高斯函数多曲线延拓的导数定价，

有关上述计算的详细信息，请参见推论4的证明。1.3. 在Menegholl（2014）中，4线性利率衍生工具的定价我们在第3.2小节中讨论了第3.1小节中引入的高斯指数二次短期利率模型中OIS和Libor债券的定价。在本文的剩余部分，我们将关注利率衍生品的定价，即以伦敦银行同业拆借利率为基础利率的衍生品。在本节中，我们将讨论基本的线性衍生工具，即框架和利率互换，而非线性衍生工具将在下面的第5节中讨论。对于下一小节4.1中讨论的FRA费率，我们将在第4.1.1小节中展示由于从单曲线FRA费率传递到多曲线FRA费率而产生的调整系数。4.1我们首先回顾标准远期利率协议的定义。我们强调，我们使用的教科书定义与市场定义略有不同，见Mercurio（2010）。定义4.1考虑到时间点0≤T≤ T<T+, 远期利率协议（FRA）是一种场外衍生品，允许持有人在一般日期锁定≤ T起始日期T和到期日期T之间的利率+在多曲线高斯指数二次短期利率模型的非激励定价中，15固定值R。

成熟时+根据利率R（适用于名义金额N）进行支付，并根据相关汇率（通常为即期伦敦银行同业拆借利率（T；T，T）进行支付+))收到了。回想一下，对于伦敦银行同业拆借利率，我们假设关系式（8）在接受时间T，也就是l（T；T，T）成立+) =\'p（T，T+)-1.,价格是t≤ T、 固定利率R和名义利率N的FRA的+)- 正向测量asPFRA（t；t，t+,R、 N）=Np（t，t）+)ET+{L（T；T，T+) -R | Ft}=np（t，t+)ET+n′p（T，T+)-(1 +R） |Fto，（36）定义t，t:=ET+\'p（T，T+)| 英尺, （37）从（36）中很容易看出，FRA的飞行速率，即FRA速率，是由Rt给出的=（？/t，t）-1). （38）在单曲线的情况下，我们有替代品=（νt，t）-1） ，（39）式中，给定p（·，T）p（·，T）+)是QT+-鞅（见引理3.1），νt，t:=ET+p（T，T）+)| 英尺=p（t，t）p（t，t）+), （40）这是单曲线情况下FRA率的经典表达式。注意，与（37）相反，（40）中的表达式可以基于债券价格数据显式计算，无需利率模型。4.1.1调整系数我们将在这里展示以下命题4.1我们有关系16 Zorana Grbac和Laura Meneghollo以及Wolfgang J.Runggaldierνt，t=νt，t·AdT，休息，t（41）带adt，t:=EQnp（t，t+)\'p（T，T+)| Fto=EQnexphA（T，T+)+κB（T，T+)ψT+-C（T，T+)（ψT）i | Fto（42）andResT，t=exph-κ（σ）2（b）1.-E-B1.-E-b（T）-（t）i、 （43）其中，A（t，t）在（30）之后定义，B（t，t）在（27）中定义，C（t，t）在（24）中定义。证据首先，我们从（30）中得到p（T，T）+)\'p（T，T+)= e~A（T，T）+)+κB（T，T+)ψT+-C（T，T+)（ψT）。（44）在（37）中，我们现在从（T）变回+)- 使用（31）中给出的密度过程将度量向前推到标准鞅度量。

进一步使用上述OIS和Libor债券价格比率的表达式，并考虑到因子过程中短期利率Rt的定义，我们得到t，t=ET+\'p（T，T+)英尺= L-1问题LT¨p（T，T+)英尺=p（t，t）+)情商经验-ZTtrudup（T，T）+)\'p（T，T+)英尺=p（t，t）+)exp[~A（T，T）+)]方程C（T，T+)（ψT）Fto·EQne-RTt（ψu+（ψu））由κB（T，T）引起+)ψTFto=p（t，t+)exp[~A（T，T）+)]方程C（T，T+)（ψT）Fto·EQne-RTtψudueκB（T，T+)ψTFtoEQne-RTt（ψu）duFto，（45）其中我们使用了Q下因子ψi，i=1,2,3的独立性。现在回顾一下精细过程理论（参见。

