仿射多收益率曲线模型

时间t时IRS的值≤ T、 式中，T表示起始时间，由∏IRS（T；T，Tn，K，N）=NnXi=1给出B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）（1+δK）.互换率KIRS（T，Tn，δ）=Pni=1，通过定义K的价值，使合同具有零价值，从而得出互换率KIRSB（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）δPni=1B（t，Ti）=Pni=1B（t，Ti）Lt（Ti）-1，T）Pni=1B（T，Ti）。基差互换。基差掉期是一种特殊类型的利率掉期，两个交易对手之间交换与伦敦银行同业拆借利率（Libor rate）相关的两个不同期限的现金流。例如，典型的basis30 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto掉期可能涉及3个月期与6个月期伦敦银行同业拆借利率的交换。根据欧元市场基差互换定义的标准惯例（见[2]），基差互换相当于两种不同利率互换的多头/空头头寸，它们共享相同的固定分支。莱特=T、 田纳西州, T=T、 ·Tn和T=T、 田纳西州, Tn=Tn=Tn，T T、 n<n和相应的榫头长度δ>δ，δ不受限制。一侧的前两个榫结构和另一侧的第三个榫结构分别与两层和单固定支腿相关。我们用N表示交换的概念，交换在T=T=T时开始。T时的值≤ 由∏BSW（t；t，t，t，N）=NnXi=1给出B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）-nXj=1B（t，Tj）-1） Sδ（t，Tj）-1) - B（t，Tj）- KnX`=1δB（t，t`）！当KBSW（T，T，T）=Pni=1时，初始合同价值为零的价值KBSW（称为基差掉期价差）B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）-Pnj=1B（t，Tj）-1） Sδ（t，Tj）-1) - B（t，Tj）δPn`=1B（t，t`）。请注意，在金融危机之前，KBW的价值曾经（大约）为零。A.2。具有可选功能的产品。

在本节中，我们报告了普通利率产品的一般估值公式，如（欧洲）Caplet和掉期期权。卡普莱特。履约价格为K，到期日为t，在t+δ时拖欠结算的caplet在t时的价格由∏CP LT（t；t，t+δ，K，N）=NBtδE给出BT+δLT（T，T+δ）- K+英尺= 氖BtBTSδ（T，T）- （1+δK）B（T，T+δ）+英尺.（A.1）备注A.1。请注意，在经典的单曲线设置中（即，假设Sδ（T，T）等同于1），估值公式（A.1）简化为具有1/（1+δK）的零息债券上的一个caplet和一个看跌期权之间的经典关系。从（A.1）中，我们可以看到，在时间T和名义N=1时，caplet的支付对应于Sδ（T，T）- （1+δK）B（T，T+δ）+= Sδ（T，T）1{Sδ（T，T）≥（1+δK）B（T，T+δ）}- （1+δK）B（T，T+δ）1{Sδ（T，T）≥（1+δK）B（T，T+δ）}。现在让我们介绍以下关于FT的概率度量：deQdQ:=Sδ（T，T）B（T，T）BTSδ（0，T）B（0，T）。注意，根据命题2.4，deqdq>0和EQhSδ（T，T）B（T，T）BTSδ（0，T）B（0，T）i=1，sinceSδ（T，T）B（T，T）BtB（0，T）是Q-鞅。根据Bayes公式，我们得到BtBTSδ（T，T）1{Sδ（T，T）≥（1+δK）B（T，T+δ）}英尺= Sδ（t，t）B（t，t）EeQh{Sδ（t，t）≥（1+δK）B（T，T+δ）}Fti。仿射多收益率曲线模型同样，我们得到BtBT（1+δK）B（T，T+δ）1{Sδ（T，T）≥（1+δK）B（T，T+δ）}英尺= （1+δK）B（t，t+δ）EQT+δh{Sδ（t，t）≥（1+δK）B（T，T+δ）}Fti。因此，caplet的价格可以通过∏CP LT（t；t，t+δ，K，1）=Sδ（t，t）B（t，t）eQhSδ（t，t）来计算≥ （1+δK）B（T，T+δ）Fti- （1+δK）B（t，t+δ）QT+δhSδ（t，t）≥ （1+δK）B（T，T+δ）Fti。（A.2）交换。我们考虑一个标准的欧洲付款人互换期权，到期日为T，以（付款人）利率互换为基础，从T=T开始，支付日期为T。。。，Tn，含Ti+1-对于所有i=1，…，Ti=δ，N-1，用名词N。

在时间t时，此类索赔的价值由∏SW P t N（t；t，Tn，K，N）=NE“BtBTnXi=1B（t，Ti）给出-1） Sδ（T，Ti）-1) - （1+δK）B（T，Ti）+英尺#。附录B.命题2.4的证明在假设2.2下，过程（B（t，t）/Bt）0≤T≤这是一个鞅∈ [0，T]。因为b（T，T）=1，这意味着b（T，T）Bt=EB（T，T）BT英尺= E英国电信英尺, 对于所有0≤ T≤ T≤ T、 从而证明了第（一）部分。特别要注意的是，这意味着B（0，T）=E[1/BT]，从而确保dqt/dQ=1/（BTB（0，T））定义了一个概率度量QT~ Q、 每一个T∈ [0，T]。回顾∏F RA（t；t，t+δi，Lt（t，t+δi））=0≤ T≤ T≤ T和i=1，m、 它认为0=δi∏F RA（t；t，t+δi，Lt（t，t+δi））Bt=δiEπF RA（T+δi；T，T+δi，Lt（T，T+δi））BT+δi英尺= ELT（T，T+δi）- Lt（T，T+δi）BT+δi英尺=B（t，t+δi）BtEQT+δi[LT（T，T+δi）| Ft]- Lt（T，T+δi）.由于第（i）部分B（t，t+δi）/Bt>0，最后一个等式证明了第（ii）部分。最后，根据贝叶斯公式，过程（Sδi（t，t））为0≤T≤这是一个QT鞅当且仅当过程（Mit）为0≤T≤由mit定义：=Sδi（t，t）dQT | FtdQT+δi | Ft=Sδi（t，t）B（t，t）B（0，t+δi）B（t，t+δi）B（0，t）是QT+δi-鞅，对于每i=1，m、 通过对Sδi（t，t）的定义，它认为mit=1+δiLt（t，t+δi）1+δilist（t，t+δi）B（t，t）B（0，t+δi）B（t，t+δi）B（0，t）=1+δiLt（T，T+δi）B（0，T+δi）B（0，T）和所需的鞅性质遵循第（ii）部分。参考文献[1]A.阿方西和A.阿赫迪达。Wishart过程的精确和高阶离散格式及其有效延拓。《应用概率年鉴》，23（3）：1025–1073，2013.32克里斯塔·库切罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺阿托[2]F.M.阿梅特拉诺和M.比安切蒂。你一直想知道的关于多重利率曲线的一切，但又不敢问。预印本（可在http://ssrn.com/abstract=2219548), 2013.[3] F.比亚基尼，A。

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