仿射多收益率曲线模型

我们认为，对于所有的t，如果b（0，t）=BM（0，t）和Sδi（0，t）=SM，δi（0，t），则达到了与最初观察到的术语结构的精确fit∈ [0，T]和i=1，m、 以下命题提供了一个必要且充分的条件，以保持精确的fit。如果（X，u，v）是一个有效的多曲线模型，我们用B（t，t）和S0，δi（t，t）表示0≤ T≤ T≤ T andi=1，m、 根据模型（X，u，0）通过（3.7）-（3.9）计算的理论债券价格和价差，即所有函数vi，i=0，1，m、 设置为零。提案3.8。当且仅当函数族v=（v，v，…，vm）满足v（t）=log BM（0，t）时，一个有效的多曲线模型（X，u，v）实现了对初始观测项结构的精确拟合- 日志B（0，t），用于所有t∈ [0，T]，vi（T）=对数SM，δi（0，T）- 对数S0，δi（0，t），对于所有t∈ [0，T]和i=1，m、 B（0，t）和S0，δi（0，t）表示理论债券价格和利差，根据（3.7）-（3.9）的有效多曲线模型（X，u，0）计算，对于t∈ [0，T]和i=1，m、 证据。该声明随后指出，尽管如此∈ [0，T]和i=1，m、 B（0，t）=E英国电信= ev（t）E[ehu（t），Xti]=ev（t）B（0，t），Sδi（0，t）=EQt[Sδi（t，t）]=evi（t）EQt[ehui（t），Xti]=evi（t）S0，δi（0，t），在上一个等式中，我们使用了两个模型（X，u，v）和（X，u，0）的t正向测量密度相同的事实。事实上，对于每一个t∈ [0，T]，它认为BtB（0，T）=ev（T）+hu（T），XtiE[ev（T）+hu（T），Xti]=ehu（T），XtiE[ehu（T），Xti]=BtB（0，T），用B=（Bt）0仿射多收益率曲线模型11≤T≤t指定与模型（X，u，0）对应的数值过程。3.3. 一个有效的短期多曲线模型。到目前为止，我们已经介绍了一种基于多曲线建模的通用设置。

如前一小节所述，根据数值鞅测度偶（B，Q）的选择，可以从定义3.4中获得不同的建模方法。我们现在将上述一般框架专门化为一个经典设置，其中数值由OIS银行账户给出，定义为（无风险）OIS短期利率过程r=（rt）0≤T≤T、 Q是相关的（点）鞅测度。更具体地说，在本小节中，我们将在以下假设下工作。假设3.9。数字B=（Bt）0≤T≤Tsatis fies Bt=exp（Rtrudu），适用于所有∈ [0，T]，其中r=（rt）0≤T≤这是一个实值适应过程，表示OIS短期利率。概率测度qi使得每个基本交易资产的B-贴现价格为Q-鞅。在本小节中，设X=（Xt）0≤T≤t以DX表示值的有效过程 VX。我们还将介绍辅助流程Y=（Yt）0≤T≤由Yt定义的Tde:=（Xt，RtXudu），用于t∈ [0，T]，取DY中的值：=DX×DX。关于Y，集合定义如（3.1）所示。我们将定义3.4具体化如下。定义3.10。让λ∈ VX，`[0，T]→ R以至于rt | `（u）|du<+∞, γ=（γ，…，γm）∈ vmx和c=（c，…，cm）一系列函数ci:[0，T]→ R、 i=1，m、 如果（Y，u，v）在定义3.4的意义上是一个有效的多曲线模型，则元组（X，`，λ，c，γ）被称为一个有效的短速率多曲线模型，其中v（t）：=-Zt`（u）du和u（t）：=（0，-λ） ，尽管如此∈ [0，T]，vi（T）：=ci（T）和ui（T）：=（γi，0），对于所有T∈ [0，T]和i=1。

如果假设3.9成立，那么B=exp（R·rudu），假设一个元组（X，`，λ，c，γ）在定义意义上是一个有效的短速率多曲线模型，3.10相当于让OIS短速率和即期乘法价差Sδi（t，t）具体如下：rt=`（t）+hλXti，对于所有t∈ [0，T]，（3.11）对数Sδi（T，T）=ci（T）+hγi，Xti，对于所有T∈ [0，T]和i=1，m、 （3.12）注意，定义3.10隐含要求（通过定义3.4）参数λ和γ=（γ，…，γm）满足（γi，-λ) ∈ UY，对于所有i=0，1，m、 γ：=0。备注3.11。如果函数`被选择为常数，c和γ被设置为0，定义3.10将简化为经典（即单曲线）时间齐次a ffine短期利率模型。另外，通过允许`和c是确定性函数，我们引入了时间不均匀性，这反过来使初始项结构变得完美（见下面的命题3.15）。因此，定义3.10将[7]中首次在单曲线设置中引入的确定性移位扩展模型与[30]中在多曲线设置中引入的确定性移位扩展模型结合起来（参见第3.4.1节，了解[30]与当前设置之间的关系）。备注3.12。在定义3.10中，OIS银行账户是通过（3.11）中建模的短期利率指定的。通过类比，乘法利差也可以通过瞬时短利差率来确定，类似于[19，备注3.19]。这可以通过让有效过程X的形式为X=（X，Z，…，Zm）来实现，其中Xis是一些状态空间DX上的有效过程，Zi:=R·qi（Xs）ds，其中qi:DX→ R是一个有效函数，对于所有i=1，m、 系数c=（c，…，cm）和12 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTOγ=（γ，…，γm）被选为ci:=0和γi:=（0，ei），对于所有i=1，m、 以{e，…，em}为Rm的规范基。

