仿射多收益率曲线模型

事实上，定义3.4意义上的有效多曲线模型属于[19]中考虑的风险中性HJM型多收益曲线模型家族，只有iflog BTM是绝对连续的。更具体地说，在[19]中考虑的定义（见[19，定义5.3]）代表了我们定义3.10的一个特例，当`和c被选择为常数时。为了清楚起见，让我们用Fractur16 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto字母来表示[19，定义5.3]中出现的所有成分。然后[19，定义5.3]可以通过设置X:=（X，Y），ci=0和γi=（0，ui）嵌入定义3.10，对于所有i=1，m、 相反，在`和c为常数的特殊情况下，定义3.10可以嵌入[19，定义5.3]，方法是让X=X，Y=（1，X），ui=cianduj+1i=γji，对于所有j=1，尺寸（VX）和i=1，m、 四,。Caplet和Swapption的一般定价公式我们现在表明，在定义3.4的意义上，一个有效的多曲线模型会导致Caplet和Swapption的易于处理的一般估值公式。我们计算净价格，并遵循[19，附录A]中概述的定价方法，尤其是假设抵押账户由拜纳姆埃莱尔资产提供。为便于表述，我们将考虑固定到期日T>0，并假设（X，u，v）是定义3.4.4.1意义上的一个有效多曲线模型。披肩。在目前的情况下，可以通过傅立叶技术轻松地对小卷进行定价。作为预备，让我∈ {1，…，m}并定义随机过程（Yt）t∈[0，T+δi]乘以（4.1）Yt:=logSδi（t，t）B（t，t+δi）= vi（t）+v（t）- v（T+δi）- φ（T+δi）- t、 u（t+δi））+hui（t）+u（t）- ψ（T+δi）- t、 u（t+δi）），Xti，其中第二个等式来自命题3.6。

我们用Ayt表示setAYT：=ν ∈ R:EB（T，T+δi）BTeνYT< +∞o,引入复数条∧YT={ζ∈ C:-Im（ζ）∈ 哎呀。ζ∈ λYT，我们可以计算以下期望值，我们称之为修正的力矩生成函数YT:~nYT（ζ）：=EB（T，T+δi）BTeiζYT英尺= exp（（1）- iζ（v（T+δi）+φ（δi，u（T+δi））+iζ（vi（T）+v（T））×ehh（1）-iζ）ψ（δi，u（T+δi））+iζ（ui（T）+u（T）），XTiFti=exp（1- iζ（v（T+δi）+φ（δi，u（T+δi））+iζ（vi（T）+v（T）））×exp（φ（T- t、 （1）- iζ）ψ（δi，u（T+δi））+iζ（ui（T）+u（T）））×exp（hψ（T）- t、 （1）- iζ）ψ（δi，u（T+δi））+iζ（ui（T）+u（T）），Xti）。（4.2）备注4.1。对于定义为3.10的有效短期多曲线模型，表达式（4.1）变为t=ci（t）+ZT+δit`（u）du-■φ（T+δi）- t、 0，-λ） +hγi-ψ（T+δi）- t、 0，-λ） ，Xti。类似地，表达式（4.2）变为φYT（ζ）=exp(1 - iζ）-ZT+δ`（u）du+φ（δi，0，-λ)+ iζ（ci（T）-ZT`（u）du）x exp（～φ（T）- t、 （1）- iζ）~ψ（δi，0，-λ） +iζγi，-iζλ）×exph~ψ（T）- t、 （1）- iζ）~ψ（δi，0，-λ） +iζγi，-iζλ），Xti- hλ，ZtXsdsi.仿射多收益率曲线模型17集合a和∧Y取决于驱动过程X的具体选择。根据[48，定理5.1]，我们现在提供了一个通用的caplet定价公式，该公式适用于基础过程X的任何选择和积分轮廓的不同选择。特别是，下一个结果强调了我们框架的可操作性：可以通过单变量的富里埃积分来定价。反过来，这意味着可以通过合理的计算效率（可以通过应用FFT算法进一步降低计算效率）获得校准。提议4.2。让ζ∈ C ∈ R、 \'K:=1+δK，并假设1+ ∈ 艾特。

