重尾下的幂律互相关估计

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英文标题：
《Power-law cross-correlations estimation under heavy tails》
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作者：
Ladislav Kristoufek
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We examine the performance of six estimators of the power-law cross-correlations -- the detrended cross-correlation analysis, the detrending moving-average cross-correlation analysis, the height cross-correlation analysis, the averaged periodogram estimator, the cross-periodogram estimator and the local cross-Whittle estimator -- under heavy-tailed distributions. The selection of estimators allows to separate these into the time and frequency domain estimators. By varying the characteristic exponent of the $\\alpha$-stable distributions which controls the tails behavior, we report several interesting findings. First, the frequency domain estimators are practically unaffected by heavy tails bias-wise. Second, the time domain estimators are upward biased for heavy tails but they have lower estimator variance than the other group for short series. Third, specific estimators are more appropriate depending on distributional properties and length of the analyzed series. In addition, we provide a discussion of implications of these results for empirical applications as well as theoretical explanations.
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中文摘要：
我们研究了幂律互相关的六个估计量——去趋势互相关分析、去趋势移动平均互相关分析、高度互相关分析、平均周期图估计量、互周期图估计量和局部互惠特尔估计量——在重尾分布下的性能。估计器的选择允许将其分为时域估计器和频域估计器。通过改变控制尾部行为的$\\alpha$稳定分布的特征指数，我们报告了几个有趣的发现。首先，频域估计器实际上不受重尾偏差的影响。第二，对于重尾，时域估计是向上偏置的，但对于短序列，它们的估计方差比另一组低。第三，根据分析序列的分布性质和长度，具体的估计更合适。此外，我们还讨论了这些结果对实证应用和理论解释的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Power-law_cross-correlations_estimation_under_heavy_tails.pdf (2.81 MB)

2022-5-10 19:39:25 上传

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关键词：互相关 distribution correlations Applications Implications

信息理论与自动化研究所，捷克科学院，Pod Vodarenskou Vezi4，182 08，布拉格8，捷克共和国经济研究所，查尔斯大学社会科学学院，奥普莱塔洛娃26，110 00，布拉格1，捷克共和国战略我们研究了幂律互相关的六个估计量在重尾分布下的性能，这六个估计量分别是四向互相关分析、去趋势移动平均互相关分析、高度互相关分析、平均周期图估计量、互周期图估计量和局部互惠特尔估计量。估计器的选择允许将其分为时域估计器和频域估计器。通过改变控制尾部行为的α稳定分布的特征指数，我们报告了几个有趣的发现。首先，频域估计器实际上不受重尾偏差的影响。第二，对于重尾，时域估计是向上偏置的，但对于短序列，时域估计的方差比另一组低。第三，根据分析序列的分布性质和长度，特定估计更合适。此外，我们还讨论了这些结果对实证应用和理论解释的影响。关键词：幂律互相关，重尾，蒙特卡罗研究邮件地址：kristouf@utia.cas.cz（Ladislav Kristoufek）预印本提交给《非线性科学与数值模拟通讯》20161年4月21日。

引言幂律互相关为双变量时间序列分析带来了新的视角，其应用范围涉及水文学[1]、（水文）气象学[2,3]、地震学和地球物理学[4,5]、经济学和金融[6-12]、生物特征学[13]、生物学[14]、DNA序列[15]、神经科学[16]、电学[17]、交通[18-21]等多个学科。分析一对时间序列之间的互相关，可以对其动力学产生新的见解，尤其是，与指数（消失）互相关相比，这些时间序列的幂律行为可能具有非常特殊的特征[22–27]。幂律互相关的存在是各个科学领域的一个非常热门的话题，但不幸的是，讨论其产生和起源的实证论文远远多于理论论文。Podobnik等人[28]认为幂律互相关过程可以作为相关的长程相关过程的混合物出现。Sela&Hurvich[25]和Kristoufek[26,27]添加了一种可能性，即具有互相关误差项的长程相关过程可能是长程互相关的来源，并讨论了此类过程的各种性质。对幂律互相关过程的研究也在分析特定市场的互相关[29–32]以及特定规模的新回归框架[33]方面带来了重要的创新。形式上，可以在时域和频域中定义被标记为幂律（长期、长期）互相关的过程。在时域中，长程互相关过程{xt}和{yt}的特征是具有时滞k的幂律（双曲线）衰减互相关函数ρxy（k），因此ρxy（k）∝ k2Hxy-2工作→ +∞ [34]. 在频域中，这些过程具有发散的起始交叉功率谱。

