仿射多收益率曲线模型

我们说（B，Q）是一个数鞅测度偶，如果每个基本交易资产的B贴现价格是一个鞅(Ohm, （英尺）0≤T≤T、 Q）。换句话说，如果（B，Q）是一个num’eraire-鞅测度偶，那么每一个OIS零息债券和FRA合同的价格在关于num’eraire过程B贴现时都是一个Q-鞅。定义2.1符合[23]的精神，作者考虑了num’eraire-鞅测度偶在上述意义下生成的期限结构模型。请注意，我们不假设仿射多收益率曲线模型5b是交易资产，因此当qc对应于物理概率度量时，它可以被解释为状态价格密度过程（与[26,57]相比）。在本文中，我们将在以下假设下工作。假设2.2。存在一个数鞅测度偶（B，Q）。特别是，假设2.2有助于排除在由所有基本交易资产（即所有OIS零息票债券和FRA合同）构成的大型金融市场中存在的套利利益，即风险为零的无症状免费午餐（NAFLVR，见[20]）。备注2.3（OIS银行账户为num’eraire）。在关于多条曲线的文献中，通常选择num’eraire作为OIS银行账户，Q是相应的（点）鞅度量。虽然（B，Q）的选择将在第3.3节中详细讨论，但我们想指出，我们的框架不限于此规范，并允许考虑几种替代设置，具体取决于数值-鞅度量偶的选择（见下文第3.2节）。

目前，我们只是从抽象和一般的角度来考虑这对夫妇（B，Q）。假设2.2意味着，每个基本交易资产的无套利价格可以通过对其B贴现支付的条件Q预期来计算，类似于经典的风险中性估值范式。在整篇论文中，除非明确指出，否则在测量Q下进行预期，而测量qt表示T的密度dqt/dQ=1/（BTB（0，T）），对于T∈ [0，T]。我们现在可以陈述以下命题，这是定义2.1的一个简单结果（为了完整性，证明见附录B）。提议2.4。假设假设2.2成立。然后是以下情况：（i）OIS零息债券价格满足（2.3）B（t，t）=EBtBT英尺, 对于所有0≤ T≤ T≤ T（ii）每i=1，m、 公平FRA利率满足（2.4）Lt（T，T+δi）=EQT+δi[Lt（T，T+δi）| Ft]，所有0≤ T≤ T≤ T（iii）每i=1，m、 乘法扩散满足（2.5）Sδi（t，t）=EQT[Sδi（t，t）| Ft]，所有0≤ T≤ T≤ T.从建模角度来看，命题2.4和表述（2.2）意味着，为了对由所有OIS零耦合债券和FRA合约组成的金融市场进行无套利描述，必须对数字过程B和即期乘法利差{（Sδi（T，T））0进行建模≤T≤T、 i=1，m} 在下一节中，这将以一种灵活且易于处理的方式实现，即让num’eraire过程和Spot乘法利差由一个共同的基本过程驱动。3.基于仿射过程的多曲线模型在本节中，我们开发了一个基于有效过程的通用框架，用于建模多曲线。

我们首先在第3.1节中回顾了一些关于有效过程的一般结果，主要依赖于在典型情况下，B是OIS银行账户，Q是相应的鞅测度，如备注2.3所述，通过将B贴现支付的条件Q预期与计算其清洁价格相对应来计算衍生工具的价格，即。，忽略交易对手风险，并假设融资利率等于OIS利率（与[19，附录a]中的讨论进行比较）。6 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTO[18,21,42]。在第3.2节中，我们提供了关于抽象数鞅测度偶的有效多曲线模型的一般定义，并推导了其基本性质。然后，在第3.3节中，将这种一般设置专门化为典型设置，其中，通过短期利率建模的OIS银行账户给出了金额。第3.4节显示了我们的设置与现有多曲线模型之间的关系，这些模型由一个有效的过程驱动。3.1. 一个有效流程的初步研究。设V是一个有限维实向量空间，具有相关的标量积h·，·i。我们用D表示V的一个非空闭凸子集，它将作为下面引入的随机过程的状态空间，具有Borelσ-代数B。状态空间的典型选择用D表示∈ {Rd，Rd+，Sd+}或其组合，对于某些d∈ N、 其中，Sd+表示对称d×d正半限定矩阵的锥。关于过滤概率空间(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 Q）在满足通常条件的情况下，我们引入了astochastic过程X=（Xt）0≤T≤T、 从属于ofD内部的初始值X=X开始。假设过程X是一个适应的、时间齐次的、保守的马尔可夫过程，取D中的值，我们用{pt:D×BD表示→ [0, 1]; T∈ [0，T]}它的传递核族。