然后是名义N、重置日期t和支付Nδi（LT（t，t+δi）的caplet在t日的价格-K） +在沉降日期T+δiis由（4.3）给出∏CP LT（T；T，T+δi，K，N）=NBtRY、 “K，+πZ∞-我0-我重新E-iζlog（`K）~nYT（ζ- （一）-ζ(ζ -（一）dζ,式中（4.2）和R中给出了Y、 “K，是拜尔给的Y、 “K，=~nYT(-（一）-\'K K YT（0），如果 < -1，~nYT(-（一）-\'K K YT（0），如果 = -1，~nYT(-i） 如果- 1 <  < 0，~nYT(-i） 如果 = 0,0如果 > 0.证明。如附录A.2所示，caplet的价格可以表示为∏CP LT（t；t，t+δi，K，N）=neBtBTSδi（T，T）- （1+δiK）B（T，T+δi）+英尺= N Ebtb（T，T+δi）Sδi（T，T）B（T，T+δi）-1.- （1+δiK）+英尺= N Ebtb（T，T+δi）艾特- （1+δiK）+英尺由于YT的修正矩母函数可以如（4.2）中所示显式计算，因此，caplet的定价被简化为特征函数为显式已知的资产上的看涨期权的定价。此时，直接应用[48，定理5.1]可以得到结果。注意，在[48，定理5.1]的术语中，本例对应于G=Gand b=1，这是AYTby定义3.4的一个元素。4.2. 交换。在目前的一般情况下，互换期权不接受封闭式定价公式。事实上，一方面，我们考虑一般的多因素模型，因此“Jamshidian把戏”（见[36]）不适用；另一方面，在多曲线设置中，付款人（或接收人）互换期权不能表示为息票债券的看跌期权（或看涨期权）。在这一小节中，通过使用傅里叶方法，并遵循[9,10]的思路，我们提供了一个通用的分析近似值，它揭示了我们框架的一个有效性质。

我们在第3.2节的一般设置下工作，但所有公式都允许在一个有效的短期多曲线模型的情况下进行适当的简化。我们考虑到期日为T的欧洲付款人互换期权，以T=T的（付款人）利率互换开始，支付日期为T，TN，带Tj+1- Tj=δ如果j=1，N- 1安迪∈ {1，…，m}，名义N.如附录A.2所示，此类索赔在日期t的价值为18 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto，由∏SW P t N（t；t，TN，K，N）=NE给出BtBTNXj=1B（T，Tj-1） Sδi（T，Tj）-1) - （1+δiK）B（T，Tj）+英尺.我们近似的基本思想是通过一个根据XT的一个函数定义的事件来近似运动区域。更具体地说，我们有∏SW P T N（T；T，TN，K，N）≥ 氖BtBTNXj=1B（T，Tj-1） Sδi（T，Tj）-1) - （1+δiK）B（T，Tj）+G英尺≥ 氖BtBTNXj=1B（T，Tj-1） Sδi（T，Tj）-1) - （1+δiK）B（T，Tj）G英尺=:e∏SW P T N（α，β），其中G:={ω∈ Ohm| hβ，XTi>α}和β∈ VX，α∈ R.让我们通过介绍Gwi，j来简化符号：=1，j=1，N-（1+δiK），j=N+1，2N，ui，j（T）：=ui（T），j=1，N、 0，j=N+1，2N，vi，j（T）：=vi（T），j=1，N、 0，j=N+1，2N，l：=J- 1，j=1，N、 j，j=N+1，2N，因此，鉴于命题3.6，e∏SW P T N（α，β）允许代表e∏SW P T N（α，β）=NBt2NXj=1wi，jEev（Tl）+vi，j（Tl）+φ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+hψ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl）），XTiG英尺.（4.4）回顾定义3.4中的ui（T）+u（T）∈ 所以φ（Tl- T、 ui，j（Tl）+u（Tl））和ψ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））定义良好。如下面的命题所示，可以显式计算数量e∏SW P T N（α，β），类似于命题4.2。提案4.3。假设ψ（Tl）- T、 ui，j（Tl）+u（Tl））∈ 美国犹他州j=1，2N。

