无风险资产的动态投资组合选择

图2和图3是不同γ=1,3,5,10和t=0.5,1,5,10的k（t）和k（t）的曲线图。股票1和股票2的动态如下：dS1t=S1t（0.20dt+0.3dW1t），dS2t=S2t（0.12dt+0.2dW2t）。从图2可以看出，k（t）随着风险规避系数γ的增加而减小。模型2和模型3的最优分配和奖励函数的结构也反映了这一点。坦率地说，模型3收敛于模型2，正如γ收敛于单位。另一方面，图3显示k（t）和k（t）随着终端时间t的增加而减少。然而，对于不同的时间范围，k（t）和k（t）在成熟日期重合。图4显示了t和x对^u（t，x）和^u（t，x）=x的影响- ^u（t，x），0.0.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.60.65.65时间tγ=1 k1（t）t tγ=1 k1（t）t）k1（t）k1（t）k1（t）k1（t）k2（t）k2（t）t）t）0.0 0 0 0.1 0.0 0 0 0 0.1 0.0 0 0 0.1 0 0.0.0 0 0.0.0 0 0.0 0.0.0.0 0 0 0.0.0.0.0 0.0 0 0.2 0.0.0.0 0.0.0.0.0 0 0.0.0 0.0 0 0 0 0 0 0.0.0.0 0 0 0 0.0.0.0.0.0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.050.10.150.20.250.30.350.4时间tγ=10 k1（t）k2（t）图2：函数k（t） 对于t=1的各种γ选择，k（t）。分别投资于股票1和股票2的金额。终点时间T=10，风险规避系数γ=3。从图2中，我们可以看到0<k（t）<1表示allt∈ [0,10]因此^u（t，x）和^u（t，x）都随着x值的增加而增加。此外，由于k（t）和k（t）都随着时间t而增加，因此对于每个固定财富状态x，^u（t，x）是t的增加函数，^u（t，x）是t.4.2的减少函数。比较三个模型，参数为γ=3，t=1，α=0.2，σ=0.3，σ=0，α=0.12，σ=0，σ=0，σ=0.2和r=0.04。为了比较三种模型在不同财富水平下的投资策略，我们假设t=0，并绘制图5和图6。

从图5中，我们可以看到，在模型2中，由于该模型的目标是使预期财富在终端时间T的方差最小化，所以在所有财富水平下，投资于股票2的资金量都大于投资于股票1的资金量，因为股票2的方差小于股票1的方差。在模型3中，投资于股票1的金额大于模型2，而投资于股票2的金额小于模型3。这是因为除了最小化0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.180.20.220.240.260.280.30.32时间视界之外--6个月k1（t）k2（t）0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.160.180.20.220.240.260.280.30.32时间段--1年k1（t）k2（t）0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.050.10.150.20.250.30.350.4时间段--5年k1（t）k2（t）01 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.050.10.150.20.250.30.35时间段--10年k1（t）k2（t）图3：函数k（t）和k（t）对于γ=3的各种t选择。方差，最大化预期财富也是我们在模型3中的目标。因此，一个人会把更多的钱投资到市场风险更大的股票上。此外，在模型3下，我们可以看到，当初始财富较低时，一个人甚至持有股票2的空头头寸。此外，从图6可以看出，模型3的预期财富和财富的条件方差都大于模型2。为了演示，我们模拟了两条价格路径，一条用于股票1，另一条用于股票2。然后，我们计算投资于这两种股票的金额和比例、财富过程、预期财富以及基于这两条路径的三个模型的方差。

