仿射多收益率曲线模型

为了实际执行定价公式（5.5），有必要执行以下步骤：o计算ψ并在区间[0，T]上进行积分，以获得V（0），eV（0），ψ（0），eψ（0）；o用A=γ计算qev（0）AqeV（0）和pv（0）ApV（0）的特征值和特征向量-~ψ(δ, 0, -λ） 得到权重λT，eλ和非中心性参数yT，eyT；o计算（5.6）中给出的CT，Kas和两个独立的非中心χ分布随机变量的正加权和的分布函数，例如，通过Laguerre级数展开（见[12]），形式为FT（C）=FT（CT，K，κ，yT，λT）=g（κ，CT，K）nXj=0αj（κ，yT，λT）L（κ）j（qCT，K），其中g是取决于κ，CT，Kandαjare拉盖尔多项式L（κ）j的系数（取决于κ，yT，λT）（在qCT下计算，其中q表示常数）。关于基于傅里叶反演的替代计算，我们参考[37]。注意，权重λT，eλ和非中心性参数yT，eyt依赖于成熟度（自由度κ为常数），而参数CT，Kin依赖于分布函数的走向。在`和c是常数的情况下，c只依赖于K，而wewrite only CK。在这种情况下，矩阵（FT（CK））T∈{T，…，Tm}，K∈{K，…，Kl}对于不同的到期日和校准所需的击数，可以通过矩阵积U V获得，其中U∈ Rm×nand V∈ Rn×lare定义为uij=αj（κ，yTi，λTi）和Vij=L（κ）i（qCKj）g（κ，CKj）。如果息差和债券的初始期限结构已知，则该程序将给出所有到期日和履约利率的价格。6.校准分析在本节中，我们将讨论我们的通用框架中的两个简单规格对上限/下限市场数据的校准。本节旨在说明拟议方法的实际可行性，而不是建议框架的特定规格。

第一种规格基于CIR伽马模型，而第二种规格由Wishart过程驱动，如第5节所示。特别是，这代表了在多曲线框架中校准Wishart短期利率模型的第一个实例。此外，我们在CIR伽马模型的情况下，用参数稳定性分析来补充我们的结果，显示了令人满意的稳定性。我们参考[6,15]了解基于掉期期权数据的校准结果，参考[51]了解依赖ATM欧洲掉期期权和上限报价的校准方法。6.1. 市场数据。让我们从简要描述我们的市场数据样本开始。我们最初考虑固定的交易日期，即2011年8月2日。数据样本由线性和非线性利率衍生品的市场报价（对应于完全抵押交易）的横截面组成。就线性产品而言，我们考虑隔夜指数掉期和利率掉期的市场数据。基于这些市场报价，我们构建了OIS折扣曲线T 7→ B（0，T）和正向曲线t7→ L（T，T+δi），对于δ=3M和δ=6M。这是通过依赖Finmath Java库（参见[27]）24 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTO0 5 10 15 20 30 35 40T0实现的。20.30.40.50.60.70.80.91B（0，T）折扣曲线折扣曲线0 2 4 6 8 10 12 14 16 18T0。0150.020.0250.030.0350.040.045L0（T，T+/i）正向曲线3月曲线6月曲线图1。截至2011年8月2日的贴现和远期曲线。关于非线性利率产品，市场惯例包括公布上限/下限复合面：当履约价格低于货币（ATM）水平时，报价指的是货币外（OTM）利率，而如果履约高于ATM，报价指的是OTM上限。通过这种方式，整个曲面由流动交易的OTM期权构成。