允许 ∈ R使得ψ（Tl）- T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+β ∈ 美国犹他州，j=1，2N。然后是付款人互换期权的α，β的下界，名义N，到期日T，支付日期T。。。，TN，带Tj+1- Tj=δ如果所有j=1，N- 1由∏SW P T N（α，β）=NBt2NXj=1wi，j给出R+πZ∞-我0-我重新E-iζαiζEev（Tl）+vi，j（Tl）+φ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+hψ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+iβζ，XTi英尺dζ,（4.5）其中R是拜尔给的=Eev（Tl）+vi，j（Tl）+φ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+hψ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl）），XTi英尺, 如果 < 0，Eev（Tl）+vi，j（Tl）+φ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+hψ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl）），XTi英尺, 如果 = 0,0，如果 > 0.仿射多收益率曲线模型。该主张是[48，定理5.1]的直接结果，注意到每一个和的出现（4.4）在[48]的符号中对应于G=G，b=ψ（Tl-T、 ui，j（Tl）+u（Tl）），b=β，k=α。命题4.3给出了互换期权价格的一般下界，用（α，β）参数化。这些参数的确定方式应确保下限尽可能紧密，同时确保XT的适当指数矩的精确性。如[9]所指出的，关于数值实现的更多细节，我们可以通过两种方式选择（α，β）的值：（i）通过最大化（4.5）关于α，β，从而提供下限∏SW P T NLB:=maxα，βe∏SW P T N（α，β）。请注意，此解决方案可能需要计算，尤其是对于高维模型。此外，对于给定的选择, 优化过程应受到约束，以确保XT的联合指数矩的一致性。（ii）通过考虑类似超平面的近似，并预先确定α、β的最佳可能值（著名的单态Umantsev近似就是这个意义上的一个例子，参见[58]，并与[47]进行比较）。

一个基于Wishart过程的易于处理的规范为了简化符号，我们在这里考虑一个单阶δ的情况，并假设驱动过程X是一个Wishart过程(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 Q）使用状态空间S+dof格式DXT=κQ>Q+MXt+XtM>dt+pXtdWtQ+Q>dW>tpXt，X=X，（5.1），其中W是布朗运动的d×d矩阵，κ≥ D- 1和Q，M是d×d矩阵。Wishart过程特别吸引人的特点是矩阵中非负对角元素之间的随机相关性。在经典正则态空间Rn×Rm+上，正因子不能得到这个性质。然而，当涉及高度相关的差价时，这种可能性是一个关键因素。我们考虑第3.3节中的一个有效的短速率多曲线模型，其中短速率r（t）=`（t）+hλ，Xti和扩展对数Sδ（t，t）=c（t）+hγ，Xti，其中c（t）∈ R+和γ∈ S+D以保证利差的积极性。回想一下，标量积h·，·i就是这个轨迹。备注5.1。通过选择λ和γ作为对角矩阵，上述模型代表了经典CIR模型对多曲线环境的自然张力，因为aWishart过程的对角元素是随机相关的CIR过程。本节的目标是研究这一特定模型的上限定价。

如第A.2节所示，具有酉名义的caplet的价格可以通过∏CP LT（t；t，t+δ，K，1）=Sδ（t，t）B（t，t）eQhSδ（t，t）来计算≥ （1+δK）B（T，T+δ）|Fti- （1+δK）B（t，t+δ）QT+δhSδ（t，t）≥ （1+δK）B（T，T+δ）|Fti，（5.2）我们还想提到，在最近的论文[32]中，单态Umantsev近似的性能已经过经验测试，并与多曲线模型中的蒙特卡罗模拟进行了比较。20 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoattoq~ Q是通过dqdq定义的：=Sδ（T，T）B（T，T）BTSδ（0，T）B（0，T）。在上述模型的情况下，可以很容易地表明，过程X遵循measureseQ和QT+δa非中心Wishart分布，具有时间相关参数，这在下面的引理5.3中说明。由于密度（直到ODE的解）是明确已知的，因此可以获得（半）分析性的caplet定价公式，类似于CIR模型。首先，让我们根据[39，定义A.4]介绍以下定义。定义5.2。假设κ≥ D-1, Σ ∈ S+dandΘ是一个d×d矩阵，使得∑Θ是对称正半定义。如果对称正有限随机矩阵U的拉普拉斯变换满足[e]，则称其为非中心分布，具有κ自由度、协方差矩阵∑和非中心参数矩阵Θ-hu，Ui]=det（Id- 2u∑）-δe-hu（Id+2u∑）-1，∑i.在这种情况下，我们写U~ Wd（κ，∑，Θ）。引理5.3。

