在接近极限时出售资产的极小极大完美停止规则

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Minimax perfect stopping rules for selling an asset near its ultimate
  maximum》
---
作者：
Dmitry B. Rokhlin
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We study the problem of selling an asset near its ultimate maximum in the minimax setting. The regret-based notion of a perfect stopping time is introduced. A perfect stopping time is uniquely characterized by its optimality properties and has the following form: one should sell the asset if its price deviates from the running maximum by a certain time-dependent quantity. The related selling rule improves any earlier one and cannot be improved by further delay. The results, which are applicable to a quite general price model, are illustrated by several examples.
---
中文摘要：
我们研究了在极小极大条件下，在接近其最终最大值时出售资产的问题。引入了基于后悔的完美停车时间概念。完美停止时间的唯一特征是其最优性，并具有以下形式：如果资产的价格偏离运行最大值一定的时间依赖量，则应出售资产。相关的销售规则改进了之前的规则，不能再延迟了。这些结果适用于一个相当普遍的价格模型，并通过几个例子加以说明。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Minimax_perfect_stopping_rules_for_selling_an_asset_near_its_ultimate_maximum.pdf (174.45 KB)

2022-5-10 13:08:52 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative Optimization illustrated Measurement QUANTITATIV

MINIMAX完美停止出售资产的规则，包括其最终最大IMUMDMITRY B.摘要。我们研究了在极小极大条件下，在接近其极限最大值的情况下出售n个资产的问题。引入了基于regre t的完美停止时间概念。完美停止时间的唯一特征是其最优性，并具有以下形式：如果资产价格偏离运行最大值一定的时间依赖量，则应出售资产。相关的销售规则比之前的任何规则都要完善，不能再拖延下去了。这些结果适用于一个相当普遍的价格模型，并通过几个例子加以说明。1.介绍假设代理人希望在到期日T之前以Xτ的价格出售资产，该价格尽可能接近最终最大值X*T=max0≤T≤TXt。资产价格是一个连续函数t7→ Xt（ω），取决于未知结果ω∈ Ohm.销售规则τ（ω）可能取决于价格历史{Xs:s≤ τ (ω)}. 对于这样的规则τ，差X*T（ω）- Xτ（ω）可以被认为是销售价格Xτ低于最高价格的因素。如果代理非常悲观，他可以尝试最小化值supω∈Ohm（十）*T（ω）- 所有停止规则τ上的Xτ（ω））（1.1）。然而，这种方法有些粗糙。这样的最优销售规则τ*绝对不是唯一的，从这个意义上说，即使是确定性的（即ω的独立性）也可以是最优的。更重要的是，τ*无需满足贝尔曼的最优原则，如下所述。我们将过去的遗憾、未来的遗憾和整体的遗憾与每一条销售规则联系起来。基于后一个量，我们引入了非完全停止规则的概念。

考虑到具有不同价格历史的优化问题族，我们证明了在一般条件下存在唯一（完美）停止规则σ*, 它对于任何问题都是最优的，并且是帕累托最优的，在这里它是可容许的（定理1）。此外，σ*可以通过以下特性来描述：它改善了任何早期的停止规则，并且不能通过进一步延迟来改善（定理2）。2010年数学学科分类。90B50，60G40。关键词和短语。后悔，最优停止，最大过程，极小极大，完美停止规则。这项研究得到了南方联邦大学项目213.01-07-2014/07.2 D.B.的支持。我们使用两种方法将对未来的遗憾纳入优化问题中。第一个是考虑未来价格增量的最大值。示例2和3说明了这种方法，它非常保守。仅当价格增量一致有界时才适用。第二种方法是在概率信息存在的情况下，用δ-分位数代替未来价格增量的最大值。在例4中，我们在aBrownian运动（Bachelier模型）的情况下遵循了这条路线。这两种方法都被函数ψ捕获，该函数可以解释为最大价格增量的预测。完美的止损规则有以下简单形式：如果资产价格X偏离运行最大值X，则应出售资产*t取决于一定的时间和质量。[2]对离散时间模型证明了这种销售规则的最优性（“让利润运行但减少损失”）。这一结果受到了研究可分割资产的论文[11]的启发。[11,2]的方法基于具体时间的递归动态规划公式。