然而，根据上限和下限之间的看跌期权平价，我们可以将所有隐含波动视为上限波动。为了减少校准的复杂性，可以方便地构造一个适用于从cap隐含波动率数据中捕获的caplet隐含波动率曲面。表面指的是介于0之间的履约价格。75%和6%，期限在6个月到10年之间。在市场上，到期日大于两年的上限与6个月远期利率挂钩，而到期日较低的上限与3个月曲线挂钩。通过数值搜索σN（其中N代表正态）的值，可以得到正态隐含波动率，使得caplet∏CP LT（t；Ti）的Bachelier定价公式-1，Ti，K，1）=B（t，Ti）δEQTihLTi-1（Ti）-1，Ti）- K+Fti=B（t，Ti）ΔσNpTi-1.- T√2πe-z+zN（z）,其中（x）=√2πZx-∞E-ydy和z=Lt（Ti-1，Ti）- KσN√钛-1.- t、 最佳匹配给定caplet的市场价格。6.2. 实施细节。现在，我们通过FFT算法（见[11]）详细描述了第4.2条建议的实现。在目前的讨论中，我们将积分变量表示为ζ=z- 我. 也让k:=log¨k andI（z）：=~nYT（z）- 我( + 1))-（z）- 我)（z）- 我( + 1)).（4.3）中出现的积分项可以写成it（k）：=e-kπZ∞重新E-伊兹基（z）dz。我们通过引入形式为zj:=η（j）的梯形规则来进行第一次近似- 1） ，η>0，j=1，N、 因此，积分的有效上限由（N）给出-1)η. 由于我们希望对履约价格网格的积分项进行同时评估，我们还引入了kj形式的agrid for k:=-b+η？（j）- 1), η?> 0，j=1，N、 这样就形成了一个覆盖区间的网格[-b、 b），其中b=0.5Nη？。

由于我们想要应用FFT算法，我们需要施加石蜡多屈服曲线模型25Nyquist条件，这意味着我们设置ηη？=2π/N，因此引入了原木走向精度和积分网格之间的权衡。正如[11]所建议的，我们引入了辛普森规则的权重，以便即使对于η的大值也能获得令人满意的精度。总之，积分项（沿原木走向网格）近似为（kj）≈E-kjπReNXj=1e-i2πN（j）-1） （j）-1） eizjbI（zj）η3 + (-1） j+δj-1.,（6.1）其中δn表示Kroneckerδ函数，n=0时为1，否则为零。公式（6.1）可以通过直接应用FFT算法来计算。在我们的分析中，我们设定N=16384，η=0.2。对于模型参数p的给定向量，属于可容许参数p的集合，我们使用上述方法计算caplet价格，并将其转换为模型隐含的正态波动率，我们用σimpmod（p）表示。校准程序的目的是解决MINP∈Pσimpmkt- σimpmod（p）,其中σimpmktdenotes表示市场观察到的隐含波动率，k·k表示欧几里德范数。6.3. 校准结果。在下文中，我们将说明两个候选规格及其校准结果。请注意，这两种模型都允许通过根据命题3.15.6.3.1适当选择函数和c，对观察到的术语结构进行完美拟合。CIR伽马模型。我们首先校准以下模型，该模型由一个二维过程X=（X，X）组成，其形式为xt=X+Ztb+βXsds+ZtσpXsdWs，Xt=X+ZtZξu（dξ），其中b，β，σ∈ R、 W是布朗运动，Xis是一个Gamma过程，其测量值为ν（dξ）=mx-1e-nξdξ，其中m，n>0。

短速率被指定为rt=`（t）+λXt，分布形式为logsδi（t，t）=ci（t）+γi（Xt+Xt），i=1,2，带γi，λ∈ R和`，c:[0，T]→ R.表1报告了校准的模型参数，而图2说明了价格和隐含波动率的质量。更准确地说，左面板显示了价格的平方误差，而右面板显示了隐含波动率的平方误差。尽管模型简单，但与观察到的市场报价相比，它取得了相当好的拟合效果。通过观察隐含波动率的平方误差，我们发现，对于较高的冲击和我们考虑的第一个到期日（6个月），债券的质量较低。然而，从图2的左面板可以看出，债券的质量是可以接受的，这突出了6个月到期日和深度OTM区域的价格平方误差较低。观察校准参数满足γ<γ，反映出6个月利率相对于3个月利率具有更高程度的银行间风险。这是在没有在优化算法中施加先验约束的情况下实现的。还要注意的是，该程序的计算复杂性与股票标准随机波动率模型的校准水平相同。6.3.2. 威斯哈特伽马模型。现在，我们展示了由Wishart过程驱动的简单模型的同一市场数据样本的校准结果。据我们所知，这是根据非线性产品的市场数据校准Wishart利率模型的第一个例子。以前的作品，如[3,22,29]仅限于模型及其属性的展示。

