金融网络不稳定的途径

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《自然》杂志4641025-1028（2010）。1补充方法危机传播的稳定性分析在本节中，我们在一般温和的假设下，推导了银行间网络中进行危机传播稳定性分析的标准，并展示了n家银行系统的稳定性与其银行间杠杆矩阵的关系。第一个重要因素是资产负债表在任何时候的一致性。银行的资产负债表由资产和负债组成。前者具有正的经济价值（例如，向客户或其他银行、股票、衍生品、房地产提供的贷款），而后者具有负的经济价值（例如，向其他银行提供的存款、借记）。在这两种情况下，我们区分银行间和外部资产或负债。银行间资产（负债）是银行对其他银行的贷项（借项），我们称之为外部分配资产和负债。我们用Aij（t）表示从i银行到j银行的贷款在t时的价值，用Lji（t）表示相应的负债。银行i在t时的外部资产和负债分别用AEi（t）和LEi（t）表示。最后，i银行在t时的权益Ei（t）被定义为其资产和负债之间的差异：Ei（t）=AEi（t）-LEi（t）+nXj=1Aij（t）-丽晶（t）。（S1）银行资产负债表中的资产和负债取决于多个时间尺度上的时间。例如，通过银行间贷款从另一家银行借入的资金将保留在资产负债表中，直到贷款到期。另一个例子是，随着消费者能够节省更少的钱，或者其他银行对储户变得更具吸引力，存款（在这种情况下是外部负债）可能会显著减少加班时间。在短期内，资产价值可能会发生变化，因为银行会不断评估其市场价值。

换言之，银行估计如果一项资产今天被出售并转换成现金，可能是为了偿还其他负债，该资产的价值。这种程序被称为按市价计价，除其他事项外，还受到资产流动性和交易对手违约概率等因素的影响。假设i银行向j银行发放了一笔银行间贷款，金额为一定金额（面值）；随着j银行违约概率的增加，i银行预计收回的金额将低于票面价值，其资产负债表中相应银行间资产的价值也将相应变化。在这里，我们将重点关注这种短期动态和特定的资产类别：银行间资产和负债。因此，合同（如银行间贷款）的到期将在未来遥遥无期，资产和负债的时间依赖性将完全归因于按市值计价，而不是资产负债表的结构性变化。从这个角度来看，我们很容易意识到负债并不取决于时间。事实上，i银行可能预期收回的金额低于其向j银行发放的银行间贷款的面值，这一事实并没有改变j银行仍需向银行支付贷款的全部面值，而在其资产负债表中，贷款的面值似乎是银行间负债。我们遵循金融传染文献中常见的假设，即如果一家银行的股权变得消极，该银行就会违约。其理由是，银行资产的市场价值，即通过清算其全部资产所能获得的现金量，不足以偿还其负债。这一假设意味着，资产负债表上的破产是违约的代名词，并且在某种程度上忽略了流动性方面。

事实上，一家拥有正资产但没有流动性的银行如果不能在付款截止日期前完成付款，可能会违约。然而，错过到期付款可能会或可能不会触发违约事件，这取决于破产法的复杂性，各国的情况可能有所不同。当一家银行的股本为负时，考虑到该银行违约，我们也可以回避这些细节。银行间贷款在t=0时成立，此时其市场价值Aij（0）将与其面值一致；否则，票面价值会有所不同，并与市场价值相匹配。让usdenote与pj（t）估算j银行在其贷款到期前（即在遥远的未来）违约的概率t；该银行显然尚未在时间t违约，否则其违约概率为1。同时，t银行我将估计，在贷款到期时，它将以概率1收回面值Aij（0）- pj（t- 1） （银行j不会违约的概率）和较小的值Rij和概率pj（t- 1） （j银行违约的可能性）。因此，银行间资产将按以下方式进行市值计价：Aij（t）=Aij（0）（1）-pj（t-1） ）+Rijpj（t-1) . （S2）来自（S2）的r.h.s.和l.h.s.的时间延迟说明了将借款人违约可能性信息纳入贷款人评估所需的时间。我们考虑的情况是，最初通过外部资产的外部冲击，即AEi（0），对系统施加压力→ AEi（1）<AEi（0）。资产负债表一致性（S1）意味着这种冲击将导致权益损失。Wes2假设随后不会有额外的现金流（无论是正数还是负数）进入系统。

