金融网络不稳定的途径

类似地，我们发现要从外围节点添加的边的数量，新节点是ρpcNp，而不需要在外围节点之间添加边。以同样的方式进行，当新节点属于外围时，可以导出要添加到所有块中的边数。为了检查不稳定路径的存在，我们以稍微不同的方式进行。首先，我们生成一个序列G，Gnof未加权的核心-外围图，其节点数量不断增加，因此最终图GN的节点数量与数据集中的银行数量相匹配。我们使用RAS算法为这样的图分配权重（见上文）。其次，我们删除了Gn中的节点，但没有删除Gn中的节点-1及其所有进出口。这相当于转移未加权图Gn上其他边的所有权重-1.这样，新图形的拓扑结构保持不变。第三，为了保持银行间平均杠杆率不变，我们根据新旧银行间平均杠杆率之间的比率重新调整所有边缘的权重。我们重复这个过程，直到到达初始图G。在这种情况下，我们沿着相反的方向，从不稳定到稳定，穿过路径。因此，我们只保留那些序列，使得图不稳定。在这种情况下，我们沿着相反的方向走的原因是，为了沿着通常的方向前进（即通过添加节点），我们需要在数据集中采样一组银行，并随机添加其他银行，一次一个。然而，在这一过程中，银行间的平均杠杆率不会保持不变。

在补充图S4中，我们为不断增长的核心-外围网络绘制了一组银行间杠杆矩阵最大特征值的轨迹，这些网络跨越了不稳定和稳定之间的阈值，表明在这种情况下，也存在通往不稳定的路径。S9补充图0 20 40 60 80 100 120添加的银行。00.20.40.60.81.01.21.41.6最大特征值/平均银行间杠杆最大特征值平均银行间杠杆密度0。00.20.40.60.81.01.21.41.6密度补充图S1。向Erd"os Renyi图添加节点。一个增长过程的例子，在这个过程中，一个平均银行间杠杆大于1的稳定网络随着新银行的加入而变得不稳定。我们强调，向不稳定区域的过渡实际上是由λmaxshrinkas n的渐近分布中的函数变得更大这一事实驱动的：事实上，网络中的边密度大致保持不变。这里，初始网络的n=20，权重分布呈指数分布，平均值为0.79.0 20 40 60 80 100。80.91.01.11.21.3补充图S2。向常规随机图添加节点。类似于补充图S1，但对于入度和出度等于10的（有向）正则随机图。在这里，我们展示了10条不同的网络轨迹，从稳定状态到不稳定状态。对于所有轨迹，拓扑结构和平均银行间杠杆率（总是大于一）在整个轨迹上都是恒定的。初始网络的n=20，权重分布呈指数分布，平均值为0.58。S100 500 1000 1500 2000银行增加0。80.91.01.11.21.3补充图S3。向无标度图添加节点。

与补充图S2类似，但对于无标度图，入度和出度分布的尾部指数分别等于2.15和2.7。这里我们展示了10种不同的网络轨迹，它们从稳定状态过渡到不稳定状态。对于所有轨迹，拓扑结构和平均银行间杠杆率（总是大于一）在整个轨迹上都是恒定的。初始网络n=1000，节点i的输出权重分布与平均值2/kout呈指数关系。轨迹被延长，直到增加500个节点，或者直到最大特征值大于1。176 156 136 116 96 76 56 36银行数量1。01.52.0补充图S4。向核心-外围图添加节点。通往不稳定的道路是倒退的，即随着银行数量的减少，从不稳定走向稳定。图的拓扑结构是具有现实参数的核心-外围（见[S5]）。这里我们展示了从不稳定状态到稳定状态的10条不同的网络轨迹。对于所有轨迹，拓扑结构和平均银行间杠杆率（总是大于一）在整个轨迹上都是恒定的。初始权重使用RAS算法分配（见[S7]），并与2012年欧洲最大176家银行的资产负债表一致（来源：Bankscope数据集）。我们之所以选择2012年，是因为它是银行间平均杠杆率最小的一年（因此更难观察到不稳定的网络）。轨迹被延长，直到最大特征值小于1。

由于技术原因，建立了反向通道，即保持平均银行间杠杆率不变，同时保持与实际资产负债表的一致性（见正文）。S1110-210-1100density012345678λmax200810-210-1100density012345λmax200910-210-1100density0123456λmax201010-210-1100density012345678λmax201110-210-密度11000。00.51.01.52.02.53.03.54.0λmax201210-210-密度11000。00.51.01.52.02.53.03.5λMAX2013补充图S5。为欧洲前50家银行的网络增添了优势。与2008年至2013年的图3类似。对于λmax<1，银行间网络是稳定的（黄色区域），而对于λmax>1，银行间网络是不稳定的（红色区域）。为了进行比较，我们还绘制了平均银行间杠杆率（蓝色虚线）。S12补充参考文献[S1]Horn，R.A.和Johnson，C.R.矩阵分析。（剑桥大学出版社，剑桥，2012）[S2]Silverstein，J.W.大维非中心随机矩阵的谱半径和范数。随机模型10（3）：525–532（1994）。[S3]Steger，A.&Wormald，N.快速生成随机正则图。概率与计算8:377–396（1999）。[S4]Bollob\'as，B.，Borgs，C.，Chayes J.，和Riordan，O.有向无标度图。第十四届ACMSIAM离散算法年度研讨会论文集，132–139（2003）。[S5]Fricke，D.和Lux，T.隔夜货币市场的核心-外围结构：来自电子中间交易平台的证据。计算经济学45（3），359–395（2015）。[S6]克雷格，B.和冯·彼得，G.银行间分层和货币中心银行。《金融中介杂志》23（3），322–347（2014）。[S7]Upper，C.和Worms，A.估算德国银行间市场的双边风险敞口：是否存在传染的危险？《欧洲经济评论》48（4），827–849（2004）。