投资于股票1和股票2的金额和比例如图7所示。观察到股票1的波动性比股票2的波动性大，不足为奇的是，投资于股票1的资金在模型2中最少，因为它使所有的努力都最小化了方差。很明显，在模型1中，投资者借钱进行风险投资，因为投资股票的金额超过1。可以计算出股票1和股票2的市场价格为（α）- r） /σ=0.5333和（α）- r） /σ=0.4000。图4：模型3中参数对股票1和股票2投资金额的影响。图8是三个模型的财富过程、均值、方差和目标函数的模拟路径。模型3的预期财富最大，方差中等。模型2的方差最低，预期财富也最低。总体而言，在牛市中回报最大的三款车型中，第三款表现最好。5结论在本文中，我们在博弈论的框架下，明确地构造了无风险资产的相关风险资产的最优时间一致性投资组合选择策略。关键思想是Bj？ork和Murgoci（2010）开发的扩展HJB系统的应用。财富的平衡控制是线性的。如果涉及无风险资产，均衡控制具有零斜率（即，它独立于当前财富），并且与Basak和Chabakauri（2010）以及Bj¨ork和Murgoci（2010）中的一致。因此，第3节中的模型3可被视为其模型的扩展。另一方面，随着风险规避接近实际，最优控制的截距项趋于0。从这个意义上讲，模型3中的平衡控制收敛于模型2中的平衡控制。定理1给出了最优解的存在唯一性。

我们还提出了一种确定最优解的迭代格式，其收敛速度在定理4中给出。我们对资产投资金额和比例、最终财富的预期价值进行了数值研究，三者的条件方差和目标函数我们假设α和α都大于无风险利率r.0 0.5 1 1.5 2 2.500.10.20.30.40.50.60.70.80.9初始财富X投资于股票的资金量10 0.5 1 1.5 2 2.5-0.500.511.52初始财富X投资于股票的资金量20.5 1.5 2 2.50102034050初始财富X投资于股票的资金比例10.5 1 1.5 2 2.5-20-100102030405060投资于股票的初始财富比例2模型1模型2模型3模型1模型2模型3模型1模型2模型3模型1模型2模型3图5：t=0的三种模型中投资于股票1和2的金额和比例。模型。比较表明，模型3在牛市中的表现优于前两种。这三种模型都是根据市场风险的价格选择最优策略，即市场风险价格较高的资产分配较多，市场风险价格相同的资产分配相同。与Bj¨ork等人（2014）不同，模型2和模型3中的最优配置取决于初始财富，尽管风险规避系数γ是一个常数。最优报酬函数在初始财富x中是二次的。

通常情况下，当一个寻求风险的投资者对市场持乐观态度时，他会将所有资金投入风险资产。0.5 1 1.5 2 2.500.511.522.53初始财富X预期财富模型1模型2 30 0.5 1.5 2.500.050.10.150.20.25初始财富X财富模型1模型2模型3的方差图6：t=0.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.20.250.30.350.40.50.550.60.65三种模型中的预期财富和条件方差投入资金的时间股票100.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.40.450.50.550.60.650.70.75投资于股票的资金金额2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.30.40.50.60.7投资于股票的资金比例10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.450.50.550.60.60.70.70.850.70投资于股票模型的资金金额0.1ml1模型2模型3模型1模型2模型3图7：三个模型的股票1和2投资金额和比例的模拟路径。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.750.80.850.90.9511.051.1次中间值X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.750.80.850.90.9511.151.2次预期财富0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.8 0.9 100.010.020.040.0.050.0.0.0.0.0.2次Tv0.8 0.0.0.0.0.8-0.200.20.40.60.811.2时间t目标函数模型1模型2模型3模型2模型3模型1模型2模型3模型1模型2模型3图8：预期财富的模拟路径、财富的条件方差和三个模型的回归函数。附录A是定理3的基础。