此外，对于[2]中考虑的问题，除了提到的最优销售规则外，还存在一个确定性（“非顺序”）销售规则，同时最小化（1.1）。下面介绍的“完全停止时间”的定义为区分这些销售规则和放弃非顺序规则提供了依据。在连续时间概率设置中，在激励论文[7]和前面的演讲[13]之后，在最后最大值附近停止的问题变得流行起来。例如，文献[5,12,6,3]深入研究了带漂移的布朗运动和几何布朗运动。在后一种情况下，比值Xτ/X*T、 X*考虑的是T/Xτ，而不是（1.1）。典型的最佳停止规则由进程X决定*T-Xt，Xt/X*t、 或规定立即出售资产，或将其持有至到期日。在第二节中，我们在一般模型中引入了一个完美停止时间，并给出了它的显式描述。第3.2节给出了几个示例。完美停止规则虽然在本节中我们不使用任何概率度量，但基本术语来自概率论。可能的结果（pr ice轨迹）由一个子集描述Ohm 关于连续函数ω的正则空间C[0，T]。让我们来看一看：Ohm 7.→ Rbe坐标映射：Xt（ω）=ωt∈ [0，T]，ω∈ Ohm 我们计算a（t，ω）={ω′∈ Ohm : Xs（ω′）=Xs（ω），s∈ [0，t]}。集合A（t，ω）包含所有与ω到时间t的历史相同的结果。让我们介绍过去的遗憾：X*t（ω）- Xt（ω），X*t（ω）=sups∈[0，t]Xs（ω）。该数量对应于代理人的反映，即他可以以X价出售资产*t（ω），现在价格只有Xt（ω）。极大极小完美停止规则3同样，对未来的遗憾定义如下：最大≤s≤TXs（ω′）- Xt（ω），ω′∈ A（t，ω）。

（2.2）由于这个量是未知的，除非t=t，我们将使用它的上限估计值或这种估计值的替代值。考虑一个函数ψ：[0，T]×Ohm 7.→ [0, ∞) 具有以下性质：（i）ψ（T，ω）=0，（ii）函数t7→ ψ（t，ω）是连续且严格递减的，（iii）ψ（t，ω）=ψ（t，ω′），ω′∈ A（t，ω）。在具体例子中，如果考虑概率模型，ψ将被视为ω′（类似于[2]）上（2.2）的上确界，或（2.2）的δ分位数。人们还可以将ψ（t，ω）视为最大价格增量（2.2）的预测。本解释澄清了条件（i）-（iii）。尤其是，（iii）意味着该预测只能取决于可用的价格历史。假设资产在时间u出售≥ t、 考虑到价格历史（ωs）0≤s≤t、 总的遗憾可以用数量来描述：ρ（t，ω；u，ω′）=max十、*u（ω′）- 许（ω′），马素≤s≤TXs（ω′）- Xu（ω′）= 十、*T（ω′）- 许（ω′），ω′∈ A（t，ω）。R（t，ω；u，ω′）=max{X*u（ω′）- Xu（ω′），ψ（u，ω′）}，ω′∈ A（t，ω）。我们称ρ（resp.，R）为已实现的遗憾（resp.，估计的遗憾）。在终端时间T之前，已实现的重新建模未知。此时已知估计的r egr et，并可将其纳入优化问题中。在本节中，我们只讨论估计的遗憾。第3节（例3）将考虑已实现的后悔。为了使代理的目标正式化，我们需要一个停止时间的概念。定义1。函数τ：Ohm 7.→ [0，T]称为停止时间，如果条件τ（ω）≤ t、 Xs（ω′）=Xs（ω），s≤ t表示τ（ω′）=τ（ω）。备注1。考虑过滤Ft=σ（Xs，s∈ [0，t]），由坐标映射生成。从[4]（定理IV.100（a））我们知道一个FT可测函数τ：C[0，T]7→ [0，T]是定义1意义上的停止时间当且仅当{ω：τ（ω）≤ s}∈ 财政司司长∈ [0，T]。