设X=（X，X）是一个过程，其中Xis是（5.1）中定义的Wishart过程，具有26个CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GnoattoxParametersB 0.0630 m 0.3651λ0.0107β0.0033 n 1.8614γ0.0039σ0.1479 X0。2386γ0.0128X0。4330Resnorm 0.0014表1。CIR伽马模型的校准结果。Resnorm代表市场和模型隐含挥发物之间的平方距离总和。010.00520.0134价格误差#10-70.01550.02670.025价格平方误差打击0。0310 0.0359 8 0.046到期日5 0.0454 3 0.052 1 0.50.05500.0050.50.011#10-4波动性错误0。0151.520.022.50.025波动率平方误差打击0。0310 0.0359 8 0.046到期日5 0.0454 3 0.052 1 0.50.055图2。Cirgama模型的价格和隐含波动率方面的校准残差。校准日期：2011年8月2日。d=2，Xis为伽马过程，与第6.3.1节中考虑的模型完全相同。短期利率被指定为rt=`（t）+λhId，Xti，利差为对数Sδi（t，t）=ci（t）+γi（hId，Xti+Xt），i=1,2，γi，λ∈ R.我们称之为Wishart伽马模型。我们在表2中报告了校准参数，而图3从价格和隐含波动率方面说明了fit的质量。校准误差的大小与之前的CIR伽马规范一致。注意，同样在这种情况下，校准参数满足γ<γ。然而，我们承认，由于需要求解矩阵Riccati ODEs而非经典Riccati ODEs，因此该规范的计算成本较高。限制某些参数或应用第5节中的方法可能代表了留待未来研究的解决方案。备注6.1。

我们指出，由于命题4.2的caplet定价公式仅取决于广义Riccati ODEs系统解的特定形式，软件实现的整体结构不取决于过程/状态空间的特定组合。6.3.3. 校准稳定性。在本节中，我们从前台利率台执行每日重新校准的角度，分析校准参数的稳定性。对于这个实验，我们选择CIR伽马模型，因为它具有更高的计算可处理性。我们将表1中的校准参数作为2011年8月2日至2011年8月31日期间一系列校准实验的初始猜测。程序的输出是校准参数和校准统计数据的时间序列。首先，图4底部面板显示，通过平方和交替测量，可以选择前一天的校准结果作为给定日期校准的初始猜测：我们进行了这个实验，发现参数的不稳定性略有增加。因此，我们的选择保证了更高的稳定性，同时符合市场惯例。仿射多收益率曲线模型27XXParametersκ3.0626 m 0.3502λ0.0021M-0.4647-0.0218-0.0823 0.0110N3.8926γ0.0068Q-0.0093 0.0201-0.0008 0.1019X2。7617γ0.0118X2.3928 1.44891.4489 2.2730Resnorm 0.0034表2。Wishart Gamma模型的校准结果。