投资组合价值过程的动力学由dxt=[{α+k（t）（α）给出- α） }Xt+k（t）（α）- α） ]dt+{σ+k（t）（σ）- σ） }Xt+k（t）（σ）- σ)}dW1t+{σ+k（t）（σ）- σ） }Xt+k（t）（σ）- σ)}dW2t，dXt=[2{α+k（t）（α- α） }+{σ+k（t）（σ）- σ） }+{σ+k（t）（σ）- σ） }]Xtdt+2[（α）- α） +{σ+k（t）（σ）- σ)}(σ- σ） +{σ+k（t）（σ）- σ)}(σ- σ） ]k（t）Xtdt+{（σ）- σ)+ (σ- σ） }k（t）dt+2[{σ+k（t）（σ）- σ） }Xt+k（t）（σ）- σ） ]XtdW1t+2{σ+k（t）（σ）- σ） }Xt+k（t）（σ）- σ)XtdW2t，表示ut，x（t）=Et，x（x^uT）和qt，x（t）=Et，x{（x^uT）}。通过对这两个方程两边的期望，我们得到了ut，x（t）=x+^Tt[{α+k（s）（α）- α） }ut，x（s）+k（s）（α）- α） [ds，（A.1）qt，x（T）=x+^Tt[2{α+k（s）（α- α） }+{σ+k（s）（σ）- σ） }+{σ+k（s）（σ）- σ） }]qt，x（s）ds+^Tt2[（α）- α） +{σ+k（s）（σ）- σ)}(σ- σ） +{σ+k（s）（σ）- σ)}(σ- σ） [k（s）ut，x（s）ds+^Tt{（σ）- σ)+ (σ- σ） }k（s）ds。（A.2）方程（A.1）是一个一般的线性微分方程。

这个方程的解是ut，x（t）={I（t，t）}-1.x+（α）- α） ^TtI（t，v）k（t，v）dv.对于已知的ut，x（t），方程（A.2）也是一般线性微分方程，其解为qt，x（t）=xI-2（t，t）I-1（t，t）+2xI-2（t，t）I-1（t，t）^Tt[（α- α) + {σ+ (σ- σ） k（v）}（σ）- σ)+ {σ+ (σ- σ） k（v）}（σ）- σ） ]I（t，v）I（t，v）k（v）dv+2（α）- α） 我-2（t，t）I-1（t，t）^TtI（t，v）I（t，v）k（v）[（α- α） +{σ+k（v）（σ）- σ)}(σ- σ)+ {σ+ (σ- σ） k（v）}（σ）- σ） [vtk（w）I（t，w）dwdv+I-2（t，t）I-1（t，t）{（σ）- σ)+ (σ- σ） ^TtI（t，v）I（t，v）k（v）dv。因此，期望和方差aret，x（x^uT）=ut，x（t）={I（t，t）}-1.x+（α）- α） ^TtI（t，v）k（v）dv,Vart，x（x^uT）=qt，x（T）- {ut，x（t）}={I（t，t）}-2.c（t）x+c（t）x+c（t）,其中c（t）={I（t，t）}-1.- 1，c（t）=-2I-1（t，t）^TtI（t，v）I（t，v）k（v）dv，c（t）={I（t，t）}-1.{(σ- σ)+ (σ- σ） ^TtI（t，v）I（t，v）k（v）dv- 2(α- α） ^TtI（t，v）I（t，v）k（v）^vtI（t，w）k（w）dwdv.函数g（t，x）和V（t，x）由g（t，x）=Et，x（x^uT）={I（t，t）}给出-1x+（α）- α） {I（t，t）}-1^TtI（t，v）k（v）dv，（A.3）v（t，x）=Et，x（x^uT）-γVart，x（x^uT）=-γ{I（t，t）}-2c（t）x+{I（t，t）}-1.-γ{I（t，t）}-2c（t）x+（α）- α） {I（t，t）}-1^TtI（t，v）k（v）dv-γ{I（t，t）}-2c（t）。（A.4）这里，g（t，·）是一个线性函数，而V（t，·）是当前状态的线性二次函数。根据一阶条件和HJB系统（3.12），最优分配^u（t，x）的表达式为：^u（t，x）=（α）- α） Vx- {σ(σ- σ) + σ(σ- σ） }（Vxx）- γgx）x{（σ）- σ)+ (σ- σ） }（Vxx）- γgx）。通过将（A.3）和（A.4）代入这个方程，经过一些繁琐的代数运算，我们得到了用（3.14）-（3.15）代替k（t）和k（t）的常微分方程组。附录B位置1的顶部。我们假设α>α和α<α的情况可以近似处理。我们首先证明积分方程（3.14）允许唯一解k∈ C[0，T]。

