在接近极限时出售资产的极小极大完美停止规则

（3.14）因此，尽管在时间t=0时，σ*（ω） ，bτ是最优的，观察价格动态的代理人x（ω），0≤ s≤ t、 在时间bτ意识到，除了（3.14）中描述的非常特殊的情况外，出售资产不是最佳选择。同样地，在任何时刻∈ （0，bτ）通常bτ相对于A（t，ω）不再是最优的。这种违反“贝尔曼最优性原则”的行为意味着bτ将被理性主体广泛使用。还记得，如果bτ<σ，bτ相对于A（bτ，ω）不是帕累托最优的*（ω） ：参见定理2的条件（B）。例3。假设Ohm 和ψ与例2中相同，且L=L=1。考虑一个带有泊松过程（Nt）t的概率空间≥0具有强度λ和i.i.d.随机变量序列（αi）∞i=1:P（αi=1）=P∈ （0,1），P（αi=-1） =q=1- p、 资产价格由连续的分段线性过程xt=Xτi+αi+1（t）建模- τi），t∈ [τi，τi+1），i≥ 0，其中τ=0，X=X和τi，i≥ 1是N.MINIMAX完美停止规则9的跳跃时间，对于任何停止时间τ，用be（τ）=Eρ（0，ω；τ，·）=E（X）表示*T- Xτ，E（τ）=ER（0，ω；τ，·）=E max{X*τ- Xτ，ψ（τ）}分别为预期已实现后悔和预期估计后悔。为了获得一些关于完美停止时间（3.11）概率性质的信息，让我们比较一下（σ）*), E（σ*) 具有相同的值，与确定性停止时间τu=u有关。让强度λ非常小，这样[0，t]上就没有高概率的跳跃。当概率接近1时，集合A（0，ω）只包含两条轨迹：ωs=ω+s，ωs=ω- s、 s∈ [0，T]。注意，通过观察一段短时间的轨迹，可以得出价格是否会永久上涨或下跌的结论。

因此，通过在这段时间后停止或等待，可以获得一个小遗憾。然而，我们的目的只是比较理想停车时间和确定性停车时间的期望值。我们有（τu）≈ p max{0，T- u} +q max{u，T- u} =max{pT+（q- p） u，T- u}≥（qT，p≥ 1/2T/2，p<1/2，（3.15），其中p的下界达到atu=T≥ 1/2和u=T/2时，p<1/2。此外，E（σ*) = Eψ（σ）*) = T- Eσ*≈ qT/2。（3.16）自*（ω） =T，σ*（ω） =T/2。在（3.15）、（3.16）的基础上，E（σ）是合理的*) < 如果强度λ足够小，则任何u的E（τu）。对于预期实现的后悔，应重新定义该结论。我们有*T（ω）- Xu（ω）=T- u、 X*T（ω）-Xu（ω）=u。因此，bE（σ）*) = E（X）*T- Xσ*) ≈ p（T）- σ*（ω） ）+qσ*（ω） =qT/2，bE（τu）≈ p（T）- u） +qu=pT+（q）- p） u≥（qT，p≥ 1/2pT，p<1/2，其中p的下限为tu=t≥ 1/2和u=0表示p<1/2。因此，我们期望不等式为（σ）*) <当q/2<p，即p>1/3时，bE（τu）对于小λ为真。数值实验证实了这些预期。用蒙特卡罗方法（和R软件）估算Be（τ）Ee。注意，X的方差*τ-Xτ，10 D.B.见表1。p=1/2，T=1的预期实现后悔。λEσ*bE（σ）*)bE（u）0.10.75 0.25 0.491 0.75 0.25 0.4510 0.8 0.2 0.2750 0.88 0.12 0.14100 0.9 0.09 0.11000.97 0.03 0.03表2。λ=10，T=1的预期实现后悔。peσ*bE（σ）*)bE（0）bE（T/2）bE（T）0.2 0.61 0.39 0.06 0.36 0.660.4 0.74 0.26 0.18 0.28 0.380.6 0.86 0.14 0.38 0.28 0.180.8 0.95 0.05 0.66 0.36 0.06σ*不超过T。

