重尾下的幂律互相关估计

APE的标准偏差最高，其次是XPE和LXW，结果非常相似。对于T=500和T=1000的短时间序列，几乎所有α水平的时域估计都具有较低的方差。HXA的方差最低，其次是DCCA和DMCA。证据变得更加复杂，福特=5000。对于T=10000，DCCA和DMCA估计器主要由α的所有级别的频域估计器控制，但高斯情况除外。当α>1.5时，HXA估计器甚至优于频域估计器。这些含义适用于模拟中一个高斯分布和一个α稳定分布的情况（图2）。然而，对于两个α稳定分布的情况，情况变得更加清楚（图5）。频域估计器的标准偏差在不同的α中也是合理的。有趣的是，它们的标准偏差甚至随着尾巴变轻而略有增加（增加α）。时域估计器的一般水平标准偏差显著增加（比较图2和图5）。现在，即使对于短序列，尾波也被认为是相当轻的（对于T=500，α>1.5，对于T=1000，α>1.7），以便时域估计器明显占主导地位。对于T=5000和T=10000的较长序列，只有YHXA与频域估计器相竞争，并且仅在T=5000和T=10000时，它分别在α>1.6和α>1.7的情况下优于频域估计器。对于频域估计器，它再次认为XPE和LXW是性能最好的估计器，而LXW比XPE稍有优势。仔细看看这两个无花果。2和5揭示了两组估计器在时间序列长度方面的标准偏差行为之间的明显差异。对于频域估计器，我们可以很容易地观察到它们的标准偏差以1的速率近似衰减/√T（或方差为1/T）。

然而，对于时域估计器来说，衰减要慢得多（约为T-标准偏差为0.15）。这反映了单变量频域估计器的渐近正态性和有效性[73,74]，而时域估计器没有这种质量。偏差和方差之间的权衡可以很好地加在均方误差（MSE）中，均方误差由两者组成。无花果。3和6，我们比较了所有估计器和不同参数设置的MSE。我们从一个高斯过程和一个α稳定过程开始。对于T=500的短时间序列，当α>1.3时，时域估计量占主导地位。这些方法适用于较低的α值。HXA和DCCA成为赢家，HXA在轻尾方面略优于DCCA（α>1.6）。断裂点从α开始增加≈ 1.3至α≈ 1.5对于T=1000，但结果在质量上保持不变。对于较长的时间序列长度（T=5000和T=10000），频域方法适用于几乎所有水平的α-Apart，而不是带有α的轻尾≥ 1.8其中HXA给出了MSE意义上更精确的估计。对于长时间序列，其他时域方法不能提供这样的结果。对于频域估计器，基于标准差的排序可以完美地转化为均方误差情况。具体而言，LXW是性能最好的频域估计器，紧随其后的是XPE。APE估计的边际是显而易见的。对于两个α稳定分布的情况，结果更加明显。在图6中，我们可以看到频域估计器和时域估计器性能更好之间的断点向上移动。具体来说，我们有α的断点≈ 1.6对于T=500和α≈ T=1000时为1.7。

对于较长的系列（T=5000和T=10000），同样只有HXA可以与APE、LXW和XPE竞争，并且仅在α>1.9时，HXA才占主导地位。与其他设置相比，频域估计器的排名保持不变。所呈现的结果提供了明确的含义。首先，频域估计器（APE、LXW和XPE）不受重尾的影响。其次，时域估计器（DCCA、DMCA和HXA）因重尾而向上偏移。第三，对于较短的时间序列（T=500和T=1000）和较轻的尾部（α=1.5以上），时域估计量的方差低于频域估计量。将这些发现放在一起，为使用估计器提供一些建议，我们建议对短时间序列和接近正态分布的轻尾使用时域估计器。否则，我们建议使用频域估计器，最好是LXWand XPE。比较具有一个高斯和一个α稳定分布过程或两个α稳定分布过程的两种不同设置，只会突出时域估计器对重尾的敏感性。这些发现对最初使用时域估计器的文献流也有重要意义。结合Barunik和Kristoufek[36]的结果，他们表明DCCA、DMCA和HXA的单变量版本（分别为去趋势函数分析、DFA、去趋势移动平均值、DMA和高度-高度相关分析、HCCA）对于不同水平的重尾是无偏的，我们提供了一个可能的解释，即经常报告的估计二元赫斯特指数bHxy高于单独估计的赫斯特指数bHxandbHy的平均值，即bHxy>bHx+bHy。

由于Hurst指数估计在单变量设置中不受重尾的影响，重尾的双变量设置中的向上偏差意味着可能性为fbhxy>bHx+bHy。然而，最近对Kristoufek[27]的研究分析表明Hxy≤Hx+HYX适用于非常广泛定义的工艺。此外，作者认为，报告bHxy>bHx+bHy的可能原因之一是有限样本偏差。在这里，我们添加了由于潜在过程的分布特性而产生的偏差，即重尾。二元Hurst指数和相关的独立Hurst指数的估计是一个复杂的问题，需要进行相应的处理。这些结果给时域估计器的构造带来了额外的挑战，特别是在重尾情况下的应用。由于这些过程基于协方差标度的绝对值，因此这些方法可能会混淆协方差标度和单独过程尾部的标度。如Barunik&Kristoufek[36]所示，在估计长程依赖时，时间域估计量在重尾下是无偏的。当设置扩展到绝对值标度时，它很好地对应于α稳定分布的α参数。然而，这可能会产生一个问题，因为程序可能会将协方差绝对值缩放错误为单独过程绝对值的缩放，因此模拟研究中报告了向上偏差。补救措施不一定需要太复杂，因为重尾偏差可以使用自激程序或自举来估计。这样，即使在重尾情况下，时域估计器也能成功地与频域估计器竞争。致谢导致这些结果的研究已获得捷克科学基金会14-11402P号项目的资助。参考文献[1]S.Hajian和M。

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