无风险资产的动态投资组合选择

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英文标题：
《Dynamic portfolio selection without risk-free assets》
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作者：
Chi Kin Lam, Yuhong Xu, Guosheng Yin
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider the mean--variance portfolio optimization problem under the game theoretic framework and without risk-free assets. The problem is solved semi-explicitly by applying the extended Hamilton--Jacobi--Bellman equation. Although the coefficient of risk aversion in our model is a constant, the optimal amounts of money invested in each stock still depend on the current wealth in general. The optimal solution is obtained by solving a system of ordinary differential equations whose existence and uniqueness are proved and a numerical algorithm as well as its convergence speed are provided. Different from portfolio selection with risk-free assets, our value function is quadratic in the current wealth, and the equilibrium allocation is linearly sensitive to the initial wealth. Numerical results show that this model performs better than both the classical one and the variance model in a bull market.
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中文摘要：
我们在博弈论框架下考虑了无风险资产的均值-方差投资组合优化问题。通过应用扩展的Hamilton--Jacobi--Bellman方程，半显式地解决了这个问题。虽然我们的模型中的风险规避系数是一个常数，但投资于每只股票的最佳资金量通常仍取决于当前的财富。通过求解一组常微分方程组得到最优解，证明了该方程组的存在唯一性，给出了数值算法及其收敛速度。与无风险资产的投资组合不同，我们的价值函数是当前财富的二次函数，均衡配置对初始财富具有线性敏感性。数值结果表明，该模型在牛市中的表现优于经典模型和方差模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Dynamic_portfolio_selection_without_risk-free_assets.pdf (684.28 KB)

2022-5-10 19:06:55 上传

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关键词：投资组合选择 投资组合 无风险 Optimization Differential

无风险资产的动态投资组合选择*, 徐宇红+和尹国胜2016年2月13日摘要。在博弈论框架下，考虑了无风险资产的均值-方差投资组合优化问题。通过应用扩展的Hamilton–Jacobi–Bellman方程，半显式地解决了这个问题。虽然在我们的模型中，风险规避系数是一个常数，但投资于每只股票的最佳资金量通常仍取决于当前的财富。通过求解一组常微分方程组得到了最优解，证明了该方程组的存在唯一性，给出了数值算法及其收敛速度。与无风险资产的投资组合选择不同，我们的价值函数是当前财富的二次函数，均衡配置对初始财富具有线性敏感性。数值结果表明，该模型在牛市中的表现优于经典模型和方差模型。关键词：均值-方差投资组合选择，资产配置，时间不一致性，均衡控制，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程。*香港大学统计与精算学系，香港薄扶林道，电子邮件：cklamsta@hku.hk+中华人民共和国苏州市苏州大学数学科学院数学跨学科研究中心，邮编215006，电子邮件：yhxu@suda.edu.cn.香港大学统计与精算系，香港薄扶林道，电子邮件：gyin@hku.hk1简介投资组合选择问题涉及如何在一组资产之间分配财富。

在他的开创性工作中，马科维茨（1952、1959）首次在单期框架中提出了均值-方差（MV）投资组合选择理论，该理论被视为现代金融的基石。在这一开创性的理论中，投资者的目标是最大化平均收益，同时最小化方差，方差被视为风险的度量。这个问题有多种解决方案，其中包括所谓的效率边界，因为它是一个多目标优化问题。事实上，效率边界上的每一点都是单目标优化问题的最优解，即在给定的预期财富水平下，使相应的方差最小化。当允许卖空且由股票波动率组成的协方差矩阵为非负定义时，平均方差前沿的解析表达式在Markowitz（1956）和Merton（1972）中得到。在协方差矩阵为非负定义的情况下，Perold（1984）描述了一种解决MV投资组合选择问题的算法。然而，有人批评在最初的MV框架中如何测量风险。关于替代风险度量的讨论，见Markowitz（1959）。除了预期投资组合收益的方差外，还提出了构建最优投资组合的风险度量方法，如半方差、下偏矩和下行风险，见Konno和Yamazaki（1991年）、Markowitz等人（1993年）、Zenios和Kang（1993年）以及Ogryczak和Ruszczy\'nski（1999年）。将原来的单周期模型扩展到多周期情况的一个主要挑战是时间不一致性，因为违反了贝尔曼最优性原则。在这种情况下，控件的可选性取决于当前状态和初始状态。

因此，术语“最优性”以及“最优控制律”的概念尚不清楚。从技术上讲，我们不能直接应用动态规划来解决这个问题。处理一系列时间不一致的问题有三种流行的方法。第一种策略在经济学文献中被称为“预先承诺”策略，寻求在初始时间优化目标函数的策略。它是否是未来目标函数的最佳选择则被忽略。在这里，“最优”的解释是“从初始时间的角度来看是最优的”。Richardson（1989）和Bajeux Besnainou及Portait（1998）首先在预先承诺的环境下开发了MV模型的连续时间版本。多周期版本的另一个扩展可以在Li和Ng（2000）中找到。他们将原时间不一致问题嵌入到一类辅助随机线性二次（LQ）控制问题中。利用类似的技术，Zhou和Li（2000），Lim和Zhou（2002），Lim（2004），Bielecki等人（2005），Xia（2005）提供了连续时间MV门叶选择问题的解决方案。周和尹（2003）、陈等（2008）和陈和杨（2011）研究了在制度转换的情况下，MV投资组合选择和资产负债管理问题。Dai等人（2010年）在考虑交易成本时提供了一个预先承诺的策略。解决时间不一致性的第二种方法是，投资者不使用在初始时间固定的策略，而是不断更新其财富分配，以便在当前时间优化相应的目标函数。第三种方法是认真对待时间不一致性。