具体而言，频率为λ的交叉功率谱fxy（λ）标度为| fxy（λ）|∝ λ1-λ的2hxy→ 0+ [25]. 二元Hurst指数hxy是长程互相关的度量，特别是它们的衰减。当Hxy=0.5时，这些过程不被认为是长程交叉相关的，而当Hxy>0.5时，这些过程被称为倾向于一起移动的交叉持续过程。Hxy<0.5的时间序列形成了一种非常特殊的过程类型，理论上只进行了很少的研究。与单变量序列一样，相关标度和潜在的分布尾部行为紧密相连[35,36]。在研究所谓赫斯特效应的出现时，对两者之间关系的研究可以追溯到曼德布罗特和沃利斯[37]——因此也可以追溯到水文学[38]。尽管对长程相关过程和重尾过程都会产生影响，但它是相关函数，特别是它的形状，这是至关重要的。关于赫斯特效应真实来源和虚假来源的困惑也蔓延到自相似和相变[39]。这种虚假的影响可以很容易地转化为双变量，或一般的多变量，形成本文的动机基石。分布中存在重尾，或者换句话说，极端事件的高发生率，在各个学科中都有很好的记录[40–50]。然而，当前的文献流并没有考虑这种重尾（厚尾）分布对二元Hurst指数估计的可能影响。

在这里，我们通过关注三种频域估计器——平均周期图估计器[25]、交叉周期图估计器和局部交叉减损估计器[51]——以及三种时域估计器——去趋势互相关分析[52]，detrendingmoving average互相关分析[7,53]和高度互相关分析[54]——我们在这种分布下检查了它们的性能。具体而言，我们研究了α稳定分布的特征指数变化对不同时间序列长度的估计量的偏差、方差和均方误差的影响。2.方法在本节中，我们简要介绍了二元赫斯特指数的六个估计量。根据它们的操作领域——时间和频率，它们被分为两组。然后详细描述模拟设置。2.1. 时域估计去趋势互相关分析（DCCA，或DXA）[52]是二元Hurst指数估计中最流行的时域方法，构造为去趋势函数分析（DFA）的二元推广[55,56]。这种方法导致了各种概括和扩展[57-59]。考虑两个t=1的长程互相关序列{xt}和{yt}，DCCA程序基于对与标度s相关的去趋势协方差标度的检查，以及它们各自的{Xt}和{Yt}。具体而言，时间序列被划分为长度为s的重叠方框，并在每个方框yieldingdXk、janddYk、Jforj中估计线性时间趋势≤ K≤ j+s- 1.对于长度s的每个盒子j，获得去趋势协方差fDCCA（s，j），并进一步对长度s的所有盒子进行平均，以获得fDCCA（s）作为标度s的估计协方差。对于幂律互相关过程，我们有fDCCA（s）∝ s2Hxy。

