无风险资产的动态投资组合选择

因此，我们可以假设两种不同的布朗运动之间的相关系数为零，即对于I6=j，ρij=0，ρii=1.3.1重新考虑无风险资产的均值-方差优化在本节中，我们在完全市场的框架下重新考虑了Basak和Chabakauri（2010）的模型，并进行了一些特别分析，这些分析将很容易与接下来的两种模型进行比较。在我们的模型1中，投资组合中包括一项无风险资产和两项风险资产。目标函数是j（t，x，u）=Et，x（XuT）-γVart，x（XuT），其中γ∈ R是风险规避系数。表示σi=（σi1，σi2）T，因为i=1，2，σ=（σ，σ）和Wt=（W1t，W2t）T。让1=（1，1）T。投资者财富的动态是=rXut+（α）- r1）Tut}dt+uTtσdwt，其中ut=（u1t，u2t）是时间t时两种股票的美元投资向量。在这种情况下，函数F（x）=x-γx和G（x）=γx。相应的扩展HJB方程由VT+supu给出∈R{rx+（α）- r1）Tu}Vx+Vxx- γgxuTσTu= 0，gt+{rx+（α- r1）Tu}gx+gxxuTσ∑Tu=0，（3.2）V（T，x）=x，g（T，x）=x。假设2×2矩阵σ是可逆的，根据Basak和Chabakauri（2010）的第3.2节，我们得到了方程（3.2）的解：V（T，x）=er（T）-t） x+2γ（α）- r1）T（σT）-1(α - r1）（T- t） ，g（t，x）=er（t-t） x+γ（α）- r1）T（σT）-1(α - r1）（T- t） 平衡控制为^u（t，x）=γe-r（T）-t） （σt）-1(α - r1）。正如我们将在下面的分析中看到的那样，风险源和风险资产的数量会极大地影响均衡。一个布朗运动案例：假设只有一个随机因素影响市场。在不丧失一般性的情况下，让σ=σ=0（3.1）。财富过程可以写成dxut={Xutr+（α- r） u+（α）- r） u}dt+（σu+σu）dWt（3.3），其中wt是一维布朗运动。

根据（3.2）的第一个方程和第一阶条件，我们得到（σTσ）u=Vxγgx- Vxx（α）- r1），或者确切地说，σu+σu=α-rσVxγgx-Vxx，σu+σu=α-rσVxγgx-Vxx。（3.4）（i）如果两种股票的风险市场价格相等，即（α）- r） /σ=（α）- r） /σ，最优货币量^uan和^uo仅满足∑u+σu=α- rσVxγgx- Vxxx不是唯一的。利用这个关系，我们可以得到（3.2）：V（t，x）=er（t）的解-t） x+2γα- rσ（T）- t） ，g（t，x）=er（t-t） x+γα- rσ（T）- t） 。因此，最优货币量的相应线性组合为^uσ+^uσ=γα- rσe-r（T）-t） 。这与金融直觉是一致的，因为在相同的市场风险价格下，多多少少购买其中一种并不重要。（ii）如果（α）- r） /σ6=（α）- r） /σ，因为Vx6=0，所以（3.4）不存在解。我们有两种市场风险价格。很明显，当σ=σ，但α>α时会出现这种情况。这显然意味着套利。直觉上，在这种情况下，一个人应该购买市场风险价格较高的股票，即尽可能多地购买股票。两个布朗运动情形：如果我们仍然有两个风险资产，但这两个资产价格的不确定性由两个独立的布朗运动决定，即（3.1）中的σ=σ=0。在没有损失慷慨的情况下，我们进一步假设σ=σ=σ，即两种股票的波动率相同。（i） 如果α=α=α，那么^u（t，x）=^u（t，x）=γe-r（T）-t） α- rσ，也就是说，当只有一种股票可用时，它们与导出的最优值相同。