在这种情况下，一个主要的挑战是，动态规划方法无法直接应用，因为目标函数中涉及的方差项不是财富预期价值的线性函数，因此违反了利润预期属性。早期的相关文献有Strotz（1955）和Pollak（1968）。在Strotz（1955）一书中，作者论证了如果将贴现函数应用于消费计划，一开始对投资者来说是最优的某个计划在未来可能不会是这样。然而，在某些情况下，这些论文中制定的处理时间不一致问题的策略并不存在。Seeeleg和Yaari（1973年）。在Peleg和Yaari（1973）中，时间不一致问题被视为非合作博弈，最优策略被描述为纳什均衡。在这个框架中，每个时间点都有一个参与者，每个参与者都应该找到自己的策略，以最大化其目标函数。事实上，这些玩家可以被视为我们未来的化身。从这个角度来看，Ekeland和Lazrak（2006年）以及Ekeland和Pirvu（2008年）分别在确定性和随机模型中考虑了非恒定三价贴现的默顿投资组合管理问题。这两篇论文对连续时间博弈论均衡概念进行了精确定义。Basak和Chabakauri（2010）考虑了完全市场环境下的动态均值-方差投资组合问题。他们推导了均值-方差准则的递推公式，并通过动态规划方法获得其时间一致性策略的闭式表达式。然而，他们的方法只能应用于具有MV目标函数的随机控制问题。

对于时间不一致的目标函数，比约克和穆尔戈奇（2010）以及比约克和穆尔戈奇（2014）在博弈论框架内发展了离散时间和连续时间理论。他们推导了一个扩展的Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程，并提供了相应的验证定理。作为一个例子，除了MV效用模型之外，还利用所发展的理论解决了非指数折扣和终端时间效用函数依赖于当前状态的时间不一致控制问题。然而，比约克等人（2014年）认为，在巴萨克和沙巴卡里（2010年）开发的最优控制，可以用比约克和穆尔戈奇（2010年）的理论复制，在经济上是不合理的，因为它不依赖于当前的财富状态。为了构建一个更现实的模型，作者考虑了风险规避依赖于当前财富的情况。特别是，如果风险厌恶与当前财富状态成反比，那么投资于风险资产的最佳资金量与财富成正比。根据卖空禁令，本苏桑等人。（2014）研究了同一问题，在离散和连续时间条件下，风险规避与当前财富成反比，并证明离散时间模型中的最优控制收敛于连续时间条件下的最优控制。另一方面，Wangand Forsyth（2010）和Wang and Forsyth（2011）提出了用于确定连续MV资产配置问题的预承诺策略和时间一致性策略的数值方案。在他们的算法中，任何类型的约束都可以应用于投资行为。

然后，Wang和Forsyth（2012）扩展了在平均二次变异问题中确定这两种策略的数值技术。除了投资组合选择问题外，Bj–ork和Murgoci（2010）在均值-方差框架下开发的扩展HJB方程还有其他应用。Wei等人（2013）推导了资产负债管理问题的均衡控制。此外，利用博弈论方法构建了最优的时间一致性投资和再保险策略，见Li and Li（2013）、Zeng et al.（2013）、Li et al.（2015）和Lin and Qian（2015）。本文构造了多资产MV资产配置问题的均衡控制。我们考虑三种模型，在所有这些模型中，投资者可以交易的资产是多支股票。在模型1中，还包括一种利率不变的无风险债券。模型1和模型3中考虑的目标函数与具有恒定风险规避的MV投资组合问题中使用的目标函数相同，而模型2中的目标函数仅包含方差项。事实上，无风险资产可以被视为零波动的资产。从这个角度来看，模型3可以被视为比约克和穆尔戈奇（2010）以及巴萨克和沙巴卡里（2010）中模型的广义版本。随着风险规避的深入，模型3中导出的均衡控制收敛到模型2中的均衡控制。此外，尽管本文考虑的风险规避是一个常数，但如果无风险资产不可用，投资于每项风险资产的最佳金额仍然取决于当前的财富，这是出乎意料的。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们给出了问题的公式以及博弈论框架。