Resnorm代表市场和模型隐含波动率之间的平方距离总和。00.0050.20.010.4#10-6价格错误0。0150.60.80.0210.025价格平方误差打击0。0310 0.0359 8 0.046到期日5 0.0454 3 0.052 1 0.50.05500.0050.50.011波动率误差#10-40.0151.520.022.50.025波动率平方误差打击0。0310 0.0359 8 0.046到期日5 0.0454 3 0.052 1 0.50.055图3。价格和隐含波动率方面的校准残差。校准日期：2011年8月2日。隐含波动率误差，在我们考虑的时间窗口内会出现微小的波动，范围在0.0013和0.0019之间。第二个重要发现与参数γ和γ（中央右侧面板）有关：在考虑的整个时间窗口内，γ<γ的顺序是持续的。我们观察到校准参数（见左上图和右上图）的稳定性达到了令人满意的水平，通过样本平均值重新标度的标准偏差比率进行测量，其始终小于20%，见表3。为了进一步提高校准的稳定性，可以注意到模型初始规格中的参数之间的标量积可能会在校准中产生不稳定性。事实上，无风险短期利率的规格与λ和X之间的乘积成正比，这表明项目和过程X的初始值之间存在冗余。同样，通过查看利差规格，我们也得到了γi，i=1，2，过程X。对于相关问题，当不同的过程产生相同的期限结构时，我们参考[13]。在目前的情况下，可以方便地确定x的值，并校准参数γibe，这一选择保证了与不同期限相关的乘法价差的理论排序具有更好的灵活性。

为了测试我们的直觉，我们在之前使用的同一时间窗口上进行了稳定性实验。我们能够略微降低几乎所有参数的变异系数，而不会对均方误差的质量产生显著影响。28 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto参数标准偏差/平均参数标准偏差/平均值0.10532 n 0.045478β0.11868 X0。18247σ0.094040λ0.096756X0。081350γ0.069002m 0.10168γ0.047381表3。模型参数的变化系数。0246814161820T00。10.20.30.40.50.6参数CIR参数B-<X100 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20t00。511.522.5参数AMMA从属参数NX200 2 4 6 8 10 12 16 18 20t00。10.20.30.40.50.6参数\\lambda和X ^。i#10-3。i、 1.20 2 4 8 10 12 14 16 18 20t1。21.31.41.51.61.71.81.92波动率平方误差之和#10-3校准误差校准误差图4。参数稳定性测试。左上面板：CIR参数。右上面板：Gamma从属参数。左中面板：X和λ之间的比较。右中面板：扩展模型的投影。底部面板：整个样本的平方方差误差之和。校准时间窗口：2011年8月。仿射多收益率曲线模型29附录A.一般定价公式本附录给出了典型利率衍生品的一般定价公式。正如我们将要展示的，数量Sδ（t，t）在利率产品的估值中起着关键作用。我们在此根据[19，附录A]的精神推导出净价格，假设在共同资产等于总金额的情况下进行完美抵押。A.1。线性产品。

线性利率产品的价格（即，没有可选性特征）可以直接用基本量B（t，t）和Sδ（t，t）表示。远期利率协议。从T开始的远期利率协议（FRA），到期日为T+δ，固定利率为K，名义利率为N，在T+δ时支付金额为∏F RA（T+δ；T，T+δ，K，N）=Nδ的isa合同LT（T，T+δ）- K.该索赔在时间t的价值≤ T是∏F RA（T；T，T+δ，K，N）=NB（T，T+δ）δEQT+δ[LT（T，T+δ）- K | Ft]=NB（t，t）Sδ（t，t）- B（t，t+δ）（1+δK）.隔夜指数掉期。隔夜指数掉期（OIS）是两个交易对手交换两个付款流的合同：第一个根据固定利率K计算，而第二个根据隔夜利率（EONIA）计算。让我们用T表示，t付款日期，Ti+1-对于所有i=1，N-1.掉期在T开始∈ [0，T）。T处OIS的值≤ t名义值N可表示为（参见[25，第2.5节]）OIS（t；t，Tn，K，N）=NB（t，t）- B（t，Tn）- KδnXi=1B（t，Ti）！。因此，OIS费率KOIS由KOIS（T，Tn）=B（T，T）给出，KOIS是通过定义K的值，使得OIS合同在开始时为零- B（t，Tn）δPnk=1B（t，Tk）。利率互换。在利率互换（IRS）中，两个交易对手之间交换两个支付流：第一个现金流根据固定利率K计算，而第二个现金流则根据伦敦银行同业拆借利率（Libor）进行指数化。