高斯函数多曲线延拓的导数定价，

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英文标题：
《Derivative pricing for a multi-curve extension of the Gaussian,
  exponentially quadratic short rate model》
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作者：
Zorana Grbac, Laura Meneghello, Wolfgang J. Runggaldier
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The recent financial crisis has led to so-called multi-curve models for the term structure. Here we study a multi-curve extension of short rate models where, in addition to the short rate itself, we introduce short rate spreads. In particular, we consider a Gaussian factor model where the short rate and the spreads are second order polynomials of Gaussian factor processes. This leads to an exponentially quadratic model class that is less well known than the exponentially affine class. In the latter class the factors enter linearly and for positivity one considers square root factor processes. While the square root factors in the affine class have more involved distributions, in the quadratic class the factors remain Gaussian and this leads to various advantages, in particular for derivative pricing. After some preliminaries on martingale modeling in the multi-curve setup, we concentrate on pricing of linear and optional derivatives. For linear derivatives, we exhibit an adjustment factor that allows one to pass from pre-crisis single curve values to the corresponding post-crisis multi-curve values.
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中文摘要：
最近的金融危机导致了所谓的期限结构多曲线模型。这里我们研究了短期利率模型的多曲线扩展，除了短期利率本身，我们还引入了短期利率利差。特别地，我们考虑了一个高斯因子模型，其中短期利率和利差是高斯因子过程的二阶多项式。这导致了一个指数二次模型类，它不如指数仿射类那么广为人知。在后一类中，因子以线性形式输入，对于正性，我们考虑平方根因子过程。虽然仿射类中的平方根因子具有更复杂的分布，但在二次类中，因子仍然是高斯分布，这导致了各种优势，尤其是对于衍生产品定价。在对多曲线系统中的鞅模型做了一些初步研究之后，我们将重点讨论线性和可选导数的定价。对于线性衍生工具，我们展示了一个调整因子，允许人们从危机前的单曲线值传递到相应的危机后多曲线值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

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PDF下载：
--> Derivative_pricing_for_a_multi-curve_extension_of_the_Gaussian,_exponentially_qu.pdf (312.01 KB)

2022-5-9 15:26:38 上传

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关键词：distribution Quantitative Exponential derivatives Polynomials

高斯指数二次短期利率模型多曲线扩展的衍生产品定价Zorana Grbac和Laura Meneghhello以及Wolfgang J.RunggaldierAbstract最近的金融危机导致了所谓的多曲线短期利率模型。这里我们研究了短期利率模型的多曲线扩展，除了短期利率本身，我们还引入了短期利率利差。特别地，我们考虑了一个高斯因子模型，其中短期利率和利差是高斯因子过程的二阶多项式。这就产生了一个指数二次模型类，它不如指数二次模型类那么广为人知。在后一类中，因子以线性形式输入，对于正性，我们考虑平方根因子过程。虽然在函数类中平方根因子的分布更复杂，但在二次类中，平方根因子仍然是高斯分布，这导致了各种优势，尤其是对于衍生品定价。在对多曲线系统中的鞅模型做了一些初步研究之后，我们将重点讨论线性和可选导数的定价。对于线性衍生工具，我们展示了一个调整因子，允许人们从危机前的单曲线值传递到相应的危机后多曲线值。Zorana Grbaclaboratoroire de Probabilit\'es and Mod\'eles Al\'eatoires，巴黎迪德罗大学-巴黎7号，法国邮件：grbac@math.univ-巴黎狄德罗。frLaura Meneghellodiapartmento di Matematica Pura ed Applita，Universit\'a di Padova，途经的里雅斯特63，I-35121Padova目前的联系：Gruppo Banco Popolare免责声明：观点，本文中表达的想法和观点是作者以个人身份提出的，不应将其归因于Gruppo Banco Popolare或作为GruppoBanco Popolaree mail:Menegholl代表或员工的作者。laura@yahoo.comWolfgangJ