有各种各样的方法来处理比例尺的重叠和非重叠框，因为这种方法可能会在计算上要求很高[35,36,60–62]。由于这一事实，我们在模拟中使用了最小刻度为10、最大刻度为T/5、s之间的步长等于10的非重叠方框。高度互相关分析（HXA）[54]是高度-高度相关分析（HHCA）[63,64]和广义赫斯特指数法（GHE）[65-67]的二元推广。该方法基于高度-高度协方差函数Kxy，2（τ）=νT的标度*PT*/νt=1|τXtYt|≡ h|τXtYt|i，时间分辨率为ν且t=ν，2ν，…，的去趋势图{Xt}和{Yt}。。。，νbTνc，其中bc是一个较低的整数符号。我们表示*= νbTνc随ν而变化，我们将τ-滞后差写成τXt≡ Xt+τ- XtandτXtYt≡ τXtτyt用于更好的易读性。协方差函数的尺度为Kxy，2（τ）∝幂律互相关过程的τhxy。Di Matteo等人[65–67]建议使用折刀法获得更精确的赫斯特指数估计值。在我们的模拟中，我们设置τmin=1，并改变τmax=5，20以获得这些的估计Hxyas平均值。去趋势移动平均互相关分析（DMCA）[7,53]是去趋势移动平均（DMA）[68,69]的推广。该方法在某种程度上类似于DCCA，因为它假设去趋势协方差的幂律标度。然而，在这个过程中不涉及盒子分裂，这使得DMCA的计算量大大减少。具体而言，{Xt}和{Yt}用长度κ的移动平均值和残差FDM CA（κ）的协方差作为FDM CA（κ）进行去趋势化∝ 幂律交叉相关过程的κ2HXY。在我们的设置中，我们使用非加权中心移动平均值，κmin=11，κmax=1+T/5，步长为2，即与CCA设置平行。2.2.

频域估计器频域估计器的构造基于幂律互相关过程的互功率谱的发散。由于互功率谱是不可观测的，它的估计成为所有频域过程的关键部分。为此，交叉周期图Ixy（λ）是最简单、最流行的工具。定义为asIxy（λj）=2π+∞Xk=-∞bγxy（k）exp(-iλjk=2πTTXt=1xtexp(-iλjt）TXt=1ytexp（iλjt）=Ix（λj）Iy（λj），（1）其中T是时间序列长度，bγxy（k）是滞后k时的估计互协方差，λjis是定义为λj=2πj/T的频率，其中j=1，2，bT/2c和bc是最近的LowerInterger操作员。因此，交叉周期图仅定义在0和π之间。Ix（λj）是{xt}系列的周期图，Iy（λj）是{yt}系列周期图的复共轭。为了克服等式1[70]中原始周期图的不一致性，我们使用了基于Daniell[71,72]的Moothing算子。平滑的交叉周期图在以下估计过程中使用。Sela&Hurvich[25]提出了平均周期图估计器（APE），作为Robinson[73]方法的二元泛化。使用累积交叉周期图fxy（λ）=2πmbmλ/2πcXj=1xy（λj），（2）其中m≤ T/2是一个带宽参数，q固定∈ （0，1），估计量为dhxy=1-logdFxy（qλm）dFxy（λm）2 logq.（3）我们遵循Sela&Hurvich[25]的建议，使用q=0.5。在许多假设下，估值器是一致的，这得到了模拟的支持[25,51]。Kristoufek[51]提出的交叉周期图估计器（XPE）基于靠近原点的交叉功率谱的幂律标度，其特定斜率为1-2Hxy。二元Hurst指数的估计由|Ixy（λj）|得到∝ λ1-2Hxyj。