设X是Q.（i）下形式为（5.1）的惠斯哈特过程，X具有非中心惠斯哈特分布wd（κ，eV（0），eV（0）-1eψ（0）>xeψ（0）），其中ev（t）和ψ（t）是以下普通微分方程组的解（5.3）teψ（t）=-M> +2Q>Q¨ψ（T）- t、 γ，-λ)eψ（t），eψ（t）=I，teV（t）=-eψ（t）>Q>Qeψ（t），eV（t）=0，其中∧φ和∧ψ表示过程的特征指数Y=（X，R·Xsds）。（5.3）的解由ψ（0）=exp显式给出ZTM> +2Q>Q¨ψ（T）- t、 γ，-λ)dtIeV（0）=ZTexpZTtAsdsQ> Q expZTtA>sds带As的dt:=M+2∏ψ（T）- s、 γ，-λ） Q>Q.（ii）在QT+δ下，XT具有非中心Wishart分布Wd（κ，V（0），V（0）-1ψ（0）>xψ（0）），其中V（t）和ψ（t）是以下常微分方程组的解（5.4）tψ（t）=-（M>+2Q>Q¨ψ（T）- t） ，0，-λ） ψ（t），ψ（t）=I，电视（t）=-ψ（t）>Q>Qψ（t），V（t）=0，其中∧φ和∧ψ表示过程的特征指数Y=（X，R·Xsds）。上面明确给出了（5.4）的解。证据关于（i），注意密度过程（Nt）为0≤T≤给出的TOFDEqDq为：E“deQdQFt#=Sδ（0，T）B（0，T）ESδ（T，T）B（T，T）BT英尺=Sδ（0，T）B（0，T）Ehec（T）+hγ，XTi-RT`（s）ds-hλ，RTXsdsiFTI仿射多屈服曲线模型21=Sδ（0，T）B（0，T）expc（T）-ZT`（s）ds+~φ（T）- t、 γ，-λ） +D~ψ（T）- t、 γ，-λ） ，XtE- hλ，ZtXsdsi,式中，φ和ψ表示Y=（X，R·Xsds）的特征指数。请注意，Ntis的扩散部分由ztnsdq¨ψ（T）给出- s、 γ，-λ)√Xs，dWsE，这样我们就可以写=E了Z·DQ¨ψ（T）- s、 γ，-λ)√Xs，dWsEt、 根据Girsanov定理，在被测q下，X的线性漂移改变toM+2~ψ（t- t、 γ，-λ） Q>Q，所以X变成了一个Wishart过程，在EQ下具有时变线性漂移。根据[39，命题A.6]，XT具有非中心Wishart分布Wd（κ，eV（0），eV（0）-1eψ（0）>xeψ（0）），其中ev（t）和ψ（t）是（5.3）的解。