请注意，这两种股票彼此并不完全相同，因为它们是由两个独立的布朗运动随机化的，这表明投资者的决定将受到外观参数α和σ的影响。（ii）如果α6=α，则^ui（t，x）=γe-r（T）-t） αi- rσ，i=1，2，即，如果两支股票的波动率相同，则投资于每支股票的资金与其升值率正相关。如果Vx≡ 0时，HJB系统（3.2）的第一个方程变为Vt≡ 因此V（t，x）是所有t的常数∈ [0，T]和x∈ R.这与边界条件V（T，x）=x.3.2只有两支股票的方差模型在该模型中，我们认为一个喜欢风险的投资者不会把钱存入银行账户，并且方差作为目标函数j（T，x，u）=-γVart，x（XuT）。假设只有两支股票可用，我们表示在时间t到ut时投资股票1的金额。因此，投资于股票2的资金数额为Xt- u投资组合价值过程的动态为Xut={utα+（Xut- ut）α}dt+{utσ+（Xut）- ut）σ}dW1t+{utσ+（Xut- ut）σ}dW2t。（3.5）相应的扩展HJB方程由VT+supu给出∈U{xα+（α- α） u}Vx+{xσ+（σ- σ） u}+{xσ+（σ- σ） u}Vxx- γgx= 0，gt+{xα+（α- α） u}gx+{xσ+（σ- σ） u}+{xσ+（σ- σ） u}gxx=0，V（T，x）=0，g（T，x）=x.（3.6）对于最优解^u，我们将Ansatz:^u（T，x）=k（T）x。

（3.7）至于为什么要这样做，我们首先尝试了^u（t，x）=k（t）x+c（t）的形式，当把g（t，x）=a（t）x，V（t，x）=a（t）x放入HJB系统（3.6）时，这会导致矛盾。通过将方程（3.7）代入方程（3.5），我们得到财富过程：dX^ut={α+（α-α） k（t）}X^utdt+{σ+（σ-σ） k（t）}X^utdW1t+{σ+（σ-σ） k（t）}X^utdW2t。从这个方程中，我们可以得到期望值：Et，xX^uT= e′Tt{α+k（s）（α）-α） }dsx，Et，xX^uT= 埃特α+k（s）（α-α） +0.5{σ+k（s）（σ）-σ） }+0.5{σ+k（s）（σ-σ)}dsx。因此，财富的条件方差是Vart，xX^uT= Et，xX^uT-Et，xX^uT= e′Tt{α+k（s）（α）-α） }dse`Tt[{σ+k（s）（σ）-σ） }+{σ+k（s）（σ）-σ） }]ds- 1.x、 方程（3.6）的解由g（t，x）=Et，x给出X^uT= e′Tt{α+k（s）（α）-α） }dsx，V（t，x）=-γVart，xX^uT=γe′Tt{α+k（s）（α-α） }ds1.- e`Tt[{σ+k（s）（σ）-σ） }+{σ+k（s）（σ）-σ） }]dsx、 表示a（t）=e`Tt{α2+k（s）（α-α） }ds，A（t）=γe′Tt{α+k（s）（α）-α） }ds1.- e`Tt[{σ+k（s）（σ）-σ） }+{σ+k（s）（σ）-σ） }]ds,然后V（t，x）=A（t）x和g（t，x）=A（t）x。定理2。假设两种股票的波动率不完全相同，即（σ）-σ)+ (σ- σ） 6=0，根据HJB方程（3.6）和一阶条件，我们得到了最优分配^u（t，x）=（α）的表达式- α） Vx- {σ(σ- σ) + σ(σ- σ） }（Vxx）- γgx）x{（σ）- σ)+ (σ- σ） }（Vxx）- γgx）=2（α- α） A（t）- {σ(σ- σ) + σ(σ- σ)}2A（t）- γa（t）{(σ- σ)+ (σ- σ)}2A（t）- γa（t）x=k（t）x，其中k（·）满足以下普通微分方程（ODE）：k（t）=（σ）- σ)+ (σ- σ)((α- α)E-\'Tt[{σ+k（s）（σ-σ） }+{σ+k（s）（σ）-σ） }]ds- 1.- σ(σ- σ) - σ(σ- σ)).