在第3节中，我们陈述了三种不同类型资产和目标函数的模型。对于每个模型，我们陈述了相应的扩展HJB系统。使用合适的ANSATZ，我们可以显式地求解每个系统。对于模型3，证明了解的存在唯一性。我们还提供了计算该解的数值算法及其收敛速度。第3节还介绍了两种特殊情况。在第4节中，提供了模型3中的一些自然参数组合。还提供了三种模型的图解，以供比较。第五部分总结本文。该命题和定理的主要技术证明在附录中给出。2博弈论框架中的问题公式假设t时的状态Xt（通常是财富过程）由线性随机微分方程给出：dXt=u（t，Xt，ut）dt+σ（t，Xt，ut）dWtwhereu，σ：[0，t]×R×R→ R满足适当条件，使得随机微分方程有唯一解。我们首先回顾了比约克和穆尔戈奇（2010）提出的问题。对于确定性函数F（x，y）和G（x，y），我们考虑形式为j（t，x，u）=Et，x{F（x，XuT）}+G{x，Et，x（XuT）}的奖励函数，其中（t，x）是固定的时间和财富的初始点。Bj¨ork和Murgoci（2010）指出，由于对初始状态的依赖，以及第二项的出现（这是预期的非线性函数，因此是一个时间不一致的问题），使该奖励函数最大化的优化问题不满足Bellman最优性原则。因此，动态规划无法解决这个问题。我们可以在Bj¨ork and Murgoci（2010）建立的博弈论框架中描述问题，并构造一个时间一致的最优策略，而不是预先承诺的策略。

在这个框架内，优化问题被视为一个非合作博弈，在每个时间点t，都有一个参与者t，可以将其视为投资者的化身。然后，最佳时间一致性策略^u定义为：对于任意时间点t，参与者t的最佳策略为^u（t，·）。假设每个参与者s，其中s>t使用策略^u（s，·）。现在，我们提供了本文所采用的均衡控制的正式定义。这一定义由比约克和穆尔戈奇（2010）给出。定义1。（平衡控制律）。一个容许控制律^u称为平衡控制，如果对于R和h中的每一个容许控制律u>0，uh（s，y）=u、 对于t≤ s<t+h，y∈ Rn^u代表t+h≤ s≤ T、 y∈ Rn，这样的话→0+J（t，x，^u）- J（t，x，uh）h≥ 0表示任何（t，x）∈ [0，T]×R.平衡值函数V定义为V（T，x）=J（T，x，^u）。对于控制律u，我们首先定义一个极小算子Au:Au=t+u（x，u（t，x））x+σ（x，u（t，x））x、 定义2。（扩展的HJB方程）。对于纳什均衡问题，J的扩展HJB方程组∈U{（AuV）（t，x）- （Auf）（t，x，x）+（Aufx）（t，x）-Au（G） g） （t，x）+Gy（x，g（t，x））·Aug（t，x）}=0,0≤ T≤ T、 A^ufy（T，x）=0，0≤ T≤ T、 A^ug（T，x）=0,0≤ T≤ T、 V（T，x）=F（x，x）+G（x，x），F（T，x，y）=F（y，x），G（T，x）=x。在这个HJB系统中，^u是第一个方程的最优控制律。符号Gy、FY和G g定义为asGy（x，y）=yG（x，y），fy（t，x）=f（t，x，y），（G g） （t，x）=g（x，g（t，x））。对于函数f和g，我们有以下概率解释：f（t，x，y）=Et，xFy、 X^uT, （2.1）g（t，x）=Et，x（x^uT）。（2.2）定理1。（验证定理）。假设（V，f，g）是定义2中定义的HJB系统的解，第一个方程中的上确界为^u（t，x）。

那么^u是一个平衡控制律，V（t，x）是相应的值函数。此外，f和gallow用于概率解释（2.1）和（2.2）。验证定理的证明见比约克和穆尔戈奇（2010）的第3节。该定理表明，扩展HJB系统的解产生了原随机控制问题的最优控制和值函数。3投资组合选择我们考虑银行账户B的动态和风险股票的价格Si:dBt=RBTDSIT=αiSitdt+dXj=1σijSitdWjt，i=1，n、 其中，r是银行账户B的无风险利率，αiis是股票i的平均回报率，σi是受风险源j影响的股票i的波动量。表示Ui是投资于第i种股票的美元金额，ut=（u1t，…，unt）是相应的向量。本节考虑了两种情况：第一种是将无风险资产和多个风险资产纳入我们的投资组合，另一种是仅将多个风险资产纳入我们的投资组合。通过不同的目标函数，我们将推导出相应的最优美元金额。如果布朗运动相互关联，使得E（dWitdWjt）=ρijdt，ρii=1，那么股票价格与sjiscov（Sit，Sjt）=Si0Sj0e（αi+αj）t之间的相关性ePdk=1σikσjkt- 1.,式中，σi1=Pdk=1ρ1kσIk和σil=q1- ρ1lσill对于l=2，d、 为了简单起见，在我们将要讨论的模型中，我们考虑n=2和d=2的情况，即：dS1t=αS1tdt+σS1tdW1t+σS1tdW2t，dS2t=αS2tdt+σS2tdW1t+σS2tdW2t，（3.1）此外，对于具有相关系数ρij和Wjt的两个布朗运动，我们可以进行转换Wit=~Wit，Wjt=ρij ~+q1- ρij~Wjt，其中E（d~Witd~Wjt）=0。