关于（ii），我们得到了qt+δdQE的密度过程dQT+δdQ英尺=B（t，t）BtB（0，t）=B（0，t）exp-ZT`（u）du+~φ（T）- t、 0，-λ） +D~ψ（T）- t、 0，-λ） ，XtE- hλ，ZtXsdsi.随后的断言与foreQ类似。5.1. 计算非中心Wishart分布中线性泛函的某些概率。鉴于（5.2），我们在这里重点讨论Qhsδ（T，T）的计算≥ （1+δK）B（T，T+δ）和QT+δhSδ（T，T）≥ （1+δK）B（T，T+δ）i.根据我们模型的规定，上述两个量中的第一个变为：hγ-~ψ(δ, 0, -λ） ，XTi≥ 对数（1+δK）-ZT+δT`（u）du+φ（δ，0，-λ) - c（T）对于QT+δ-概率也是如此。因此，它相当于计算类型eq[hA，XTi]的表达式≥ C] ，对于一些矩阵A∈ Sd（注意|ψ（δ，0，-λ） 可以对称化为位于Sd）和某些常数C中。以下命题涉及非中心Wishart分布矩阵元素与χ分布随机变量的线性组合。提议5.4。让X~ Wd（κ，∑，∑）-1x）带∑∈ S++d.ThenhA，Xi~dXi=1λiVi，其中λi是√∑A√∑=O∧O>和Vi，i∈ {1，…，d}是具有Vi的独立随机变量~ χ（κ，yii），其中y=O>∑-x∑-O.证明。根据[1，命题6]，X的分布与√∑Z√∑其中Z~ Wd（κ，Id，∑）-x∑-).因此，Xi~ 哈√∑Z√∑i=h√∑A√∑，Zi=hO∧O>，Zi=h∧，O>ZOi=：h∧，yi=dXi=1λiYii22 CHRISTA CUCHIERO，CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto其中Y:=O>ZO~ Wd（κ，Id，O>∑）-x∑-O） =Wd（κ，Id，y）。现在让我们计算动量母函数Pfdi=1λiYii，它由（例如，见[39，命题A.5]）EheuPdi=1λiYii=dYi=1（1）给出- 2uλi）-κeuλiyii1-2uλi。然而，这对应于力矩母函数pPDI=1λiVi，其中Vi~ χ（κ，yii）是独立的随机变量。事实上，它认为eheu（Pdi=1λiVi）i=dYi=1EheuλiVii=dYi=1（1- 2uλi）-κeuλiyii1-2λiu。这证明了Pdi=1λiYii~Pdi=1λiVi。

自从哈，XTi~Pdi=1λiYii，证明了该断言。推论5.5。让我们∈ SDA和X形式的Wishart流程（5.1）。然后在QT+δ下，它保持thathA，XTi~dXi=1λi，TVi，T，其中λi，是pv（0）ApV（0）=O∧TO>和Vi，T，i的特征值∈ {1，…，d}是具有Vi，T的独立变量~ χ（κ，yii，T），其中yt=（O>V（0）-ψ>（0）ψ（0）V（0）-O） 引理5.3给出了V（0）和ψ（0）。同样的断言也适用于foreQ，V（0）和ψ（0）被ev（0）和ψ（0）取代。证据这个断言是引理5.3和命题5.4的直接结果。5.2. caplet价格的闭式表达式。最后，根据上述结果，我们准备给出上述Wishart模型中caplet价格的（半）分析公式。定理5.6。设X为形式（5.1）的Wishart过程。考虑一个有效的短速率多曲线模型，其oOIS短速率rt=`（t）+hλ，Xti，适用于所有t∈ [0，T]和o对数乘法扩散对数Sδ（T，T）=c（T）+hγ，Xti，对于所有T∈ [0，T]。然后，在0日，单位名义价值、重置日期T和支付δ（LT（T，T+δ）的caplet的价格-K） 在结算日，T+δ由（5.5）πCP LT（0；T，T+δ，K，1）=Sδ（0，T）B（0，T）给出1.-eFT（CT，K）-（1+δK）B（0，T+δ）1.-英尺（CT，K）,式中o常数CT，Kis由CT给出，K=log（1+δK）-ZT+δT`（u）du+φ（δ，0，-λ) - c（T），（5.6），其中eφ是（X，R·Xsds）的特征指数中的常数部分，以及oef和fts表示对应于toPdi=1eλi，TeVi，TandPdi=1λi，TVi，Tas的非中心χ分布随机变量的加权和的累积分布函数，其中toPdi=1λi，TVi，Tas为推论5.5 foreQ和QT+δ，其中a=γ-~ψ(δ, 0, -λ） andeψ（X，R·Xsds）特征指数中的常数部分。证据该断言是等式（a.2）和推论5.5的结果。仿射多收益率曲线模型235.7。