因此，我们对停止时间的定义与通常的定义一致，但我们不需要额外的可测量性属性。备注2。对于ny停止时间τ和ω∈ Ohm 我们有τ（ω′）=τ（ω），ω′∈ A（τ（ω），ω），因为Xs（ω′）=Xs（ω），s≤ τ(ω). 此外，对于任何停止时间τ，τ，例如τ（ω）<τ（ω），我们有τ（ω）=τ（ω′）<τ（ω′），ω′∈ A（τ（ω），ω）。实际上，否则，τ（ω′）≤ τ（ω′）=τ（ω）f或某个ω′∈ A（τ（ω），ω）。但是Xs（ω′）=Xs（ω），s≤ 定义1给出了一个矛盾：τ（ω′）=τ（ω）≤ τ（ω）。4d.B.用Tt（ω）表示停止时间τ的集合，满足不等式τ（ω）≥ t、 条件τ∈ Tt（ω）表示τ对A（t，ω）是容许的：τ（ω′）≥ t、 ω′∈ A（t，ω）。考虑到价格历史（ωs）0≤s≤t、 最坏情况下的估计后悔，与τ有关∈ Tt（ω）定义如下：R（t，ω；τ）=supω′∈A（t，ω）R（t，ω；τ，ω′），R（t，ω；τ，ω′）=max{X*τ(ω′) - Xτ（ω′），ψ（τ（ω′），ω′），Xτ（ω）=ωτ（ω）。定义2。停车时间σ∈ 对于A（t，ω）ifR（t，ω；σ），Tt（ω）被称为最优的≤ R（t，ω；τ），τ∈ Tt（ω）。最优停车时间集用opt（t，ω）表示。定义3。停车时间σ∈ 如果不存在τ，就称Tt（ω）为关于toA（t，ω）的帕累托最优∈ Tt（ω）使得r（t，ω；τ，ω′）≤ R（t，ω；σ，ω′），ω′∈ 对于某些ω′，A（t，ω），R（t，ω；τ，ω′）<R（t，ω；σ，ω′）∈ A（t，ω）。帕累托最优解集用P（t，ω）表示。定义4。如果停车时间满足以下优化原则，我们称之为σ完美：σ∈ opt（t，ω）∩ P（t，ω）表示所有（ω，t），使得σ∈ Tt（ω）。也就是说，σ是完美的，如果它是关于A（t，ω）的最优和帕累托最优的，只要它对A（t，ω）是容许的。定理1。假设对于任何（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 存在bω∈ A（t，ω）使得xu（bω）<Xt（ω），u>t。

然后通过公式σ给出了唯一的完美停止时间*（ω） =inf{s≥ 0：（X）*s- Xs）（ω）≥ ψ（s，ω）}。证据自（X）*- 十） （ω）<ψ（0，ω）和（X）*T-XT）（ω）≥ ψ（T，ω），值σ*（ω） 是唯一定义并满足等式的*σ*- Xσ*= ψ(σ*, ω), ω ∈ Ohm. （2.3）假设tσ*(ω) ≥ t取τ∈ Tt（ω）。如果τ（ω′）小于σ*（ω′）对于某些ω′∈ A（t，ω），然后r（t，ω；τ）≥ R（t，ω；τ，ω′）≥ ψ(τ(ω′), ω′)> ψ(σ*（ω′，ω′）=R（t，ω；σ）*, ω′，（2.4），其中严格不等式来自ψ的性质（ii），最后一个等式由（2.3）表示。此外，如果τ（ω′）>σ*（ω′），然后取bω∈ A（σ）*（ω′），ω′）如此之多（bω）<Xσ*（ω′），u>σ*(ω′). （2.5）极小极大完美停止规则5We haveR（t，ω；τ）≥ R（t，ω；τ，bω）≥ （十）*τ- Xτ）（bω）=X*σ*(ω′) - Xτ（bω）>X*σ*(ω′) -Xσ*（ω′）=R（t，ω；σ）*, bω），（2.6），其中严格不等式和最后一个等式分别来自（2.5）和（2.3）。最后，如果τ（ω′）=σ*（ω′），thenR（t，ω；τ）≥ R（t，ω；τ，ω′）=R（t，ω；σ）*, ω′). （2.7）关系式（2.4）、（2.6）、（2.7）表示R（t，ω；τ）≥ R（t，ω；σ）*), 如果τ6=σ*,然后存在一个点ω′∈ A（t，ω）使得R（t，ω；τ，ω′）>R（t，ω；σ）*, ω′′).因此，σ*∈ opt（t，ω）∩ P（t，ω）。现在让τ为任何停止时间。如果τ（ω）<σ*（ω） 对于某些ω∈ Ohm, 然后τ（ω′）=τ（ω）<σ*（ω′）对于所有ω′而言∈ A（t，ω），其中t=τ（ω）。因此，不等式（2.4）：R（τ（ω），ω；τ、 ω′）>R（τ（ω），ω；σ*, ω′), ω′∈ A（τ（ω），ω）意味着对于A（τ（ω），ω），τ不是帕累托最优的。此外，如果τ（ω）>σ*（ω） 当τ（ω′）>σ*(ω′) = σ*（ω） 对于llω′∈ A（t，ω），其中t=σ*(ω) . 因此，不等式（2.6）意味着τ与A（σ）无关*（ω） ω）：R（σ）*(ω) , ω; τ）>R（σ）*(ω) , ω; σ*),我们用σ*（ω′）和R（t，ω；σ）*, ω′）与ω′无关∈ A（σ）*(ω) , ω).下面的断言给出了关于完美停车时间的更多直觉。定理2。