在时间t估计，j银行在贷款到期之前发生违约的概率取决于j银行在时间t之前经历的股权损失，这是合理的。更具体地说，我们预计，随着股权损失的增加，违约概率也将增加，通过（S2），银行间资产将贬值。反过来，这将导致（再次通过（S1））股权的变化。在随后的几轮中，外部资产不会发生变化，只有通过银行间渠道重复这种动态，冲击才会继续传播。因此，在时间0到时间t之间，有两个术语会导致i银行的权益损失：时间0到时间1之间的外部资产损失和时间t之前的银行间资产损失：Ei（0）-Ei（t）=AEi（0）-AEi（1）+nXj=1[Aij（0）-Rij]pj（t-1). （S3）上述假设，即如果一家银行的权益变为负值，该银行就会违约，这意味着违约概率是权益的函数。等价地，违约概率可视为相对于参考点测量的权益损失的函数，即时间零点的权益。通过定义hi（t），银行i的权益的相对损失，Asi（t）=Ei（0）-Ei（t）Ei（0），（S4）和：^∧ij=Aij（0）-我们可以把（S3）重写为：hi（t）=hi（1）+nXj=1^∧ijpj（hj（t）-1） ），（S6）其中，我们将j银行的违约概率写为其相对权益损失hj的显式函数。Westers强调，迄今为止所做的假设（资产负债表的一致性、银行间资产的公平重新评估、违约概率作为权益的一般函数）可被视为会计第一原则。通常情况下，假设贷方银行i在借方银行j违约的情况下收回的金额为面值Aij（0）的分数ρjo，与贷方银行i无关：ρj=Aij（0）Rij（S7），称为收回率。

式（S5）变成：^∧ij=∧ij（1）-ρj），（S8），其中∧ij=Aij（0）Ei（0），（S9）是银行间杠杆矩阵。现在让我们详细说明关于函数pj（h）的假设。首先，这样的函数将区间[0,1]映射到自身，即pj:[0,1]→ [0,1]，因为相对权益损失和违约概率都在该区间内取值。第二，pj（0）=0，这意味着如果没有损失，违约概率为零。第三，pj（1）=1，这意味着当所有权益都被抹去时，违约概率为1。第四，pjare增函数和凸函数。最后两项要求取决于经济动机。事实上，股权损失越大，违约的可能性就越大。此外，对于较小的股权损失（如股权每日波动所经历的损失），预计违约概率仅会略微增加，而当银行接近违约时（hj\'1），即使股权的微小变化也会对违约概率产生很大影响。第五，我们假设这些函数在区间[0,1]内是可微的。由于相对权益损失不可能大于1，并且假设违约概率是相对权益损失的递增函数，映射h（t+1）=f（h（t））满足了Knaster-Tarski定点定理的假设，这意味着至少存在此类映射的一个定点。现在让我们来研究稳定性标准。更确切地说，我们感兴趣的是，从初始条件h（1）开始，允许极限极限的条件→∞h（t）存在并成为有限的。这里的起点是动力学（S6）的线性版本，即pj（h）=h，对于所有j:hLi（t）=hi（1）+nXj=1^∧ijhLj（t-1） ，（S10），其中使用上标L明确区分相对损失和使用（S6）计算的相对损失。

固定点hLof（S10）为：\'hL=（1-^Λ)-1h（1）。（S11）我们将在后面讨论线性动力学的重要性，在这个阶段，线性动力学仅对我们的证明有帮助。我们现在观察到hj（t）≤ hLj（t），对于所有的j和t，为了证明它，我们进行归纳；首先，h（1）=hL（1）；第二，假设hj（t-1) ≤ hLj（t-1） ，利用违约概率的凸性，我们得到pj（hj（t-1)) ≤ hLj（t-1） 通过使用（S6）和（S10），我们很容易证明这个命题。现在，如果^∧的最大特征值小于1，则固定点HL将是稳定的，即limt→∞hL（t）=hL，因此也是极限极限→∞h（t）=h将是有限的，而且≤\'hL。假设冲击足够小，固定点将位于超立方体[0,1]×。× [0, 1].为了研究不稳定性标准，让我们假设（至少）在超立方体[0,1]×内存在一个固定点。×[0,1]，意思是：\'hi=hi（1）+Xj^∧ijpj（\'hj）。（S12）我们可以通过从（S6）：hi（t）两侧减去“h”来研究该固定点周围的扰动动力学-\'\'嗨=嗨（1）-\'hi+nXj=1^∧ijpj（hj（t-1） ）=你好（1）-\'hi+nXj=1^∧ijpj（\'hj+hj（t-1) -“hj”你好（1）-\'hi+nXj=1^∧ijpj（\'hj）+pj（\'hj）hj（t）-1) -“hj= 你好（1）-\'hi+nXj=1^∧ijpj（\'hj）+nXj=1^∧ijpj（\'hj）hj（t）-1) -“hj=nXj=1^∧ijpj（\'hj）hj（t）-1) -“hj,（S13）在第四行中，我们使用了（S12）。从（S13）的最后一行可以清楚地看出，如果^∧ijpj（\'hj）的最大特征值大于（小于）1，则“h”是不稳定的（稳定的）。我们知道，回想一下，由于pjare凸函数，pjare增加函数，这意味着pj（0）≤ pj（`hj）。因此，∧ij=^∧ijpj（0）（S14）的最大本征值小于或等于^∧ijpj（\'hj）的最大本征值（参见[S1]中的推论8.1.19）。