我们将setsUT与流程X相关联：=ζ ∈ V+iV:E呃ζ，Xti< +∞, 尽管如此，t∈ [0，T]U:=UT。（3.1）让D:={（t，ζ）∈ [0，T]×（V+iV）：ζ∈ 首先，我们定义如下一类有效流程。定义3.1。马尔可夫过程X=（Xt）0≤T≤如果（i）它是随机连续的，即过渡核满足lims，则称为有效→tps（x，·）=pt（x，·）弱于D，对于每（t，x）∈ [0，T]×D；（ii）其傅里叶-拉普拉斯变换对初始状态具有指数依赖性，即存在函数φ：D→ C和ψ：D→ V+iV，对于每个初始值x∈ D和for every（t，u）∈ D、 它认为e[ehu，Xti]=ZDehu，ξipt（x，Dξ）=eφ（t，u）+hψ（t，u），xi。（3.2）备注3.2。（i） 定义3.1与通常对一个函数过程的定义略有不同，在这个过程中，假设指数函数形式（3.2）仅适用于一组有界指数。事实上，在大多数理论工作中，一个函数过程的定义仅指特征函数或拉普拉斯变换（对于圆锥中的值过程）。然后出现了一个自然的问题，即在我们对D的表示法中，指数函数形式是否可以扩展到特征函数或拉普拉斯变换之外。在[42]中，在一般假设下，这一重要问题得到了肯定的回答，因此，我们修改了经典定义。特别是，鉴于[42，引理4.2]，它认为=ζ ∈ V+iV:E呃ζ，XTi< +∞, 尽管如此，T∈ [0，T]。（ii）以牺牲更大的技术性为代价，我们的设置可以扩展到在一般（可能是非凸）状态空间中取值的有效过程。

然而，定义3.1中考虑的一类过程非常丰富，足以涵盖任何实际兴趣的多曲线模型。affine性质（3.2）和查普曼-科尔莫戈罗夫方程意味着函数φ和ψ具有半流动性质，即对于每一个u∈ U和t，s∈ [0，T]与s+T≤ T、 如果D=Sd+和x，y∈ Sd+，标量积由hx给出，yi=Tr[xy]，Tr[·]是跟踪算子。仿射多收益率曲线模型φ（t+s，u）=φ（t，u）+φs、 ψ（t，u）,ψ（t+s，u）=ψs、 ψ（t，u）.（3.3）根据[21，定理7]（参见[44，定理4.3]，在D=Rn+×Rd的情况下，有效过程X的随机连续性也意味着其规律性-n、 对一些人来说∈ 在d=Sd+的情况下，{0,1，…，d}和[18，命题3.4]，在导数（3.4）F（u）的意义下：=φ（t，u）Tt=0+和R（u）：=ψ（t，u）Tt=0+存在，并且在u=0时是连续的。规律性意味着可以区分关于t的半流关系（3.3），并在t=0时对其进行评估，从而获得以下广义Riccati方程组φ（t，u）t=Fψ（t，u）, φ（0，u）=0；ψ（t，u）t=Rψ（t，u）, ψ（0，u）=u∈ U.我们陈述了以下结果（见[41，定理4.10]），这将对我们设置的某些特定情况有用。我们参考[38]了解有效过程和Vand Vtwo实向量空间的不同特征的概念。引理3.3。设X=（X，X）是一个有效的过程，在形式为D=D×D的状态空间中取值 V×V，初始值X=（X，X），使得微分特性几乎依赖于X。