帕多瓦大学Matematica Pura ed Applita公寓，经的里雅斯特63，I-35121Padova电子邮件：runggal@math.unipd.it2Zorana Grbac和Laura Meneghollo和Wolfgang J.RunggaldierKeywords：多曲线模型、短期利率模型、短期利差、高斯指数二次模型、线性和可选利率衍生品的定价、Riccati方程、调整因子。1简介最近的金融危机严重影响了金融市场，尤其是高端市场。危机提出的关键特征是交易对手和流动性/融资风险。在利率衍生品中，基础利率通常为伦敦银行同业拆借利率/欧洲银行同业拆借利率。这些风险由银行小组决定，因此反映了银行间市场的各种风险，尤其是交易对手和流动性风险。不同期限的伦敦银行同业拆借利率之间的标准无套利关系已经破裂，不同期限的伦敦银行同业拆借利率之间以及伦敦银行同业拆借利率和OIS掉期利率之间出现了显著的利差，其中OIS代表隔夜指数掉期。有关该问题的更多详细信息，请参见方程式（5）-（7）及其后的图表，以及Bormetti等人（2015）的论文和本卷中的相应版本。这使得从业者和学者都建立了多曲线模型，其中未来现金流通过与基础利率相关的曲线产生（通常是伦敦银行同业拆借利率，每个期限结构一条），但通过另一条曲线贴现。对于危机前的单曲线设置，已经提出了各种利率模型。一些标准模型类别包括：短期利率模型；Heath Jarrow Morton（HJM）设置中的瞬时远期利率模型；市场远期利率模型（伦敦银行同业拆借利率市场模型）。

在本文中，我们考虑了短期利率模型类的一个可能的多曲线扩展，相对于其他模型类，它尤其具有更容易得到马尔可夫结构的优点。短期利率模型的其他多曲线扩展也出现在文献中，如Kijima等人（2009年）、Kenyon（2010年）、Filipovi\'c和Trolle（2013年）以及Morino和Runggaldier（2014年）。本论文考虑的是指数二次模型，而上述论文中的模型主要涉及指数二次模型，Kijima等人（2009）中提到的指数二次模型除外。下文将提供有关指数型和指数型短期利率模型之间差异的更多详细信息。受信贷风险类比的启发，同时也受通过在相应的单曲线无风险量上增加利差来推导多曲线量的常见做法的启发，我们将考虑在短期利率本身旁边，将短期利率利差添加到短期利率中，每个可能的期限结构一个利差。请注意，这些价差是从一开始就添加的。为了尽可能简单地讨论基本思想，我们只考虑两条曲线模型，即一条曲线用于贴现，另一条曲线用于生成未来现金流；换句话说，我们将考虑一个单一的基调结构。因此，Weshall将重点放在短期利率RTA和单一短期利率利差上，针对多曲线高斯、指数二次短期利率模型3的衍生定价为其动态，引入因子模型。在危机前的单曲线设置中，短期利率有两个基本因素模型类别：指数型和指数型二次模型类别。在这里，我们将集中讨论具有高斯因子的不太常见的二次类。

在指数函数类中，为了保证利率和利差的正性，通常考虑因子的平方根模型，因子的分布为χ。在指数二次类中，因子具有更方便的高斯分布。本文的结构如下。在初步的第2节中，我们主要讨论与鞅建模相关的问题。在第3节中，我们介绍了多曲线高斯指数二次模型类。在第4节中，我们讨论线性利率衍生品的定价，最后在第5节中讨论非线性/期权利率衍生品。2.准备工作2。1贴现曲线和抵押。在存在多条曲线的情况下，对未来现金流贴现曲线的选择，以及对用于定价的标准鞅测度的相关数值选择，换句话说，没有套利的问题，变得非常重要（例如，见Kijima和Muromachi（2015）中的讨论）。为了避免套利问题，一个人可能应该有一个共同的贴现曲线来应用于所有未来现金流，独立于期限。OIS curveT 7给出了一个已被广泛接受并成为实际标准的选择→ p（t，t）=可以从OIS利率中剥离的POI（t，t），即OIS中的公平利率。证明这一选择的论据（在实践中通常会被提及）是这样一个事实：大多数交易利率衍生品现在都被抵押，用于抵押物报酬的利率正是隔夜利率，即OIS所依据的利率。此外，由于期限较短，隔夜利率的风险很小，因此可以认为是相对无风险的。

