负利率：为什么和如何？

这种方法可以借助帕克方程来计算负利率，作为这种设置的解决方案。Vasicek（1977）介绍了另一种广泛使用的模型，该模型可以在负利率下运行。更准确地说，这种奥恩斯坦-乌伦贝克（高斯）过程通常用于推导贴现债券价格的均衡模型。然而，文献，例如Chan等人（1992年），在该模型中，将利率作为实际利率，而不是名义利率，并经常批评这些方法是否存在负利率，以及同构利率变化的含义。在下一节中，我们将介绍现实且相对简单的利率模型，该模型有可能理解负利率的动态。2利率建模假设描述未来利率演变的模型可以写成fort∈ I=[0，∞), bydrt=c（t）（pt）mdtdpt=a（t）（pt）l+b（t）（rt）ndt+σ（t）（rt）kdWt，（1）式中a，b，c，σ∈ C（I）和n，k，l∈ Q、 m∈ Q\\{0}使得它们的分母是奇数。这种简化用于避免定义功率函数域的问题。否则就是所谓的有符号幂函数Φ（z）：=|z |α-1z，α，z∈ 可以使用R（如有必要，在文章中通篇使用，而不改变其含义）。此外，我们假设σ为p正，c（t）6≡ 0，c（0）6=0。该模型自然地推广了Parker（1995）中的线性模型（c（t）≡ 1，a（t）≡ a、 b（t）≡ b、 σ（t）=σ，m=n=l=1，k=0）和Stehlik等人（2015）研究的两个非线性模型。使用经典结果，见附录中的定理2，我们可以直接得到唯一的结果。

在我们的例子中，n=2，Xt=（rt，st）和b（t，Xt）=c（t）（pt）m，a（t）（pt）l+b（t）（rt）nT、 ∑（T，Xt）=0.00σ（t）（rt）k.对于线性情况，存在总是安全的，但不是一般情况。改变k，l，mor n的值要么违反唯一性，要么导致爆炸。SDE转换的基本工具是It^o引理3（附录中给出的版本是由Oksendal（1998）提供的）。使用引理3，我们已经准备好设置一个变换，以消除与电平相关的噪声。It^o的公式可用于求解SDE，尽管以这种方式可解的方程类是有限的。下一个定理1帮助我们在特定情况下找到问题（1）的显式解，并且可以作为解决SDE问题的有用补充工具。设（rt，pt）是一个扩散过程，如in（1），则变换ψ（st，rt，t）=rt，zt=ψ（pt，rt，t）=t- Wt+ptσ（t）（rt）kwill将导致一个涉及维纳过程s（ODE w i th randomicefficients）drt=c（t）σ（t）m（rt）km（ut）mdt（2）dzt的判定微分系统=-σ′（t）σ（t）ut- kC（t）σ（t）m（ut）m+1（rt）mk-1+a（t）σ（t）l-1（ut）l（rt）k（l-1） +b（t）σ（t）（rt）n-Kdt，其中ut=zt+Wt-t、 由于我们的模型不仅包含SDE，而且还包含初始条件，所以我们必须指定它们。通常r=A，0<A<< 1和DRTDTt=0=c（0）（p）m=：B，0≤ |B|<< 1.在定理1中使用的变换之后，我们得到z=Bmc（0）mσ（0）Ak:=~B.例1（线性情况）。对于k=0，l=m=n=1，a（t）≡ a、 b（t）≡ b、 c（t）≡ SDE的解可以用过程特征方程的根来研究，类似于Parker（1995）的研究。