（3.8）如果第一项资产是α=α，σ=σ>0，σ=0的股票，而第二项资产退化为α=r，σ=σ=0的无风险资产，则该方程具有唯一解k（t）≡ 0代表所有t∈ [0，T]，即我们不向风险资产投资任何资金。这是合理的，因为在这个模型中，投资者构建投资组合的唯一考虑是最小化风险，因此他将所有财富投资于无风险资产，以避免承担任何风险。一个布朗运动案例假设只有一个随机因素影响市场。在不丧失一般性的情况下，设σ=σ=0。通过将一阶条件应用于HJB系统（3.6）的第一个方程，我们得到：{（σ）- σ)+ (σ- σ） }u=（α）- α） Vxγgx- Vxx- {σ(σ- σ) + σ(σ- σ） }x.（3.9）对（3.8）解的唯一性和存在性的证明与附录B中给出的k（t）的常微分方程的唯一性和存在性的证明相同。（i）如果σ=σ和α=α，（3.9）始终为真，无论实数u取什么，该方程的两边将始终为0。事实上，这两支股票是“一样的”。（ii）如果σ=σ，但α6=α，由于Vx6=0，则（3.9）不存在解。两个布朗运动情形：如果两种资产价格的不确定性由两个波动量相同的独立布朗运动决定，即σ=σ=σ和σ=σ=0，则最优配置为^u（t，x）=k（t）x，其中k（t）=α- α2σE-`Ttσ{2k（s）-2k（s）+1}ds- 1.+.时间t∈ [0，T]，时间段结束时对财富的预期由et，x（XuT）=xe\'Tt{α+k（s）（α）给出-α） 当其方差为vart时，x（XuT）=xe\'Tt{α+k（s）（α）-α） }dse’Ttσ{2k（s）-2k（s）+1}ds- 1.. （3.11）（i）如果α=α=α，那么^u（t，x）=^u（t，x）=x，即，在任何时间t，在不进行短期抛售的情况下，投资于两支股票的金额都是一半。

从财务角度来看，这是合理的：两个随机因素（布朗运动）之间没有排名，两支股票表现在同一水平（σ=σ，α=α）。因此，没有理由更加强调一只股票。但在接下来的两个病例中，情况会有所不同。通过替换Vx≡ 在HJB系统（3.6）的第一个方程中，我们得到Vt=γσxgx或任何函数u。因此，我们可以在（3.6）的第二个方程中设置u=0，相应的解是g（t，x）=xeα（t-t） 。由此，我们得到Vt=γσe2α（T-t） 这导致了与Vx的矛盾≡ 0.（ii）如果α>α，则^u（t，x）<x<^u（t，x）。（iii）如果α<α，则^u（t，x）>x>^u（t，x）。从（ii）和（iii）中，我们可以看到，在相同的波动率下，投资于升值率较高的股票的金额小于投资于贬值率较低的股票的金额。在方差标准下，这不会导致矛盾，因为大的α产生大的方差。3.3无银行账户的均值-方差标准对于第三种模型，如模型2中所示，投资组合仅包括两种风险资产。然而，目标函数与模型1相同，即J（t，x，u）=Et，x（XuT）-γVart，x（XuT）。考虑到投资股票1u（t，x）的资金量，财富的动态与模型2中的相同，即方程（3.5）。相应的扩展HJB方程由VT+supu给出∈U{xα+u（α）- α） }Vx+{xσ+u（σ）- σ） }+{xσ+u（σ- σ)}Vxx- γgx= 0，gt+{xα+u（α- α） }gx+{xσ+u（σ）- σ） }+{xσ+u（σ- σ)}gxx=0，V（T，x）=x，g（T，x）=x.（3.12）（3.6）和（3.12）之间唯一的区别是V（T，x）取不同的值。假设该问题的最优分配形式为^u（t，x）=k（t）x+k（t）。（3.13）定理3。假设（σ）- σ)+ (σ- σ) 6= 0.