然后就有函数∧φ：D→ C和|ψ：D→ V+V，这样，将来（t，u，u）∈ D、 它认为Ehehu，Xti+hu，Xtii=e|φ（t，u，u）+h|ψ（t，u，u），xi+hu，xi。采用满足引理3.3假设的有效过程的典型例子有短期利率模型（见第3.3节）和有效随机波动率模型（见[17，第5章]）。3.2。多曲线模型的定义和一般性质。如第2.2节所述，我们的一般设置假设存在一个num’eraire鞅测度偶（B，Q），这意味着每个交易资产的B-贴现价格是一个Q-鞅。还记得我们将OIS零息债券和FRA合同视为所有最到期债券的基本交易资产∈ [0，T]对于一组有限的基音{δ，…，δm}，δ<…<δm，对于某些m∈ N.让X=（Xt）0≤T≤t在状态空间D中取值的有效过程 V根据测量，我们现在可以给出一个有效的多曲线模型的一般定义。定义3.4。设u=（u，u，…，um）是一系列函数ui:[0，T]→ V，i=0，1，m、 这样的u（t）∈ Utand用户界面（t）+u（t）∈ Ut，对于每一个i=1，m和t∈ [0，T]和v=（v，v，…，vm）函数族vi:[0，T]→ R、 i=0，1，m、 如果（i）数值过程满足度（3.5）对数Bt=-v（t）- 胡（t），Xti，为了所有的t∈ [0，T]；（ii）所有t的点乘法价差的对数{Sδi（t，t）；i=1，…，m}满足度（3.6）对数Sδi（t，t）=vi（t）+hui（t），Xti∈ [0，T]和i=1，m、 8 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto根据num’eraire鞅测度偶（B，Q）和三元组（X，u，v）的选择，可以从当前的一般设置中获得不同的建模方法。

例如：o如果选择num’eraire资产B作为OIS银行账户，Q是相应的（即期）鞅度量，B通过OIS短期利率r=（rt）0建模≤T≤T、 然后，定义3.4嵌入了一个有效的框架，用于建模OIS短期利率和乘法利差。本规范将在第3.3节中详细分析（与第3.4.1节进行比较）如果将到期日为T的OIS零息票债券选择为num'eraire，而Q是T-ForwardMeasures，则定义3.4将产生最近引入[32]的多曲线伦敦银行同业拆借利率模型的扩展（见第3.4.2节）如果Q是物理概率度量，B被选为增长最优投资组合（根据利率建模基准方法的精神，参见[8,56]和[55]），或者更一般地说，作为一种状态价格密度（最近在rational多曲线模型[16,24,53]中考虑），然后，定义3.4引入了多条曲线的真实建模方法。一个有效的多曲线模型可以为OIS债券价格和乘法读数提供一个易于处理的结构。更准确地说，一个有效的多曲线模型可以通过OIS债券价格和利差的指数形式来描述。为此，让我们给出以下定义。定义3.5。如果（i）OIS零息票债券的B贴现价格满足（3.7）B（t，t）Bt=exp，那么a fiffine过程X可以生成指数形式的OIS债券价格和价差A（t，t）+hB（t，t），Xti, 对于所有0≤ T≤ T≤ T、 对于某些函数A:[0，T]×[0，T]→ R和B:[0，T]×[0，T]→ V和（ii）乘法扩散满足（3.8）Sδi（t，t）=expAi（t，t）+hBi（t，t），Xti, 对于所有0≤ T≤ T≤ T、 对于某些函数Ai:[0，T]×[0，T]→ R和Bi:[0，T]×[0，T]→ V，对于所有i=1。

，m.以下命题提供了一个有效的多曲线模型的特征，从而表明定义3.4等同于定义3.5。提议3.6。让X成为一个有效的过程。如果（X，u，v）是一个有效的多曲线模型，那么X以指数形式生成一个有效的OIS债券价格和价差，以及函数Ai，Bi，i=0，1，m、 出现在（3.7）-（3.8）中的是（3.9）A（t，t）=v（t）+φT- t、 u（t）,B（t，t）=ψT- t、 u（t）,Ai（t，t）=vi（t）+φT- t、 ui（t）+u（t）- φT- t、 u（t）,Bi（t，t）=ψT- t、 ui（t）+u（t）- ψT- t、 u（t）,对于所有0≤ T≤ T≤ T和i=1，m、 其中φ和ψ表示定义3.1中x的特征指数；仿射多收益率曲线模型9（ii）相反，如果X以指数形式生成OIS债券价格和价差，那么（X，u，v）是一个有效的多曲线模型，其中函数ui，vi，i=0，1，m、 由（3.10）v（t）=A（t，t），u（t）=B（t，t），vi（t）=Ai（t，t），ui（t）=Bi（t，t）给出∈ [0，T]和i=1，m、 证据。首先假设（X，u，v）是一个有效的多曲线模型。然后，根据命题2.4，OIS债券价格由B（t，t）Bt=E给出英国电信英尺= Ehev（T）+hu（T），XTiFti=ev（T）+φ（T-t、 u（t））+hψ（t）-t、 u（t）），Xti，其中最后一个等式来自（3.2）以及假设u（t）∈ UT（另见第3.2节）。这证明了表示法（3.7）适用于给定asin（3.9）的函数A和Bbeing。同样地，命题2.4和假设ui（T）+u（T）∈ UT，为了每个人∈ [0，T]和i=1。