在这种情况下，我们还指出，与完全抵押交易相对应的价格被视为清洁价格（该术语最初由Cr\'epey（2015）和Cr\'epey等人（2014）提出）。由于目前大多数情况下都采用了抵押，因此在为利率衍生品定价时，人们可能会忽略各当事方之间的交易对手和流动性风险，但不能忽略整个银行间市场中的交易对手和流动性风险。这些风险通常被统称为银行间风险，它们是多曲线现象的主要驱动因素，如文献所述（参见例如Cr’epey和Douady（2013年）、Filipovi’c和Trolle（2013年）以及Gallitschke等人（2014年））。因此，我们将考虑考虑多曲线问题的单周期估值公式。考虑合同中各个交易对手之间的交易对手风险和融资问题的可能方法包括4 Zorana Grbac、Laura Meneghollo和Wolfgang J.Runggaldier遵循一种导致非线性衍生估值的全球估值方法（见Brigo et al.（2012）、Brigo et al.（2013）和其中的其他参考文献，具体而言，Rpallavicini和Brigo（2013）提出了一种全球估值方法（具体应用于利率建模），或考虑了通常在清洁价格基础上计算的各种估值调整（见Cr’epey（2015））。完全非线性估值更可取，但更难实现。另一方面，估值调整更加统一，并在实践中使用，这进一步证明了仍在寻找清洁价格的合理性。

关于抵押品在利率衍生品定价中的明确作用，我们参考了帕拉维奇尼和布里戈（2013）的上述论文。2.2鞅测度资产定价的基本定理将无风险的经济原理和鞅测度的概念联系起来。众所周知，这是一种度量，在这种度量下，以同一个计价单位表示的交易资产价格是局部鞅。利率市场的模型通常是不完整的，因此没有套利就有许多鞅度量。利率建模的一种常用方法是进行鞅建模，即直接在一般鞅测度下对利率量进行建模；然后必须进行校准，以选出感兴趣的特定鞅度量。鞅测度下的建模现在对模型施加了一些条件，在利率理论中，一个典型的此类条件是Heath Jarrowmoton（HJM）漂移条件。从OIS债券开始，我们将首先导出一个合适的数值，然后考虑作为鞅测度的测度Q，在该测度下，不仅OIS债券，而且债券市场中被视为基本量的FRA合约，当以给定数值的单位表示时，都是局部鞅。在这个基本市场中，我们可以添加各种衍生工具，强制规定它们的价格（以计价单位表示）是Q下的局部鞅。选择了OIS曲线t7→ p（t，t）作为贴现曲线，考虑瞬时远期利率f（t，t）：=-Tlog p（t，t）并设rt=f（t，t）为一般时间t的相应短期利率。定义OIS银行账户asbt=expZtrsds（1） 和往常一样，标准鞅度量Q作为度量，相当于物理度量P，与银行账户Btas numeraire关联。