最优分配为^u（t，x）=k（t）x+k（t），其中k满足ODE系统：k（t）=（σ）- σ)+ (σ- σ)((α- α)E-\'Tt[{σ+k（s）（σ-σ） }+{σ+k（s）（σ）-σ） }]ds- 1.- σ(σ- σ) - σ(σ- σ） ），（3.14）k（t）=α- α(σ- σ)+ (σ- σ)γI（t，t）I（t，t）+^TtI（t，v）I（t，v）k（v）dv, （3.15）式中i（t，v）=e-\'vt{α+k（s）（α-α） }ds，I（t，v）=e-\'vt{σ+k（s）（σ）-σ） }+{σ+k（s）（σ）-σ)}ds，I（t，v）=（α）- α） I（t，t）- [(α- α) + (σ- σ） {σ+k（v）（σ）- σ)}+ (σ- σ） {σ+k（v）（σ）- σ） }]I（t，v）。证据定理3的证明相当乏味。我们把它放在附录A提案1中。ODE系统（3.14）和（3.15）允许一个唯一的解决方案（k（t），k（t））在这里k，k∈ C[0，T]。证据见附录B。我们现在提出一些意见和分析。求解这个HJB系统的过程在很大程度上依赖于^u（t，x）的Ansatz。我们尝试了这种近似形式，我们将在后面看到，在这个模型中，knor kequals均不为零不同于Bj¨ork等人（2014）中的平衡控制律^u（t，x）=c（t）x，其中c（t）是γ的函数，模型3的平衡控制律中与当前财富状态k（t）相关的对应部分不依赖于γ假设（σ）- σ)+ (σ- σ） 严格来说是积极的，1。如果α>（<）α，则k（t）和^u（t，x）的值随着γ的增加而减少（增加）。2.如果α=α，则T∈ [0，T]，我们有k（T）≡ -(σ- σ)+ (σ- σ)(σ(σ- σ) + σ(σ- σ） ），（3.16）k（t）≡ 0，即k（t）和k（t）是关于t的常数。在这种情况下，^u（t，x）=k（t）x直接与x成正比，其比例常数不随时间t变化。如果我们进一步假设σ=σ=0，常数k（t）大于1，当σ<σ时，常数k（t）大于x。在这种情况下，我们做多股票1，做空股票2。

另一方面，如果σ>σ，我们有^u（t，x）<0，这表明我们做空股票1，做多股票2此外，通过将方程（3.14）中的k（t）与t进行微分，我们得到了ddtk（t）=α- α(σ- σ)+ (σ- σ） e-\'Tt[{σ+k（s）（σ-σ） }+{σ+k（s）（σ）-σ） }]ds×{σ+k（t）（σ）- σ） }+{σ+k（t）（σ）- σ)}.因此，如果α>α，那么dk（t）/dt>0，因此k（t）的值随着t的增加而增加（减少）注意，对于这个模型，如果我们让σ=σ=σ=0，那么第一只股票价格的不确定性仅由一个布朗运动控制，第二只股票成为无风险资产。在这种情况下，模型3与第6节中考虑的模型相同。比约克和穆尔戈奇（2010）的第一部。利用方程（3.13）、（A.3）和（A.4）得到的最优配置^u（t，x）、最优投资组合的期望值Et，x（x^uT）和均衡值函数V（t，x）与Bj¨ork和Murgoci（2010）第6.1节中的结果一致。一个布朗运动情况：对于只有一个布朗运动的情况，即σ=σ=0和σ=σ>0。因为HJB系统（3.12）的第一个方程与（3.6）中的方程相同。因此，从一阶条件来看，我们有（3.9）。（i） 如果α=α，我们的结论与模型2中的结论相同。（ii）如果α6=α，由于Vx6=0，模型2中的推导类似，因此，（3.12）不存在最优解。两个布朗运动情况：假设有两个独立的布朗运动，即σ=σ=0。此外，weassumeσ=σ>0。（i） 如果α=α=α，那么^u（t，x）=x，即，在任何时间t，投资于每只股票的金额都是相同的，这与模型2中的相同情况一致。通过这种优化配置，财富的预期和方差分别为（3.10）和（3.11）。可以相应地编写奖励函数。（ii）如果α6=α，那么还不能得出结论，因为无法获得^u（t，x）=k（t）x+k（t）的显式解。