Grbac和Runggaldier（2015）中的引理2.1）指出，对于一个过程ψt化（10），我们对所有δ，K∈ 请求经验-ZTtΔψudu-KψT| 英尺= exp[α（t，t）-β（t，t）ψt]，（46）式中（β（t，t）=Ke-b（T）-（t）-δbE-b（T）-（t）-1.α（t，t）=（σ）RTt（β（u，t））du。多曲线高斯指数二次短期利率模型的衍生定价17k=-κB（T，T+) δ=1，并从（27）中回忆出B（t，t）=B1.-E-b（T）-（t）, 这导致了toEQne-RTtψudueκB（T，T+)ψTFto=exp“（σ）（κB（T，T+))中兴通讯-2b（T）-u） 杜-κB（T，T+)（σ） 中兴通讯（u，T）e-b（T）-u） du+（σ）ZTt（B（u，T））du+κB（T，T+)E-b（T）-（t）-B（t，t）ψt#。（47）另一方面，从第3.2节的结果来看，对于一个过程ψt满足（10），我们也有经验-ZTt（ψu）du| 英尺= 经验-α（t，t）-C（t，t）（ψt）,其中C（t，t）对应于（24）和（见（28））α（t，t）=（σ）ZTtC（u，t）du。这意味着经验-ZTt（ψu）du| 英尺= 经验-（σ） ZTtC（u，T）du-C（t，t）ψt.（48）将（47）和（48）替换为（45），并根据（28）、（27）和（24）分别用A（·）、B（·）、C（·）回忆（29）中p（t，t）的表达式，我们得到△νt，t=p（t，t）p（t，t）+)e~A（T，T）+)方程C（T，T+)（ψT）Fti·exph（σ）（κB（T，T+))中兴通讯-2b（T）-u） du+κB（T，T+)E-b（T）-t） ψti·exph-κB（T，T+)（σ） 中兴通讯（u，T）e-b（T）-u） 酒后驾车。我们回忆起p（T，T）的表达式+)\'p（T，T+)事实上，根据（46），我们有eqneκB（T，T+)ψTFto=exp（σ） （κB（T，T+))中兴通讯-2b（T）-u） du+κB（T，T+)E-b（T）-t） ψt.18 Zorana Grbac和Laura Meneghlo以及Wolfgang J。

将这些表达式插入到（49）中，我们得到了结果，即¨νt，t=p（t，t）p（t，t+)EQnp（T，T+)\'p（T，T+)Fto·exph-κB（T，T+)（σ） 中兴通讯（u，T）e-b（T）-u） dui=p（t，t）p（t，t）+)EQnp（T，T+)\'p（T，T+)Fto·exph-κb（e-B-1)(σ)2（b）（1）-E-2b（T）-t） )-（b） （1）-E-b（T）-t） )i、 （50）我们还使用了RTTB（u，T）e-b（T）-u） du=ZTtb1.-E-b（T）-u）E-b（T）-u） du=-2（b）1.-E-2b（T）-（t）+（b）1.-E-b（T）-（t）.备注4.1调整系数AdT，这是一些直观的解释。这里我们只提到κ=0（RTA和st的独立性）情况下最简单的一个。在这种情况下，我们用rt+st>r来表示p（T，T+) < p（T，T）+)所以AdT，T≥ 1.此外，对于κ=0，剩余因子总是有值的，t=1。所有这一切反过来又意味着≥νt，耐心等待≥Rt，这就是人们所期望的情况。备注4.2（初始期限结构的校准）。模型（10）中的系数ψItan的参数，以及模型（11）中的短利率RTA和价差的参数bian和σifor i=1,2,3。从（14）中注意，对于i=1,2，这些系数输入了OIS债券价格p（t，t）的表达式，该表达式可以被认为是可观察的，因为它们可以从OIS掉期利率的市场报价中自举。因此，我们可以假设这些系数，即biandσifor i=1,2，可以像危机前的单曲线短期利率模型那样进行校准。仍需校准b、σ，可能还有相关系数κ。通过（15），它们会影响实际的伦敦银行同业拆借利率债券p（t，t）的价格，但这些价格是不可观察的。人们可能会观察到，尽管FRA对RTA和RTA进行了评级，因此也会对νt，t以及νt，t进行评级。通过（41），这将允许人们也对剩余参数进行校准。

如果人们能够通过其他方式获得κ的值，这个任务就会变得更加简单。我们强调，为了确保良好的初始债券期限结构，我们考虑了模型的确定性移位扩展或时间相关系数。我们还记得，为了简单起见，我们假设平均回归水平等于零；在实践中，每一个因数ψit都需要再校准一个系数。多曲线高斯指数二次短期利率模型的衍生品定价194.2利率互换我们首先回顾（付款人）利率互换的概念。给出了一组日期0≤ T<T<···<tn和γ≡γk:=Tk-Tk-1（k=1，··，n）以及名义金额n，付款人掉期是一种金融合同，其中名义金额n的利息支付流以固定利率R进行，交换条件是收到与伦敦银行同业拆借利率相对应的模拟流。在涉及伦敦银行同业拆借利率和支付日期的各种可能约定中，我们在此选择其中一种，即每个间隔[Tk]-1，Tk]，提前确定伦敦银行同业拆借利率，并拖欠款项。因此，掉期在T开始，第一笔付款在T进行。收款人掉期与收到的利息完全对称；这里我们集中讨论付款人互换。掉期的无套利价格，估值为t≤T、 由以下表达式给出，其中，类似于ET+{·}，我们用ETk{·}表示关于前向测度QTk（k=1，···，n）PSw（t；t，Tn，R）=γn的期望∑k=1p（t，Tk）ETk{L（Tk）-1.Tk-1、Tk）-R | Ft}=γn∑k=1p（t，Tk）（L（t；Tk）-1、Tk）-R） 。（51）为了便于记法，我们假设概念为1，即N=1。接下来，我们将从（51）中的第一个等式开始，获得PSw（t；t，Tn，R）的显式表达式。