对于T=1，我们使用这些随机变量的N=10个样本。基于正态近似的标准渐近分析（例如，参见[14，第4章]）可以得出结论，0.99置信区间的长度不超过0.006。表1收集了p=1/2和不同λ的结果。在这种情况下，值se（τu）不依赖于u。我们看到，对于λ的小值，理想停止时间的预期实现后悔基本上低于确定性停止时间的预期实现后悔。这种优势随着λ的增大而减小。Eσ的值*对于大的λisclose to T。在表2中，λ=10的值是固定的。对于大p，σ的预期实现后悔*比任何确定的停车时间都要短。对于小p，立即抛售（τ=0）的预期实现后悔比σ小得多*. 注意，σ*不能小于T/2（参见示例2）。直觉上，这是由于f作用，即未来后悔的估计ψ非常保守。例4。设P是（C[0，T]，FT）上的一个概率测度，这样的坐标过程X遵循P:Xt=X+σWt下的Bachelier模型。这里W是标准布朗运动，从0开始，σ>0是一个波动常数。对于这个模型，对未来的遗憾（2.2）是无限的。所以我们使用分位数函数ψ（t，ω）=infz:Pω′：最大值≤s≤TXs（ω′）- Xt（ω）≤ Z≥ δ.极小极大完美停止规则11在估计的后悔中利用这一函数，代理人承认已实现的未来后悔，即最终最大值与售价的偏差，可以超过ψ，概率为1- δ.利用运行最大值定律*布朗运动W（参见[9，命题3.1.3.1]）：P（W*U≤ z） =P（|Wu |≤ z） =2P（Wu）∈ [0，z]）=2ΦZ√U- 1，Φ（y）=r2πZy-∞经验-十、我们推断ψ解方程2Φψσ√T- T- 1 = δ.因此，ψ=σΦ-1((1 + δ)/2)√T- T

根据定理1，完美停止时间由公式σ确定*（ω） =inf{s≥ 0:W*s- Ws≥ cδ√T- s} P-a.s.，（3.17）cδ=σΦ-1((δ + 1)/2).注意，如果有一个价格历史记录，当市场波动较大时，代理将保留资产更长的时间。这是因为他估计未来的遗憾会更大。与例3相比，在这里看预期的实际后悔啤酒（τ）是没有意义的，因为W是一种马丁酒，而啤酒（τ）不依赖于τby the doob可选抽样定理。然而，似乎∑*与其他标准相比是最优的。[10]证明了τ形式的停止时间*= inf{s≥ 0:W*s- Ws≥ zq√T- s} 对于q-均值目标函数E（W）是最优的*T- Wτ）q→ 最小τ，q>1，（3.18），其中在所有停止时间τ上执行最小化。数zq是方程H′（z）H（z）+z=（1+q）zM（3+q，，z）M（1+q，，z），（3.19）的唯一正根，其中H（z）=zq+2R∞zq（1）- Φ（u1/q）du，z≥ 0和m（a，b，z）=1+abz+2！a（a+1）b（b+1）z+·是库默反几何函数（见[1，第13章]）。[7]中曾考虑过q=2的情况。12 D.B.表3。q，zq的值以及δ=2Φ（zq）的对应值- σ=1时为1。q zq=cδδδ1.11.03 0.72 1.12 0.744 1.35 0.826 1.57 0.888 1.77 0.9210 1.96 0.95Putσ=1。假设q>1，我们推断对于δ的特殊值，完美停止时间（3.17）在（3.18）意义上是q-均值最优的。q a和δ的一些值之间的对应关系如表3所示（方程式（3.19）通过R软件求解）。例如，如果选择ψ为最大价格增量的0.95分位数，则完美停止时间σ*是q=10的q-均值。前3行的zqin值与[10]的值一致。

结论性意见示例3、4中提到的极小极大值和停止时间的概率最优性之间的关系可能值得进一步研究。我们还提到，对于严格正的价格过程X，上述理论可以转化为比率性能标准X*T/Xτ，仅取决于资产价格的相对值。参考文献[1]M.Abramowicz和I.A.Stegun，编辑。《数学函数与公式、图表和数学表格手册》，NBS Appl第55卷。数学系列华盛顿，1972年。[2] V.S.巴瓦。出售不可分割资产的极小极大策略。管理。S ci。，19(7):760–762, 1973.[3] 戴先生、金先生、钟先生和周先生。低买高卖。《当代定量金融》第317-333页。斯普林格，2010年。[4] C.Dellacherie和P.-A.Me yer。概率和潜力。阿姆斯特丹，北荷兰，1978年。[5] 杜托伊特和佩斯基尔。在预测最大值时自满的陷阱。安。Probab。，35(1):340–365 , 2007.[6] 杜托伊特和佩斯基尔。以最高价格出售股票。安。阿普尔。Probab。，19(3):983–1014, 2009.[7] S.E.Graversen、G.Peskir和A.N.Shir yaev。在没有预期的情况下停止布朗运动，使其尽可能接近极限。Probab理论。应用程序。，45(1):125–136, 2001.[8] 埃文斯·J·V·亨德森和D·霍布森。不可分割资产出售的最佳时机。数学《金融》，18（4）：545-5672008。[9] 詹布兰科先生、约尔先生和切斯尼先生。金融市场的数学方法。伦敦斯普林格，2009年。[10] J.L.佩德森。布朗运动极限极大值的最优预测。斯托克。斯托克。众议员，75（4）：205-2192003。极小极大完美停止规则13[11]G.Pye。出售资产和美元平均值的极小极大策略。管理Sci。，17(7):379–393,1971.[12] A.Shiryaev、Z.Xu和X.Y.Zhou。你应该购买并持有。定量。

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