研究k（t，x）和k（t，x）的行为需要数值分析。作为演示，我们计算了t和γ的几个组合的k（t）和k（t）。参数由以下公式给出：α=0.2，α=0.12，σ=σ=0.25，σ=σ=0。结果如图1所示。从图1中，我们有以下观察结果：0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.30.40.50.60.70.80.911.1时间视界--1年，γ=1 k1（t）k2（t）k1（t）+k2（t）0.5 1 1.5 2 2.5 30.30.40.50.60.70.80.911.1时间段--3年，γ=1 k1（t）k2（t）k1（t）+k2（t）0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.10.20.30.40.50.60.70.8时间段--1年，γ=3 k1（t）k2（t）k1（t）+k2（t）0.5 1 1.5 2 2.5 30.10.20.30.40.50.60.70.8时间段--3年，γ=3 k1（t）k2（t）k1（t）+k2（t）图1：各种t和γ选择的函数k（t）和k（t）–对于k（t），我们得到了与模型2中得到的相同的结论，即k（t）<0.5ifα>α。然而，由于第一只股票的升值率较高，当在我们的目标函数中考虑到时间T的预期财富时，额外的正金额k（T）（k（T）≡ 模型2中的0）需要在任何时候投资股票1∈ [0，T]。这可以被视为最大化预期财富和最小化相应差异之间的权衡随着γ从1增加到3，k（t）的值急剧下降。随着γ的增加，模型3的解将收敛到模型2的解。然而，由于k（t）不是γ的函数，如（3.14）所示，k（t）不随γ变化现在考虑T增加而γ固定的情况。对于γ=1，对于T=1和T=3，k（T）=0.5和k（T）=0.64。对于γ=3，对于T=1和T=3，k（T）=0.5和k（T）=0.2133。如图1所示，当t从1增加到3时，k（t）和k（t）都减小。

当临近到期日时，由于投资期限越来越短，投资者会将越来越多的资金投入到具有更高升值率的股票上，以便在到期日拥有更高的预期财富假设尽管如此∈ [0，T]，Xt≡ 1，即任何时候的初始财富t为1。因此，在t时投资于股票1的资金量为^u（t，x）=k（t）+k（t）。观察到^u（t，1）总是大于0.5。因此，我们将超过一半的财富投资于股票1。此外，投资于股票1的总金额大于所有t的1∈ [0，T]当T=1和γ=1时。对于T=3和γ=1，在接近到期日时也会发生这种情况。在这种情况下，一个人持有股票1的多头仓位和股票2的空头仓位。然而，随着投资者变得越来越厌恶风险，当γ=3时，投资于股票1的资金量减少且小于1。在这种情况下，投资者持有股票1和股票2的多头头寸。3.4 kand K的数值算法该算法类似于Bj¨ork等人（2014年），其中处理了一维ODE。定理4。假设序列{k（n）}由k（0）（t）=1，（3.17）k（n）（t）=（σ）构成- σ)+ (σ- σ)(- σ(σ- σ) - σ(σ- σ) (3.18)+ (α- α） e-\'Ttnσ+k（n）-1） （s）（σ）-σ） o+nσ+k（n）-1） （s）（σ）-σ） ods- 1!),对于n=1。。然后我们有k（n）（t）- k（t）≤∞Xi=ni！Ki+1（T- t） i，n=1，2。利用已知的k（t），我们可以构造另一个序列{k（n）}:k（0）（t）=1，（3.19）k（n）（t）=α- α(σ- σ)+ (σ- σ)γI（t，t）I（t，t）+^TtI（t，v）I（t，v）k（n）-1） （v）dv.（3.20）对于这个序列，我们有k（n）（t）- k（t）≤∞Xj=nj！Kj+1（T）- t） j，n=1，2。证据见附录C4数值结果4。1模型3的解所选参数为α=0.2，σ=0.3，σ=0，α=0.12，σ=0，σ=0.2。