重尾下的幂律互相关估计

马萨诸塞州波士顿Birkhauser，2003.0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 O R0时的平均轨道指数。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α局部X-WHITTLE估计器0。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数字母交叉周期图估计器0。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α去趋势互相关分析0。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0轨道指数alphaDETRENDING移动平均速度互相关分析0。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α高度互相关分析图1：不同尾指数的估计值平均值（设置I）。实线表示给定设置下1000次模拟的平均值。虚线显示了95%的置信区间，即2.5分位数和97.5分位数。x轴给出了系列{yt}的尾部指数值，模拟为具有特征指数α的α稳定分布过程，即轴的左边越大，底层过程的尾部越重。{xt}过程是标准的高斯噪声。这两个过程都是标准化的，具有单位方差。灰色代表不同的时间序列长度，T=500、1000、5000、10000，颜色越深，序列越长。红线代表Hxy=0.5的理论值。一方面，在重尾情况下，频域估计是无偏的，而时域估计是有偏的。另一方面，后三者的置信区间较窄（尤其是HXA）。这一点在图中进一步研究。

2和3.0.000.040.080.120.160.201.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α标准偏差（T=500）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。000.020.040.060.080.100.121.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α标准偏差（T=1000）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。000.010.020.030.040.050.060.070.081.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数标准偏差（T=5000）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。000.010.020.030.040.050.060.070.081.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α标准偏差（T=10000）APE DCCADMCA HXALXW XPEFigure 2：不同尾指数估计值的标准偏差（设置I）。图中显示了估值器的标准偏差对尾部指数以及时间序列长度的依赖性。对于频域估计器，方差是非常稳定的。对于时域估计，方差强烈依赖于尾部指数。对于较短的序列，即T=500，1000，后一组的方差比前一组低得多。对于较长的序列，即T=5000、10000，差异显著缩小，其中结果变得混合，更倾向于频域估计器。0.000100.001000.010000.100001.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数均方误差（T=500）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。000100.001000.010000.100001.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数均方误差（T=1000）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。000010.000100.001000.010000.100001.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数均方误差（T=5000）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。000010.000100.001000.010000.100001.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α均方误差（T=10000）APE DCCADMCA HXALXW经验图3：不同尾指数的估计值的均方误差（设置I）。

均方误差结合了基于偏差和方差的估计器性能。对于频域估计器，均方误差是稳定的，但对于时域估计器，均方误差强烈依赖于尾部指数。两组之间的差异既取决于尾部指数，也取决于时间序列长度。对于较短的序列，即T=500，1000，后一组在大多数尾部指数值上优于前一组。对于较长的序列，除了接近正态性的尾部外，前者占主导地位，其中HXA方法强烈地支配所有其他方法。0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 O R0时的平均轨道指数。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α局部X-WHITTLE估计器0。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数字母交叉周期图估计器0。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α去趋势互相关分析0。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0轨道指数alphaDETRENDING移动平均速度互相关分析0。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α高度互相关分析图4：不同尾指数的估计值平均值（设置II）。实线表示给定设置下1000次模拟的平均值。虚线显示了95%的置信区间，即2.5分位数和97.5分位数。x轴给出了序列{xt}和{yt}的尾部指数值，这两个序列都被模拟为具有特征指数α的α稳定分布过程，即轴越靠左，底层过程的尾部越重。

灰色表示不同的时间序列长度，T=500、1000、5000、10000，颜色越深，序列越长。红线代表Hxy=0.5的理论值。结果与图1所示的设置I在质量上非常相似，差异更为明显。图5和6.0.000.040.080.120.160.201.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α标准偏差（T=500）APE DCCADMCA HXALXW XPE0进一步研究了这一点。000.020.040.060.080.100.120.140.160.181.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α标准偏差（T=1000）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。000.020.040.060.080.100.120.141.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α标准偏差（T=5000）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。000.020.040.060.080.100.120.141.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α标准差（T=10000）APE DCCADMCA HXALXW XPEFigure 5：不同尾指数的估计值的标准差（设置II）。图中显示了估值器的标准偏差对尾部指数以及时间序列长度的依赖性。对于频域估计器来说，方差也是非常稳定的。它甚至会随着尾巴变轻而略微增加。对于时域估计，方差强烈依赖于尾部指数。对于较短的序列，即T=500、1000和较轻的尾部，即大约α>1.5，后一组的方差比前一组低得多。对于较长的系列，差异显著缩小，即。

T=5000，10000，其中频域估计器在大部分尾部中占主导地位。0.00010.00100.01000.10001.00001.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数均方误差（T=500）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。00010.00100.01000.10001.00001.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数均方误差（T=1000）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。00010.00100.01000.10001.00001.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数均方误差（T=5000）APE DCCADMCA HXALXW XPE0。000010.000100.001000.010000.100001.000001.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0尾指数α均方误差（T=10000）APE DCCADMCA HXALXW XPEFigure 6：不同尾指数估计值的均方误差（设置II）。均方误差结合了基于偏差和方差的估计器性能。结果在质量上与图3非常相似。对于频域估计器，MSE同样是稳定的，但对于时域估计器，MSE强烈依赖于尾部指数。两组之间的差异取决于尾部指数和时间序列长度。结果与图5中的标准偏差行为一致。