因此，由Bt贴现的所有资产的无套利价格必须是关于Q的局部鞅。对于衍生品定价，其中也包括FRA定价，通常更方便地使用与OISP（t，t）相关的远期度量QT作为基准。对于多曲线高斯指数二次型短期利率模型5d QTd Q，这两个测度Q和QTd通过其RadonNikodym密度过程导数定价相关联Ft=p（t，t）Btp（0，t）0≤ T≤T.（2）如前所述，我们将遵循传统的马尔可夫模型，模型动力学在鞅测度Q下分配。这导致根据top（T，T）=EQ确定OIS债券价格经验-ZTtrudu| 英尺（3） 在指定了Q之后-r的动态。现在谈到FRA合同，回想一下，它们涉及远期利率协议，在时间t为未来区间[t，t]建立+], 时间T在哪里+收到与浮动利率相对应的利息，以换取与固定利率R相对应的利息。关于付款时间，存在各种可能的约定。在这里，我们选择拖欠付款，在本例中，这意味着在时间T+. 通常情况下，浮动利率由伦敦银行同业拆借利率给出，在假设拖欠款项后，我们还假设利率在利息区间开始时固定，此处为T。回想一下，为了简化解释，我们将自己简化为两条曲线的设置，只涉及agiven tenor的单一伦敦银行同业拆借利率. 在T+因此是速率L（T；T，T+),在初始时间T固定。对于一个幺正实数，使用+)-前向测量QT+作为定价手段，t的无套利价格≤ 分包合同的T是thenPFRA（T；T，T+,R）=p（t，t）+)ET+{L（T；T，T+) -R | Ft}，（4）其中ET+表示关于度量QT的期望值+.

从这个表达式可以得出，使合同公平的固定利率R的值为byRt=ET+{L（T；T，T+) | Ft}:=L（t；t，t+) （5） 我们称之为L（t；t，t）+) 远期伦敦银行同业拆借利率。注意，L（·；T，T+) 是aQT吗+-构造鞅。为了建立一个L（T；T，T）的模型+), 回想一下，由于缺少任意参数，在未来时间间隔[t，t]的时间t的经典离散复合远期利率+] 由f（t；t，t）给出+) =p（t，t）p（t，t）+)-1.,其中p（t，t）表示无风险零息债券的价格。这一表达也可以通过以下事实来证明：它代表了一份转运费率协议中的公平固定费率，其中在T+is6 Zorana Grbac和Laura Menegholl以及Wolfgang J.RunggaldierF（T；T，T+) =p（T，T）+)-1.（6） 我们有（t；t，t+) = ET+{F（T；T，T）+) | Ft}。（7） 这使得远期利率与无风险债券价格一致，后者代表市场对货币未来价值的预期。在金融危机之前，L（T；T，T+) 假设它等于F（T；T，T）+), 允许在确定衍生价格时进行各种简化的假设。危机过后+) 不再等于F（T；T，T）+)以及我们对F（T；T，T）的考虑+) 事实上，它是离散复合的，基于OIS债券，即使OIS债券不一定等同于无风险债券（关于该问题的更多细节，请参见Grbac和Runggaldier（2015）第1.3.1和1.3.2节）。特别是伦敦银行同业拆借利率L（T；T，T+)不能用（6）的右边表示。

事实上，L（T；T，T+) 6=F（T；T，T）+) 由（5）和（7）表示也为L（t；t，t+) 6=F（t；t，t）+) 福尔特≤ 这导致了aLibor OIS spreadL（T；T，T+) -F（t；t，t）+).根据最近的一些文献（如Kijima et al.（2009）、Cr\'epey et al.（2012）、Filipovi\'c和Trolle（2013）），现在一种可能性是保持L（T；T，T）的经典关系（6）+) 因此，将债券p（t，t）替换为实际风险债券p（t，t），假设其受到与伦敦银行同业拆借利率相同的因素的影响。此类债券可被视为Libor集团代表银行发行的普通债券，因此在本文中有时被称为aLibor债券。这导致toL（T；T，T+) =\'p（T，T+)-1.. （8） 回想一下，为了说明的简单性，我们认为单一期限的伦敦银行同业拆借利率是单一期限的还有一个单一的有效债券。一般来说，每个期限有一个伦敦银行同业拆借利率和一个有效债券，即（T；T，T+) 和“p”（T，T+). 请注意，weshall对债券价格p（t，t）进行建模，对所有t和t进行建模≤ T，尽管只有价格p（T，T+), 对于所有T，都需要关系（8）。此外，请记住键p（t，t）是有效的，它们不必满足边界条件p（t，t）=1，但为了简化模型，我们仍然假设这个条件。推导L（t；t，t）的动力学模型+), 现在，我们可以推导出p（t，t）的动态模型+), 我们必须记住，后者不是交易量。