对于所有的t，spot乘法表示δi（t，t）=eZit=eRtqi（Xs）ds∈ [0，T]和i=1，m、 其中过程（qi（Xt））0≤T≤t可以解释为短扩散率，对于i=1，m、 与一般多曲线模型的情况类似，短期利率多曲线模型在OIS债券价格和利差结构方面具有同等的特征。更具体地说，我们可以得出以下结果，即命题3.6。提案3.13。设X为一个有效过程，假设假设假设3.9成立。然后是以下持有：（i）如果（X，`，λ，c，γ）是一个有效的短期利率多曲线模型，那么X以指数形式生成有效的债券价格和利差，即（3.13）B（t，t）=expeA（t，t）+heB（t- t） ，Xti, 对于所有0≤ T≤ T≤ T、 Sδi（T，T）=exp（eAi（t，t）+鹤壁（t）- t） ，Xti, 对于所有0≤ T≤ T≤ T和i=1，m、 其中函数seai，eBi，i=0，1，m、 由ea（t，t）给出-ZTt`（u）du+~φ（T）- t、 0，-λ） ，eB（T）- t） =ψ（t）- t、 0，-λ） ，eAi（t，t）=ci（t）+φ（t）- t、 γi，-λ) -■φ（T）- t、 0，-λ） ，息税前利润（T）- t） =ψ（t）- t、 γi，-λ) -ψ（T）- t、 0，-λ） ，对于所有0≤ T≤ T≤ T和i=1，m、 如引理3.3中所示，用△φ和△ψ表示有效过程Y=（X，R·Xudu）的特征指数；（ii）相反，如果OIS债券价格和价差承认某些函数的代表性（3.13），eBi，i=0，1，m、 用T7→eA（t，t）和t7→eB（T）可区分，对于所有T∈ [0，T]，那么（X，`，λ，c，γ）是一个有效的短期利率模型，其中，对于所有i=1，m、 `（t）=-TeA（t，t）| t=t，λ=-电子束（0），ci（t）=eAi（t，t）和γi=eBi（0）。证据注意到有效过程Y=（X，R·Xudu）满足引理3.3的假设，第（i）部分很容易遵循定义3.10和命题3.6。

相反，如果OIS债券价格和价差允许代表（3.13）关于一些可微分函数seaandebi，i=0，1，m、 然后，瞬时OIS正向速率由ft（T）给出：-Tlog B（t，t）=-T（eA）（T，T）- h（eB）（T）- t） ，Xti，所有0≤ T≤ T≤ T、 因此，OIS短期利率rtsatis fi esrt=ft（T）=-T（eA）（T，T）|T=T- h（eB）（0），Xti=：`（t）+hλ，Xti，对于所有t∈ [0，T]。表示式（3.11）-（3.12）之后，让ci（t）：=eAi（t，t）和γi:=eBi（0），对于所有i=1，m、 最后，条件（γi，-λ) ∈ UY，对于所有i=0，1，m、 γ：=0，后面是命题3.6证明的最后部分中使用的相同参数。根据命题3.7，一个简单的短利率多曲线模型可以很容易地生成大于1的乘法价差，并按thetenor长度排序。备注3.14（关于负OIS短期利率和利差大于1的可能性）。在当前的市场环境中，观察到负利率与利差共存，利差是严格大于1的多收益率曲线模型，并且按照期限长度排序。通过让一个有效过程X的形式为X=（X，Z），并在形式为Rn×CZ的状态空间中取值，对于某些n∈ 其中Czn是一个圆锥体。If`取R中的值，λ∈ r如果满足命题3.7的假设，则利差将大于1且有序，而OIS短期利率将不限于正值。与命题3.8类似，我们可以获得一个必要且充分的条件，以实现对最初观察到的术语结构的精确拟合。让我们用B（t，t）和S0，δi（t，t）表示根据模型（X，0，λ，0，γ）计算的债券价格和价差。此外，我们用t7表示→ BM（0，T）和{t7→ SM，δi（0，T）；i=1。