在定理1的假设下，停止时间σ*对于任何停止时间τ和任何ω都是完美的当且仅当∈ Ohm 以下是正确的：（A）如果τ（ω）>σ*（ω） thenR（σ）*(ω) , ω; τ、 ω′）>R（σ）*(ω) , ω; σ*, ω′）对于某些ω′∈ A（σ）*（ω） ，ω），（B）如果τ（ω）<σ*（ω） thenR（τ（ω），ω；τ、 ω′）>R（τ（ω），ω；σ*, ω′）对于所有ω′而言∈ A（τ（ω），ω）。条件（A）（“之后”）意味着如果资产在时间σ不出售，估计的后悔可能会变得更大*. 条件（B）（“之前”）意味着在完美停止时间σ之前出售资产是不合理的*, 因为估计的遗憾可以通过等待来减少*.定理2的证明。停车时间σ*, 满足条件（A）、（B）是唯一的。的确，让σ，σ成为这样的停止时间。如果σ（ω）<σ（ω），那么r（σ（ω），ω；σ、 ω′）>R（σ（ω），ω；σ, ω′), ω′∈ A（σ（ω），ω），因为σ满足（B），andR（σ（ω），ω；σ、 ω′）>R（σ（ω），ω；σ、 ω′）对于某些ω′\'∈ A（σ（ω），ω），6d.B.σ满足度（A）。这种矛盾表明σ≥ σ. 根据对称性，σ=σ。此外，完美的停止时间σ*满足（A）、（B），如定理1证明课程所示：应用（2.6），t=σ*（ω） 和（2.4），其中t=τ（ω）。3.示例在本节中，我们给出几个示例，说明上述概念和结果。例1表明，停车时间可以是最优的，但不是帕累托最优的，反之亦然。例2考虑了[2]模型的连续时间模拟。在例子3中，我们考虑了一个具有分段线性轨迹的价格过程，它可以在泊松过程的跳跃时间改变其运动方向。这里我们比较了理想和确定性停车时间的预期实现egr et。最后，在例4中，我们分析了经典的Bachelier模型，使用量化函数来估计未来的后悔。例1。允许Ohm = C[0，T]，并假设ψ不依赖于ω。