表示乘法扩散满足δi（t，t）=EQT[Sδi（t，t）Ft]=EQThevi（T）+hui（T），XTiFti=BtB（t，t）Ehevi（t）+v（t）+hui（t）+u（t），XTiFti=evi（T）+φ（T-t、 ui（t）+u（t））-φ（T）-t、 u（t））+hψ（t）-t、 ui（t）+u（t））-ψ（T）-t、 u（t）），Xti，从而表明表示（3.8）与函数A和Bi保持一致，如（3.9）所示。相反，假设X以指数形式生成了一个有效的OIS债券价格和价差。然后，永远∈ [0，T]，让T=T在（3.7）-（3.8）中，并回顾B（T，T）=1，它紧跟着log Bt=-A（t，t）- hB（t，t），Xti和logsδi（t，t）=Ai（t，t）+hBi（t，t），Xti。定义（3.10）中的功能和过孔，这证明了表述（3.5）-（3.6）是正确的。还有待证明u（T）=B（T，T）∈ UTand ui（T）+u（T）=Bi（T，T）+B（T，T）∈ 永远∈ [0，T]和i=1，m、 这源于命题2.4，因为Ehehu（T），XTii=e-v（T）E英国电信= E-v（T）B（0，T）<+∞,鄂合会（T）+u（T），XTii=e-vi（T）-v（T）ESδi（T，T）BT= E-vi（T）-v（T）B（0，T）EQT[Sδi（T，T）]=e-vi（T）-v（T）B（0，T）Sδi（0，T）<+∞.连同备注3.2，这意味着u（T）∈ UTand用户界面（T）+u（T）∈ UT，尽管如此∈ [0，T]和i=1，m、 从而证明（X，u，v）是一个有效的多曲线模型。特别是，命题3.6意味着一个有效的多曲线模型允许所有线性利率衍生品（即FRA合约、利率掉期、隔夜掉期和基础掉期）的明确估值公式，因为它们的价格总是可以用OIS债券价格和乘数来表示，详见附录a.1。对多条曲线建模时的一个主要问题在于，当乘法读数大于1时，以及在典型的市场情景中，乘法读数的顺序与期限长度有关时，对其进行表征。

为此，我们可以得出以下结果（与[19，推论3.17]进行比较）。提案3.7。设（X，u，v）为一个有效的多曲线模型。假设进程X的形式为X=（X，Z），取状态空间D=DX×CZ中的值，其中CZ为锥。假设克里斯塔·库奇罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺阿托维（t）≥ 0，尽管如此∈ [0，T]以及函数ui的形式为ui=（0，wi）和wi:[0，T]→ C*Z、 C在哪里*Zdenotes CZ的双锥，对于所有i=1，m、 然后Sδi（t，t）≥ 1代表所有人0≤ T≤ T≤ 坦迪∈ {1，…，m}。此外，如果加上v（t）≤ v（t）≤ . . . ≤ vm（t）和w（t） w（t） . . .  wm（t），对于所有t∈ [0，T]，带有 表示C上的偏序*Z、 然后它认为是δ（t，t）≤ Sδ（t，t）≤ . . . ≤ Sδm（t，t），对于所有0≤ T≤ T≤ T.证明。该断言是命题2.4的直接结果，指出过程（Sδi（t，t））为0≤T≤这是一个QT鞅，对于每一个i=1，m和T∈ [0，T]。因此，对于所有t，它满足δi（t，t）=EQT[Sδi（t，t）| Ft]=EQT[evi（t）+hwi（t），ZTi | Ft]∈ [0，T]。除了通过有效流程确保的建模灵活性和可处理性外，这种生成大于1且按期限长度排序的排列的功能代表了通过（3.6）指定乘法排列的主要优势之一。定义3.4中出现的函数族v=（v，v，…，vm）总是可以通过一种方式进行选择，以自动实现对初始观察到的OIS债券价格和乘数利差的期限结构的精确拟合。我们用BM（0，T）表示初始日期T=0时在市场上观察到的到期日为T的OIS零息债券的价格，同样地，用SM表示，δi（0，T）表示在T=0时在市场上观察到的期限δi的倍数价差，对于i=1，m和T∈ [0，T]。