最初观察到的OIS债券价格和价差的期限结构。我们还通过Fmt（T）定义了相应的OIS远期利率：-Tlog BM（t，t）和ft（t）：=-Tlog B（t，t），对于所有0≤ T≤ T≤ T.以下结果是上述定义和命题3.8的直接结果。提案3.15。假设假设3.9成立。然后，一个有效的短率多曲线模型（X，`，λ，c，γ）在且仅当`（t）=fM（t）时，实现了对初始观测项结构的精确拟合- f（t），对于所有t∈ [0，T]，ci（T）=对数SM，δi（0，T）- 对数S0，δi（0，t），对于所有t∈ [0，T]和i=1，m、 备注3.16。根据命题3.15，假设由模型（X，0，λ，0，γ）生成的扩散S0，δi（t，t）大于1且有序，那么对于任何i∈ {1，…，m}，如果SM，δi（0，t）≥ S0，δi（0，t），对于所有t∈ [0，T]，然后Sδi（T，T）≥ 1，全部0≤ T≤ T≤ T（ii）对于任何i，j∈ i<j的{1，…，m}，iflog SM，δi（0，t）- 对数SM，δj（0，t）≤ 对数S0，δi（0，t）- 对数S0，δj（0，t），对于所有t∈ [0，T]，然后Sδi（T，T）≤ Sδj（t，t），对于所有0≤ T≤ T≤ T.3.4。与现有基于有效流程的多曲线模型的关系。在本节中，我们将讨论我们的设置如何与基于文献中最近提出的有效过程的多曲线模型相关联。我们表明，我们知道的所有现有方法都可以作为我们框架的特例恢复。3.4.1. 短期利率模型。如引言所述，基于有效流程的短期利率模型已被提出用于建模多条曲线，请参见[25,30,31,45,46,52]。[33，第2章]最近提供了一个包含这些论文中介绍的所有模型的总体框架。

在这项工作中，作者们假设，数字是由OIS银行账户照常给出的，通过短期利率r=（rt）0进行建模≤T≤T、 利用相应的鞅测度Q。考虑到单一期限δ>0的呈现的不确定性，即期伦敦银行同业拆借利率Lt（T，T+δ）由T（T，T+δ）=δ指定Bδ（t，t+δ）- 1., 对于所有0≤ T≤ T、 其中，Bδ（T，T+δ）表示到期日为T+δ的艺术风险债券在T日的价格。请注意，风险债券只是作为一种建模工具引入的，其风险性是指银行间市场，并不代表实际交易资产。与经典的CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto单曲线设置中的短期利率法类似，假定OIS债券价格和风险债券价格由b（t，t）=Ehe给出-特鲁杜fti和Bδ（t，t）=Ehe-RTt（ru+su）duFti，所有0≤ T≤ T≤ T、 其中s=（st）0≤T≤t瞬间传播。OIS短速率RTA和扩展凝视被建模为一个公共过程X=（Xt）0的函数≤T≤某些状态空间D上的值 V:=Rn+×Rd-n（[30]还考虑Wishart过程X和确定性移位扩展的情况，这意味着函数的常数部分实际上是时间上的非确定性函数）。该框架可视为我们在第3.3节中介绍的有效短期利率设置的特例。事实上，有必要观察到，在当前设置中，点乘性价差可以表示为logsδ（t，t）=logB（t，t+δ）Bδ（t，t+δ）=logEhe-Rt+δtrudu福提赫-Rt+δt（ru+su）duFti=cδ（t）+hγδ，Xti，其中cδ：[0，t]→ R和γδ∈ V是根据X的特征指数以及RTA和st的函数特性确定的。这表明表示（3.11）-（3.12）适用于基本的函数过程X。