由于二次方程的判别式D=4 c b+a.oD=0-rea l且相等，oD>0-rea l且不同，oD<0-复共轭，可能出现三种可能性。力的期望值和自协方差函数可以直接导出，因为可以找到显式解，或者使用过程的线性。2.1病例研究：k=0，l=1，b（t）≡ 然后方程（1）简化为一个简单的非线性模型drt=c（t）（pt）mdtdpt=a（t）ptdt+σ（t）（rt）dWt，（3）与相应的确定性系统drt=c（t）σ（t）m（ut）mdtdzt=-σ′（t）σ（t）ut+a（t）utdt。（4） 图1-5展示了由系统（3）决定的过程动力学。请注意，rtis的轨迹是平滑的，但其导数具有非平滑的轨迹。由于（4）中的第二个方程是线性的一阶方程，不依赖于t，第一个方程随后可以积分，因此可以直接（使用（3）的^o演算）或使用Erem 1找到通解。利用初始条件，我们得到如下结果。引理1。将一个过程表示为k=0，l=1，b（t）的柯西问题（1）的解≡0，m>0，R=A，R′=B，然后rt=A+Zt“e-陆克文σ（s）σ（s）-a（s）dsZueRsddvσ（v）σ（v）-a（v）dv1+-ddsσ（s）σ（s）+a（s）！（2）- s） !！ds++公元前（0）mσ（0）-1!+ 吴-u#mσ（u）mc（u）du。此外，对于B=0，σ（t）≡ σ、 a（t）≡ 0E[Rt]=（A+σmL（m；c），如果m是偶数，A，如果m是oddandV ar[Rt]=σ2mztc（s）c（u）Em（s，u）ds du- L（m；c）,其中l（m；c）：=m！m（m）！安第斯山脉乌姆杜（南部、南部）=（m！）mmXj=0（2min（s，u）√SU）2j（2j）！M- J!, 如果m是偶数，（m！）嗯-1Xj=0（2min（s，u）√SU）2j+1（2j+1）！M-1.- J!, 如果m是奇数对于b6=0，σ（t）≡ σ、 a（t）≡ 0E[Rt]=A+σmMXj=0嗯- 2jcσM-2j（2j）！林俊杰Ztc（u）ujdu，V ar[Rt]≈ A+2厘米-1σZtc（u）du+mσc2m-2.Ztc（u）du++C2MZTC（u）c（s）最小（u，s）哑弹，其中c=公元前（0）m、 证据。

过程的形式可以直接找到，也可以使用定理1。我们必须在两种情况下证明m的奇偶性。对于B=0，我们有t=A+σmZtc（u）Wmudu。因为我们可以交换期望和积分的顺序，我们有e[Rt]=A+σmZtE[Wmu]c（u）du=引理2A+σmZtm！m（m）！umc（u）du=A+σmL（m；c），如果m是偶数。使用引理2，我们直接得到奇数m的t E[Rt]=0保持。此外，我们能够计算方差。人们可以使用伊瑟利斯定理，但在计算上使用引理3更方便，见伊瑟利斯（1918）或肯德尔和斯图尔特（1977）[p.94]。E[Rt]=A+2AσmL（m；c）+σ2mE“Ztc（u）Wmudu#=A+2AσmL（m；c）+σ2mZtZtc（s）c（u）E[WmsWmu]ds du=引理3A+2AσmL（m；c）+σ2mZtZtc（s）c（u）Em（s，u）ds du，=> V ar（Rt）=E[Rt]- A.- 2AσmL（m；c）- σ2mL（m；c）=σ2mztc（s）c（u）Em（s，u）ds du- L（m；c）.对于b6=0Rt=A+Ztc（u）[Wuσ+c]mdu，c=Bmc（0）mE[Rt]=A+Ztc（u）E[（Wuσ+c）m]du==A+Ztc（u）E”mXk=0mkck（Wuσ）m-kdu#==A+Ztc（u）σmmXk=0mkcσkE[Wm-ku]du==A+σmmXk=0mkcσkZtc（u）E[Wm-ku]==A+σmmXl=0嗯- LcσM-lZtc（u）E[Wlu]du==A+σmMXj=0嗯- 2jcσM-2jZtc（u）uj（2j）！林俊杰du==A+σmMXj=0嗯- 2jcσM-2j（2j）！林俊杰因为我们不能使用引理3f或b6=0，我们使用Rtinstead被积函数的泰勒近似。我们没有≈ A+Ztc（u）米厘米-1σ+cmWu杜=>Rt≈ A+2AZtc（u）米厘米-1σ+cmWu杜+Ztc（美国）米厘米-1σ+cmWu杜.现在，E[Rt]≈ A+2厘米-1σZtc（u）du+mσc2m-2.Ztc（u）du+c2mE“中兴（u）武都#告诉我们结果。备注1。对于更一般但固定的m.（a）c（t）=cos t1+t.（b）c（t）=cos t，可以类似地得出类似结果。图1：由（3）定义的过程RTD的预期值（黑色）和25实现（红色），其中k=0，a=0.02，b=0，m=2，a（t）=b（t）≡ 0，σ（t）≡ 0.05.2.2案例研究y II案例：k=n=0，l=2，σ（t）=σ，b（t）=-σ- a（t）Wt-Tσ.