构造一个序列k（0）（t）=1，k（n）（t）=（σ）- σ)+ (σ- σ)(- σ(σ- σ) - σ(σ- σ） （B.1）+（α）- α)E-\'Ttnσ+k（n）-1） （s）（σ）-σ） o+nσ+k（n）-1） （s）（σ）-σ） ods- 1.),对于n=1。。尽管如此，t∈ [0，T]，从0≤ E-\'Ttnσ+k（n）-1） （s）（σ）-σ） o+nσ+k（n）-1） （s）（σ）-σ） ods≤ 1.我们有k（n）（t）≥ -(σ- σ)+ (σ- σ)(σ(σ- σ) + σ(σ- σ) + (α- α） ），k（n）（t）≤ -(σ- σ)+ (σ- σ)(σ(σ- σ) + σ(σ- σ)).因此，序列{k（n）}在C[0，T]中一致有界。现在我们来考虑序列˙k（n）式中˙k（n）=dk（n）（t）/dt。导数˙k（n）的表达式为：˙k（n）（t）=α- α(σ- σ)+ (σ- σ)σ+k（n）-1） （t）（σ）- σ)+σ+（B.2）k（n）-1） （t）（σ）- σ)E-\'Ttnσ+k（n）-1） （s）（σ）-σ） o+nσ+k（n）-1） （s）（σ）-σ） o由于我们已经证明了{k（n）}在C[0，T]中是一致有界的，从（B.2），我们可以得出这个序列˙k（n）在C[0，T]中也是一致有界的。表示所有n和所有t的| k（n）|<m∈ [0，T]。因此，对于任何t，t∈ [0，T]和T<T，我们有k（n）（t）- k（n）（t）=^ddsk（n）（t+s（t- t） ）ds=（t）- t） ^˙k（n）（t+s（t- t） ）ds≤ （t）- t） max0≤T≤T˙k（n）（t）= M（t）- t） 。因此，序列{k（n）}也是等连续的。根据Arzela–Ascoli定理，存在{k（n）}，{k（ni）}和一个k的子序列∈ C[0，T]使得k（ni）→ 卡斯一世→ ∞.自{k（ni）}satis fies（B.1）以来→ ∞, 我们可以得出结论，kis是（B.1）的解决方案。为了解的唯一性，假设kand-kare方程（B.1）有两个解。由于kand lare在[0，T]中有界，因此函数-T^th{σ+k（s）（σ）- σ） }+{σ+k（s）（σ）- σ） }idsand-T^th{σ+l（s）（σ）- σ） }+{σ+l（s）（σ- σ） }id也有界于所有t∈ [0，T]。由于函数f（x）=存在于有界集上的Lipschitz，很容易推导出| k（t）- l（t）|≤ 梅特| k（s）- l（s）|ds。这个Gronwal不等式意味着k（t）=l（t）对于所有t∈ [0，T]。因此，我们证明了方程（3.14）允许唯一解k∈ C[0，T]。