我们认为，对于A（0，ω），τ=0是最优的，但不是帕累托最优的；对于任何T<T的情况，τT=T是帕累托最优的，但不是最优的。显然，R（0，ω；τ）=ψ（0）。取ωn=ω- 纳什。通过（2.3）获得完美的停止时间σ*我们有r（0，ω；σ）*) ≥ R（0，ω；σ）*, ωn）=ψ（σ）*（ωn））。但是，σ*（ωn）=inf{s≥ 0:X*s（ωn）- X（ωn）≥ ψ（s）}=inf{s≥ 0:ns≥ ψ（s）}→ 0，作为n→ ∞. 因此，R（0，ω；σ）*) = R（0，ω；τ）=ψ（0）和τ∈ opt（0，ω）和σ*.然而，对于A（0，ω），τ不是帕累托最优的，从定理2的性质（B）可以看出，其中τ变为τ。至于τT，它与A（T，ω），T<T，sinceR（T，ω；τT）=supω′无关∈A（t，ω）（X）*T- XT）（ω′）=+∞.对于任何确定的停止时间τ=u和t<u，相同的断言都成立。为了证明τ是帕累托最优的，假设t≤ τ（ω）=u<T，putω′s=（ωs，s）≤ uωu+s- u、 s≥ u、 如果X*u（ω′）>Xu（ω′），thenR（t，ω；τt，ω′）=（X*T- XT）（ω′）<max{（X）*U- Xu）（ω′），ψ（u）}=max{（X）*τ- Xτ（ω′），ψ（τ（ω′）}=R（t，ω；τ，ω′）。（3.8）如果X*u（ω′）=Xu（ω′），然后X*T（ω′）=XT（ω′）和0=R（T，ω；τT，ω′）<ψ（u）=R（T，ω；τ，ω′）。（3.9）不等式（3.8）、（3.9）表明τT∈ P（t，ω）。极小极大完美停止规则7例2。以布景为例Ohm ω的∈ C[0，T]这样- L·（t）- （s）≤ Xt（ω）- Xs（ω）≤ L·（t）- s） ，0≤ s<t≤ T（3.10），其中一些常数L，L>0。特别是ω∈ Ohm 假设它们是单圆柱壳连续的。注意，任何分段线性函数ωt=ωti+t- 提提+1- ti（ωti+1）- ωti），t∈ [ti，ti+1]，其中0=t<t<·tn=t和-L≤ （ωti+1）- ωti）/（ti+1- （ti）≤ 五十、 属于Ohm.假设预测的最大价格增量ψ与最大值本身一致：ψ（t，ω）=supω′∈A（t，ω）sups∈[t，t]Xs（ω′）- Xt（ω）。显然，ψ≤ L·（T）- t） 。

此外，asω′s=（ωs，s≤ tωt+L·（s）- t） ，s≥ t根据A（t，ω），ψ=L·（t- t） 。最佳停车时间由σ定义*（ω） =inf{s≥ 0：（X）*s- Xs）（ω）≥ L·（T）- s） 哦。（3.11）请注意，它仅取决于一个参数L，它显示了价格上涨的速度。假设σ*(ω) ≥ t、 设eτ：Ohm 7.→ [t，σ*] 是一个随机m变量，使得Xeτ=maxt≤s≤σ*Xs。注意，eτ不必是停止时间。根据σ的定义*我们得到左不等式（3.10）- σ*) = ψ(σ*) = 十、*σ*- Xσ*= max{X*t、 马克斯特≤s≤σ*Xs}-Xσ*= max{X*T- Xσ*, Xeτ- Xσ*}= max{X*T- Xt- （Xσ）*- Xt），-（Xσ）*- Xeτ）}≤ max{X*T- Xt+L（σ）*- t） ，L（σ）*- eτ）}≤ 十、*T- Xt+L（σ）*- t） 。因此，σ*≥LL+Lt+LL+Lt-十、*T- XtL+L.（3.12）此外，forωs=ωt- L（s）- t） ，s≥ 我们没有（X*σ*- Xσ*)（ω） =X*t（ω）- Xt（ω）+L（σ）*(ω) - t） =L·（t）- σ*（ω） ）.8 D.B.因此，σ*（ω） 与下限（3.1 2）一致。它遵循最优最短情况估计后悔R（t，ω；σ）*) 与过去X的遗憾的凸组合一致*T- Xt和对未来的估计遗憾L（T- t） ：infτ∈TtR（t，ω；τ）=R（t，ω；σ）*) = supω′∈A（t，ω）L（t）- σ*（ω′）=L（T- σ*（ω） ）=LL+L（X）*T- Xt）+LL+LL（T）- t） 。（3.13）设t=0。注意，除了σ*, 关于A（0，ω），确定性停止时间bτ=LTL+Lis是最优的。事实上，自从bτ≤ σ*（见（3.12）），我们有*bτ- Xbτ≤ ψ（bτ）=L（T- bτ）=LLL+LT。因此r（0，ω；bτ）=supω′∈A（0，ω）max{（X）*bτ- Xbτ）（ω′），ψ（bτ）}≤LLL+LT=R（0，ω；σ）*).但严格的不平等是不可能的，因为*这是最优的。最佳停车时间与σ非常相似*, bτ出现在[2]中。让我们提到完美停车时间σ的以下明显优势*超过bτ。比较表达式r（bτ，ω；bτ）=max{X*bτ- Xbτ，L（T）- 通过（3.13）我们得出结论，对于A（bτ，ω），bτ不是最优的*bτ- Xbτ=L（T- bτ）。