然后方程（1）reduceToDrt=c（t）（pt）mdtdpt=“a（t）（pt）- a（t）Wt-Tσ-σ#dt+σdWt，（5）（a）σ=0.05。（b） σ=0.1。图2:C（t）=-E-t、 k=0，A=0.02，B=0，m=2，A（t）=B（t）≡ 0.（a）m=2。（b） m=4。（c） m=6。图3:C（t）=-E-t、 k=0，A=0.03，B=0，A（t）=B（t）≡ 0, σ = 0.2 .对应的系统drt=σmc（t）（ut）mdtdzt=σa（t）zt（2ut- zt）dt。（6） 在这种情况下，定理1非常有用。（6）中的第二个方程是伯努利微分方程，具有显式通解zt=eσZta（u）（2）- u） 杜-σZteσZua（s）（2 Ws）- s） dsa（u）du+K，K∈ R.现在，通过将其代入第一个方程，我们可以直接获得rtby求积的通解。将一个过程表示为柯西问题的解，a>0，b6=0，然后≈Rt=a+ZteσZua（v）（2 Wv）- v） dv-σZueσZva（s）（2 Ws）- s） dsa（v）dv+σc（0）Bm+Wu-Umσmc（u）du。（7） Rt（7）过程的精确公式非常困难，因此很难研究。然而，我们可以使用Fr′echet导数（函数导数）来获得线性近似。表示asF（Wt）：=eσZua（v）（2 Wv）- v） dv-σZueσZva（s）（2 Ws）- s） dsa（v）dv+σc（0）Bm、 然后F（Wt）≈ F（W）+DF（W）Wt，其中F（W）=e-σZua（v）vdv-σZue-σZva（s）sdsa（v）dv+σc（0）BM-1和df（W）=a（0）e-σZua（v）vdvc（0）BM祖伊-σZva（s）sdsa（v）dv-c（0）BM-2.这种方法得到了过程Rt:~Rt的近似值≈ A+ZtF（W）（u）+（DF（W）（u）+1）Wu-Umσmc（u）du。使用与研究案例I类似的技术，可以得到给定过程的期望值和方差的近似值。从计算的角度来看，结果（7）几乎不能使用，例如：。

在Maple的财务包中，无法绘制双积分Wienerprocess的路径。因此，我们应该使用这种过程的近似值，包括F（wt）的线性化。请注意，对于模型（3），该模型的特定值具有参数m oppo site effect的增加，见图8（a）。例2。对于m=2，我们有[~Rt]≈ A+ZtF（W）（u）-U+ （DF（W）（u）+1）uσmc（u）du（a）B=0.03。（b） b=-0.03. （c） B=0。图4:c（t）=-E-t、 k=0，A=0.02，m=2，A（t）=b（t）≡ 0, σ = 0.05.（a） B∈ {0.01,0.03,0.05,0.07}，m∈ {2,6}，c（t）=cos tt+1。（b） b∈ {0.01,0.03,0.05,0.07}，m∈ {2,6}，c（t）=-E-t、 图5：参数B、m对（3）定义的过程预期值（见引理1）轨迹的影响，k=0，A=0.02，A（t）=B（t）≡ 0，σ=0.05（m=6-虚线）。andV ar[~Rt]≈ σztc（u）c（s）F（W）（u）-UF（W）（s）-s++F（W）（u）-U（DF（W）（u）+1）s+F（W）（s）-s（DF（W）（s）+1）u++4F（W）（u）-UF（W）（s）-s（东风（W）（s）+1（东风（W）（u）+1）东（u，s）+（东风（W）（s）+1）（东风（W）（u）+1）东（u，s）+哑弹-ZtF（W）（u）-U+ （DF（W）（u）+1）uσmc（u）du.（a） σ=0.05。（b） σ=0.1。图6:c（t）=-E-t、 k=n=0，l=2，A=0.02，B=-0.025，m=2，a（t）≡ -1.（a）σ=0.05。（b） σ=0.1。图7：过程（5）的预期值（黑色）和2 5实现（红色）（使用线性化近似F（Wt））与c（t）≡ -0.1，k=n=0，l=2，A=0.02，B=-0.025，m=2，a（t）≡ -1.（a）m=1。（b） m=2。（c） m=。图8:c（t）=-E-t、 k=0，A=0.02，B=-0.025，a（t）=b（t）≡ 1，σ=0.01.3备注和解释标记2。