为此，回顾（24）中的C（t，t）=C（t，t），再次引入一些速记符号，命名为AK:=\'A（Tk）-1，Tk），Bk:=B（Tk-1，Tk），Ck:=C（Tk-1，Tk）=C（Tk-1，Tk，\'Ck:=\'C（Tk-1，Tk）。（52）在（51）中要计算的关键量是下面的oneETk{γL（Tk-1.Tk-1，Tk）|Ft}=ETkn﹪p（Tk-1，Tk）|Fto-1=eAkETk{exp（（κ+1）BkψTk）-1+Ck（ψTk）-1） +Ck（ψTk）-1） ）|英尺}-1，（53）我们在（30）中使用了右边的第一个关系。（53）中的期望值必须根据量度QTk进行计算，根据量度QTk，与（33）类似，各因素的动态Cdψt=-bψt+（σ）b（t，Tk）dt+σdw1，ktdψt=-bψt+2（σ）C（t，Tk）ψtdt+σdw2，ktdψt=-bψtdt+σdw3，kt。（54）其中wi，k，i=1，2，3是关于QTk的独立维纳过程。（46）对因子过程ψtsatis20 Zorana Grbac和Laura Meneghollo以及Wolfgang J.Runggaldier的情况进行了一个直接的推广，得出了以下结果：船壳白色模型dψt=（a（t）-bψt）dt+σdwt可通过以下公式获得：经验-ZTtΔψudu-KψT| 英尺= exp[α（t，t）-β（t，t）ψt]，（55）带β（t，t）=Ke-b（T）-（t）-δbE-b（T）-（t）-1.α（t，t）=（σ）ZTt（β（u，t））du-ZTta（u）β（u，T）du。（56）我们将这一结果应用于我们的情况，即在qtK下，过程ψtsatis在（54）中检测到第一个SDE，因此对应于上述动力学与a（t）=-（σ） B（t，Tk）。此外，设置K=-（κ+1）Bk和δ=0，我们在（53）ETk{exp（（κ+1）BkψTk）的第二行中获得第一个期望值-1 |Ft}=exp[Γ（t，Tk）-ρ（t，Tk）ψt]，（57）带ρ（t，Tk）=-（κ+1）Bke-b（Tk）-t） Γ（t，Tk）=（σ）ZTktρ（u，Tk）du+（σ）ZTktB（u，Tk）ρ（u，Tk）du。（58）对于（53）第二行中剩下的两个期望，我们将使用以下引理4.1，让一个通用过程ψt用wta维纳过程来满足动力学ψt=b（t）ψtdt+σdwt（59）。

那么，对于所有的C∈ R使EQ经验C（ψT）< ∞,我们有经验C（ψT）| 英尺= 经验Γ（t，t）-ρ（t，t）（ψt）（60）ρ（t，t）和Γ（t，t）满足ρt（t，t）+2b（t）ρ（t，t）-2（σ）（ρ（t，t））=0；ρ（T，T）=-CΓt（t，t）=（σ）ρ（t，t）。（61）证据。应用It^o公式得出，非负过程Φt:=（ψt）满足以下SDEdΦt=（σ） +2b（t）Φtdt+2σpΦtdwt。我们记得，对于多曲线高斯指数二次短期利率模型21dΦt=（a+λ（t）Φt）dt+ηpΦtdwt，a，η>0，λ（t）为确定性函数，以导数定价的一般形式给出的过程Φt是一个CIR过程。因此，（ψt）在分布上等价于CIR过程，其系数由λ（t）=2b（t），η=2σ，a=（σ）给出。根据金融期限结构模型的理论（参见Lamberton和Lapeyre（2007年），或Grbac和Runggaldier（2015年）中的引理2.2），现在可以得出以下结论：经验C（ψT）| 英尺= 等式{exp[CΦT]|Ft}=exp[Γ（T，T）-ρ（t，t）Φt]=expΓ（t，t）-ρ（t，t）（ψt）ρ（t，t）和Γ（t，t）满足（61）。推论4.1当b（t）关于时间是常数时，即b（t）≡ b、 也就是λ（t）≡λ、 然后（61）中ρ（t，t）和Γ（t，t）的方程允许由以下公式给出的显式解：ρ（t，t）=4bhe2b（t-t） 4（σ）he2b（t-（t）-1带h:=C4（σ）C+4bΓ（t，t）=-（σ） ZTtρ（u，T）du。（62）现在进入（53）第二行的第二个期望，并使用（54）中的第二个等式，我们得到（t）：=-b+2（σ）C（t，Tk）,σ：=σ，C=ck并应用引理4.1，前提是过程ψ的参数带σ满足引理的假设。