对于方程（3.15），表示λ=（α- α)/{(σ- σ)+ (σ- σ） }，φ（t）=γ-1λI（t，t）I（t，t）和l（t，v）=I（t，v）I（t，v）。然后我们有k（t）=φ（t）+λ^TtL（t，v）k（v）dv。方程（B.3）是第二类Volterra积分方程。考虑映射F:C[0，T]→ C[0，T]，fk（T）=φ（T）+λ^TtL（T，v）k（v）dv。那么，不管怎样，我∈ C[0，T]，| F k（T）- fl（t）|=|λ|^TtL（t，v）{k（v）- l（v）}dv≤ |λ| M（T）- t） 马克斯特≤s≤T|k（s）- l（s）|其中M=max0≤t、 t≤T | L（T，T）|。因此，|Fk（t）- Fl（t）|=|λ|^TtL（t，v）{fk（v）- fl（v）}dv≤ |λ| M^Tt |λ| Mmaxt≤s≤T|k（s）- l（s）|（T）- v） dv=|λ| M（T- t） 马克斯特≤s≤T|k（s）- l（s）|。通过归纳，我们得到了| Fnk（t）- Fnl（t）|≤n|λ| nMn（T- t） nmaxt≤s≤T|k（s）- l（s）|≤n|λ| nmntnmxt≤s≤T|k（s）- l（s）|。辛塞利姆→∞{|λ| MT}nn！=因此，对于给定的固定值λ和T，存在一个整数N，使得0≤{|λ| MT}NN！<1.映射Fn是一个收缩，因此方程（B.3）只有一个解。附录C是定理4的基础。迭代格式（3.17）-（3.18）收敛速度的证明类似于Bj¨ork等人（2014）的定理4.9。因此，我们在此省略它。使用附录B中的符号，迭代方案（3.19）-（3.20）可以写成ask（n）（t）=φ（t）+λ^TtL（t，v）k（n）-1） （v）dv。表示k（n）=k（n）- k（n）-1） ，用于T∈ [0，T]，我们有\'k（n）（t）= |λ|^TtL（t，v）k（n）-1） （五）- k（n）-2） （五）dv≤ |λ| M^Tt\'k（n）-1） （五）dv。（C.1）设ωn（t）=Tt\'k（n）（s）ds。从方程（C.1）中，我们有ddtωn（t）+λ| Mωn-1（t）≥ 0，因此ωn（t）≤ |λ| M^Ttωn-1（v）dv≤ （|λ| M）^Tt^Tvωn-1（s）dsdv=（|λ| M）^Tt^stωn-1（s）DVD=（|λ| M）^Tt（s）- t） ωn-1（s）dv≤ （|λ| M）^Tt（s）- t） ^Tsωn-2（v）DVD≤ （|λ| M）^Tt^vt（s）- t） ωn-2（v）dsdv≤ （|λ| M）^Tt2！（五）- t） ωn-2（v）dv≤ · · ·≤ （|λ| M）n^Tt（n）- 1)!（五）- t） n-1ω（v）dv≤N（|λ| M）n（T）- t） nω（0）。因此k（n）（t）- k（t）=-∞Xj=n\'k（j+1）≤∞Xj=n\'k（j+1）≤∞Xj=nj！ω（0）（|λ| M）j+1（T）- t） j≤∞Xj=nj！Kj+1（T）- t） 对于n=1。

这里，K可以被选为大于max（|λ| M，ω（0）|λ| M）的任何正常数。参考Bajeux Besnainou，I.和Portait，R.（1998年）。均值-方差框架下的动态资产配置。《管理科学》，44（11），79–95。Basak，S.和Chabakauri，G.（2010）。动态均值-方差资产配置。财务研究回顾，232970-3016。比莱基，T.R.，金，H.，普利斯卡，S.R.，和周，X.Y.（2005）。带破产禁令的连续时间平均方差投资组合选择。《数学金融》，15（2），213-244。T.比约克和A.穆尔戈奇（2010）。马尔可夫时间不一致随机控制问题的一般理论。工作论文，斯德哥尔摩经济学院。请致电SSRN1694759。比约克，T.和穆尔戈奇，A.（2014）。离散时间的马尔可夫时间不一致随机控制理论。《金融与随机》，18（3），545-592。比约克，T.，穆尔戈奇，A.，和周，X.Y.（2014）。具有状态依赖风险规避的均值-方差投资组合优化。数学金融，24（1），1-24。Bensoussan，A.，Wong，K.C.，Yam，S.C.P.，和Yung，S.P.（2014）。卖空禁令下的时间一致性投资组合选择：从离散到连续。《金融数学杂志》，第5（1）期，153-190页。陈平和杨海平（2011）。Markowitz的均值-方差资产负债管理与制度转换：一个多期模型。应用数学金融，18（1），29-50。陈沛、杨浩和尹庚（2008）。马科维茨的均值-方差资产负债管理与制度转换：一个连续时间模型。保险：数学与经济学，43（3），456-465。戴，M.，徐，Z.Q.，和周，X.Y.（2010）。考虑交易费用的连续时间马科维茨模型。暹罗金融数学杂志，1（1），96-125。I.埃克兰和A.拉兹拉克（2006年）。认真对待不承诺：连续时间内的子博弈均衡。预印本。