在案例研究I中，B=0，我们认为r常数有效性σ（t）=σ>0，一个有趣的事实是，对于倾销规模函数c（u）>0（例如c（u）=exp(-u） ，u>0）我们有一个由伽马核从下面估算的var[Rt]：var[Rt]≥ σ2mF（t）（m！）mmXj=02j（2j）！M- J!-MMM!Ztc（u）umdu≥σ2mm！M2mΓ+ MF（t）√πΓ（m+1）-tm+1maxu∈[0，t]c（u）m+1! 2米对于m偶数，F（t）=t。因此，对于有限时间t>0，极限i的一般形式为∞. 类似的论证可用于奇数情况。在固定时间内，我们有一个固定的倾销力m，随着m的增长，对模拟利率力的预期可能会超过负的价值。另一方面，波动率参数σ的小SHIFT可能会产生相反的影响。造成这种现象的原因是，对于增加的m，我们也给出了E[Rt]的有限期望值。与此相反，对于接近于零的m，对于所有σ>0的dc（u）=exp，我们的E[Rt]接近R+1=A+1(-u） ，u>0。例如，对于b6=0和c（t）≡ c 6≡ 0可以表示E[Rt]=A+B tc1-mF1.-M-M; [2];h2 cσtB-惯性矩,其中fis是一个广义的h-血压函数。确认第一作者部分得到了grant VEGA MˇS SR 1/0344/14的支持。第二作者感谢ANR项目Desire FWF I 833-N18的支持。对应于第1151441号定期项目的ut hor确认。最后但并非最不重要的一点是，作者非常感谢编辑和审稿人的宝贵意见。参考文献A.萨赫恩、J.加格农、J.霍尔特迈尔、S.卡明、C.埃尔塞格、J.浮士德、L.格雷里、J.罗斯、J.罗杰斯和N.希茨（2002年）。防止通货膨胀：20世纪90年代日本经验的教训。联邦储备系统理事会，国际金融讨论文件第729号，6月。Anderson，R.和Liu，Y.（2013）。你能降到多低？负利率和投资者的安全意识。

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设T>0和b（·，·）：[0，T]×Rn→ Rn，∑（·，·）：[0，T]×Rn→ 满足|b（t，x）|+|∑（t，x）|的Rn×mbe可测函数≤ C（1+| x |）；（x，t）∈ Rn×[0，T]对于一些con，tan，tc，以及| b（T，x）- b（t，y）|+|∑（t，x）- ∑（t，y）|≤ D | x- y |；x、 y∈ Rn，t∈ [0，T]对于某个常数D，设Z是一个与σ-代数F（m）无关的随机变量∞由Ws（·）生成，s≥ 0等等|Z|< ∞.然后随机微分方程dxt=b（t，Xt）dt+∑（t，Xt）dWt，0≤ T≤ T、 X=zha是唯一的T-连续解Xt（ω），其性质是Xt（ω）与Z和Ws（·）生成的filtrationfzt相适应；s≤ 安第斯山脉ZT|Xt|dt<∞.定理3（It^os引理）。设xtt为dxt=f（Xt，t）dt+σ（Xt，t）dWt给出的过程。（8） 设ψ（Xt，t）∈ C（Rn×0，∞)), 然后对于一个变换Zt=[ψ（Xt，t），…，ψn（Xt，t）]，ztisa得到一个由dzt给出的It^o过程=ψt（Xt，t）dt+nXi=1ψxi（Xt，t）dXi，t+nXi=1nXj=1ψxixj（Xt，t）dXj，tdXi，t，（9）其中dXj，tdXi，t根据标准规则（dt）=dt dWi，t=0，dWj，tdWi，t=0，j 6=i，dWi，tdWi，t=dt计算。引理2（维纳过程的更高模型，参见例如Oksendal（1998））。对于标准布朗运动（维纳过程）。下面的高阶矩公式成立：βk（t）：=E[Wkt]，k=0，T≤ 0βk（t）=k（k- 1） Ztβk-2（s）ds，k≤ 2，这意味着[Wkt]=0K很奇怪，k！k（k）！tk，k是偶数。引理3。设z为二元正态，均值为零，s，sbe为非负整数，thenE[ZsZs]=0，如果s+sis奇数，σsσss！ss+smin（s，s）Xj=0（2cor（Z，Z））2j（2j）！s- J!s- J!, 如果s是偶数，σsσss！ss+s-2分钟（秒）-1.s-1） Xj=0（2cor（Z，Z））2j+1（2j+1）！s-1.- J!s-1.- J!, 如果是s，那就奇怪了。