类似的考虑允许恢复[31]中最近提出的高斯二次模型。由于我们的即期乘法利差是一个可观测的量，与瞬时利差st不同，在我们看来，直接定义即期乘法利差的短率多曲线模型更为自然，如定义3.10.3.4.2所示。伦敦银行同业拆借利率模型。第3.2节的一般有效多曲线设置允许恢复[32]中最近引入的模型的通用化，该模型扩展到[43]中最初提出的有效伦敦银行同业拆借利率模型的多曲线设置。在该设置中，num’eraire-鞅度量耦合（B，Q）由到期日为T的OIS零息债券和相应的T-前向度量给出，即（B，Q）=（B（·T），QT）。我们在下面的期望中明确指出了这一措施。如第3.2节所述，考虑一个有效过程X=（Xt）0≤T≤T（在QT下）取Rd+中的值，并用Mu=（Mut）0表示≤T≤t由Mut定义的QT鞅：=EQT[exp（hu，XTi）| Ft]，对于t∈ [0，T]。对于市场上交易的每一个期限δ>0，[32]考虑一个有序到期δ的有限集合：={0=Tδ，Tδ，…，TδNδ=T}。对于δ>0和k的任何期限∈ {0，…，Nδ- 1} 对于所有t，乘法读数Sδ（t，tδk）由（3.14）Sδ（t，tδk）=1+δLt（tδk，tδk+1）1+δLOISt（tδk，tδk+1）=MvδktMuδkt给出∈ [0，Tδk]，其中{uδ，…，uδNδ}是u中的一个序列，使得uδk≥ uδk+1，对于所有k，为了确保非负的正向速率，{vδ，…，vδNδ}是u中的一个序列，使得vδk≥ uδk，对于所有k，以确保利差大于1。就其自身性质而言，[32]的模型是针对有限的到期日集合而制定的。然而，可以通过考虑函数u:[0，T]获得连续扩展→ 使得U（Tδk）=Uδk和函数v:[0，T]×R+→ U使得v（Tδk，δ）=vδk，对于所有k和δ>0。

连续延伸的概念首先出现在未发表的注释[40]中（在单曲线设置中），在本论文发表后，在多曲线设置中得到进一步发展[54]。与[43，第6节]类似，让OIS债券价格如下所示：（3.15）B（t，t）/B（t，t）=Mu（t）t，对于所有0≤ T≤ T≤ T、 仿射多产量曲线模型，其中Mu（T）T=EQT[exp（hu（T），XTi）| Ft]。根据方程（3.14），我们通过（3.16）Sδ（t，t）=Mv（t，δ）t/Mu（t）t对Sδ（t，t）进行建模≤ T≤ T≤ T和δ>0，其中Mv（T，δ）T=EQT[exp（hv（T，δ），XTi）| Ft]。观察，以确保Sδ（t，t）≥ 1，全部0≤ T≤ T≤ T和δ>0时，必须要求v（T，δ）≥ u（T）代表所有T∈ [0，T]和δ>0。类似地，通过对函数δ7施加适当的要求，可以获得与不同基调相关的乘法排列Sδ（t，t）之间的顺序关系→ v（T，δ）。回顾B（t，t）=1，对于所有t∈ [0，T]，表示（3.15）以及X的有效属性意味着数值过程满足log Bt:=log B（T，T）=-对数μ（t）t=-φT- t、 u（t）-ψT- t、 u（t）, Xt, 尽管如此，t∈ [0，T]，其中φ和ψ表示X的特征指数。类似地，表示法（3.16）意味着，对于所有T∈ [0，T]和δ>0，logsδ（T，T）=logMv（T，δ）tMu（T）T=φT- t、 v（t，δ）- φT- t、 u（t）+ψT- t、 v（t，δ）- ψT- t、 u（t）, Xt.因此，模型（3.15）-（3.16）代表了我们的通用多曲线框架的一个特例。事实上，陈述（3.5）-（3.6）之后是出租，尽管如此∈ [0，T]和i=1，m、 （3.17）v（t）=φT- t、 u（t）, u（t）=ψT- t、 u（t）,vi（t）=φT- t、 v（t，δi）- φT- t、 u（t）, ui（t）=ψT- t、 v（t，δi）- ψT- t、 u（t）.此外，根据[42，引理4.3]，它认为u（T）∈ UTand用户界面（T）+u（T）∈ 但无论如何∈ [0，T]和i=1。

，m，从而表明此版本的多币种伦敦银行同业拆借利率模型可以作为定义3.4的特例恢复。在我们看来，与[32]的模型相比，我们的一般框架具有显著的优势，这不仅是因为在选择数值鞅测度偶和一般凸状态空间上的有效过程方面的灵活性。事实上，即使假设这对组合（B，Q）是根据到期日为T的OIS债券以及上述相应的T-远期计量确定的，我们的定义3.4允许更大的通用性。这可以通过注意到，考虑到定义3.4中的一系列函数（u，v），并不总是可能找到两个函数（u，v）：[0，T]×[0，T]×R+→ U×U使得（3.17）保持不变。此外，如命题3.8所示，我们的规范（3.5）-（3.6）始终允许对最初观察到的期限结构进行自动拟合。相反，在[32]中，这仅在某些条件下才可能发生，尤其是初始OIS期限结构随着成熟度以及驱动过程的适当指数动量的不确定性而减少。此外，虽然在我们的规范中，初始期限结构无法确定函数族v，但在[32]中，情况并非如此，因此所有模型参数必须通过拟合初始期限结构和校准市场数据来共同确定。3.4.3. [19]意义上的多重收益率曲线模型。[19，第5.3节]简要提到了基于有效过程的多曲线模型，作为HJM型多场曲线模型的一个简单示例。[19]中提出的规范代表了本文中开发的一般设置的一个特例。