（4） 该比例预计仅适用于λ→ 0+，这样就不会对总频率进行回归。对于j=1，2，…，选择λj=2πj/T，我在哪里≤ T/2，仅使用带宽参数m指定的选定频率的信息来估计二元Hurst指数。选择m会影响估计器的统计特性，因为包含更多频率会降低方差，但会增加估计器的偏差。对于所提出的模拟，我们遵循Kristoufek[51]的结果，并对XPE和最后分析的估计器使用m=T/10。Kristoufek[51]引入了局部交叉Whittle估计（LXW），作为局部Whittle估计[74]的二元推广，局部Whittle估计是基于K¨unsch[75]的惩罚函数的半参数最大似然估计。具体而言，Hxy的估计值为Dhxy=arg min<Hxy≤1R（Hxy），（5）式中（Hxy）=logmmXj=1λ2Hxy-1j | Ixy（λj）|！-2Hxy- 1mmXj=1logλj（6）和λj=2πj/T。模拟设置我们感兴趣的是重尾对幂律互相关估计器性能的影响。作为重尾分布的代表，我们选择提供丰富参数灵活性的α-稳定分布。我们使用Nolan的参数化[76]。α稳定分布由四个参数表征——α、β、γ和δ。尾部的重量由特征指数0<α表示≤ 2.倾斜度由参数指定-1.≤ β ≤ 1，β=0表示对称，β>0表示正偏度，β<0表示负偏度。参数γ和δ描述了分布的规模和位置。

具有S（α，β，γ，δ）的α稳定分布随机变量具有以下特征函数：φ（u）=经验(-γα| u |α[1+iβ（tanπα）（signu）（|γu | 1-α- 1） ]+iδu）α6=1exp(-γ| u |[1+iβπ（signu）ln（γ| u |）]+iδu）α=1（7）只有三种情况具有封闭形式的密度——高斯分布（α=2，β=0）、柯西分布（α=1，β=0）和L’evy分布（α=1/2，β=1）。重要的是，特征参数α还规定了分布的现有力矩。对于α稳定分布，只存在α以下的矩。因此，α<2的方差不存在，α<1的均值也不存在。在仿真中，我们重点研究了表征分布尾部的特征参数α对六种幂律互相关估计器性能的影响。为此，我们遵循两种设置。对于第一种设置，一种是标准高斯噪声，另一种是α稳定随机变量。对于后一个过程，我们将参数α在1.1和2之间变化，步长为0.1。其他参数固定为β=0，γ=√2/2和δ=0。对模拟序列进行标准化，使其具有单位方差。在第二种情况下，两个过程都是α稳定分布的，α参数相同。对于每个参数设置，我们模拟1000个时间序列长度为T=500、1000、5000、10000的序列，以了解估计器的统计特性如何依赖于观察次数。所研究的序列是独立的，因此预期的二元赫斯特指数等于0.5。作为性能指标，我们研究了估计量的偏差、标准差和均方误差。3.结果与讨论我们通过检查估计量的偏差开始结果描述。无花果。1和4，我们根据每种设置的1000次模拟，给出平均值（整条线），以及2.5和97.5分位数（虚线）。

线条越暗，时间序列长度越高（T=500、1000、5000、10000）。红线代表给定设置的期望值Hxy，即所有规格的Hxy=0.5。图1显示了一个高斯过程和一个α稳定过程的设置结果，图4表示两个α稳定过程和相同的α。结果非常简单。对于α的所有设置，频域估计器都是无偏的，甚至分位数对于不同的特征指数也是非常稳定的。因此，这些估计器几乎不受潜在序列的厚尾影响。随着时间序列长度的增加，置信区间变窄，这是可取的。这两种设置都适用。这种情况与时域估计器不同。对于低水平的α，即重尾，估计量向上偏移。这可能会导致虚假报告的交叉持久性。随着α的增加，偏差减小，当α=2（正常尾）时，偏差消失。有趣的是，在尾部较轻的情况下，估计值的密集带变窄，甚至在某些重尾情况下（主要是较短的序列），这些带也比频域估计值的窄。这种情况对于有两个重尾分布的场景来说，发音甚至更多。对于非常重的尾部，存在置信区间高于合理值Hxy=1的情况。为了进一步检验这种差异，图。2和5报告所有调查估计器对参数α的估计器标准偏差依赖性。结果明显地反映了置信区间的结果，但在这里更为透明（为了更容易比较估计器，数据基于特定的时间序列长度进行分割）。事实上，频域估计器的标准偏差实际上与α无关。