ） ds′αt=e-btψβt=e-2bt（σ）2b（e2bt-1） ，（34）与C（t，t）+) =2（2）对数2b（e（T+-t） h-1） +h（e（T）+-t） h+1）+t（2b+h））（2b+h）（2b-h）-2（2）对数2b（e（T+)H-1） +h（e（T）+)h+1）（2b+h）（2b-h） （35）和h=p（2b）+8（σ），其中我们假设了确定性初始值ψ、ψ和ψ。