因此我们得到了EtK{exp（Ck（ψTk-1） ）|Ft}=exp[Γ（t，Tk）-ρ（t，Tk）（ψt）]，（63）和ρ（t，t），Γ（t，t）满足ρt（t，t）-2.b+2（σ）C（t，Tk）ρ（t，t）-2（σ）（ρ（t，t））=0ρ（Tk，Tk）=-CkΓ（t，t）=-（σ） ZTtρ（u，T）du。（64）最后，对于（53）第二行中的第三个期望，我们可以利用这样一个事实，即当从被测qtq传递到前向测量QTk时，ψtdo的动力学不会改变。然后我们可以应用引理4.1，这一次（见（54）中的第三个等式）b（t）：=-b、 σ：=σ，C=\'Ck22 Zorana Grbac和Laura Meneghollo以及Wolfgang J.Runggaldierand确保过程ψ的参数带σ满足引理的假设。由于b（t）对时间是常数，推论4.1也适用，我们得到了k{exp（\'Ck（ψTk-1） ）|Ft}=exp[Γ（t，Tk）-ρ（t，Tk）（ψt）]，其中ρ（t，Tk）=-4bhke-2b（Tk）-t） 4（σ）hke-2b（Tk-（t）-1带有hk=\'Ck4（σ）\'Ck-4bΓ（t，Tk）=-（σ） ZTktρ（u，Tk）du。（65）通过使用（53）中预期的明确表达式，并考虑（29）中p（t，t）的表达式，可以立即得出（51）中的无障碍掉期价格可以根据以下命题4.2表示在t≤ 由PSW给出（t；t，Tn，R）=γn∑k=1p（t，Tk）ETk{L（Tk）-1.Tk-1、Tk）-R | Ft}=n∑k=1p（t，Tk）Dt，ke-ρ（t，Tk）ψt-ρ（t，Tk）（ψt）-ρ（t，Tk）（ψt）-（Rγ+1）=N∑k=1Dt，ke-至少，克-~Bt，kψt-~Ct，k（ψt）-~Ct，k（ψt）-（Rγ+1）e-至少，克-Bt，kψt-Ct，k（ψt）,其中t，k:=A（t，Tk），Bt，k:=B（t，Tk），Ct，k:=C（t，Tk）~Bt，k:=Bt，k+ρ（t，Tk），~Ct，k:=Ct，k+ρ（t，Tk），~Ct，k:=ρ（t，Tk）Dt，k:=eAkexp[Γ（t，Tk）+（t，Tk）]，（64）和（65），以及（52）中的Akas。5非线性/可选利率衍生工具在本节中，我们考虑以伦敦银行同业拆借利率为基础的主要非线性利率衍生工具。

它们也被称为衍生性，因为它们具有期权的形式。在第5.1小节中，我们将考虑盖的情况，并对称地考虑楼板的情况。在随后的第5.2小节中，我们将集中交换期权作为第4.2小节中讨论的付款人交换类型的期权。多曲线高斯指数二次型短期利率模型235.1上限和下限的衍生品定价由于上限可以通过互换固定利率和伦敦银行同业拆借利率的作用以完全对称的方式处理，我们将集中在上限上。此外，为了保持演示的简单性，我们在这里只考虑时间间隔[T，T]的一个caplet+] 对于固定利率R（还记得我们只考虑一个期限）). 在时间T时caplet的收益+伊斯托斯（L（T；T，T+) -R） +，假设名义N=1，其时间t价格pcpl（t；t+,R） 由以下风险中性定价公式在正向测度QT下给出+PCpl（t；t）+,R）=p（t，t）+)ET+（L（T；T，T）+) -R） +|英尺.鉴于推导定价公式，从第3.3小节中回顾，根据（T+)- 向前测量，在时间T，因子ψi具有独立的高斯分布（见（34）），并给出均值和方差，对于i=1,2,3，byET+{ψit}=\'αit=\'αit（bi，σi），VarT+{ψit}=\'βit=\'βit（bi，σi）。在下面的公式中，我们将考虑（ψT，ψT，ψT）在T下的联合概率密度函数+正向测量，即使用过程的独立性ψit，（i=1,2,3），f（ψT，ψT，ψT）（x，x，x）=∏i=1fψiT（xi）=∏i=1N（xi，\'αiT，\'βiT），（68），并在续集中使用fψiT（·）的简写符号fi（·）。