限价订单簿的马尔可夫模型：阈值、递归和

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英文标题：
《A Markov model of a limit order book: thresholds, recurrence, and
  trading strategies》
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作者：
Frank Kelly and Elena Yudovina
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We analyze a tractable model of a limit order book on short time scales, where the dynamics are driven by stochastic fluctuations between supply and demand. We establish the existence of a limiting distribution for the highest bid, and for the lowest ask, where the limiting distributions are confined between two thresholds. We make extensive use of fluid limits in order to establish recurrence properties of the model. We use the model to analyze various high-frequency trading strategies, and comment on the Nash equilibria that emerge between high-frequency traders when a market in continuous time is replaced by frequent batch auctions.
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中文摘要：
我们分析了在短时间尺度上的一个可处理的限价订单模型，其中的动态是由供需之间的随机波动驱动的。我们证明了最高出价和最低ask的极限分布的存在性，其中极限分布被限制在两个阈值之间。我们广泛使用流体极限来建立模型的递推性质。我们使用该模型分析了各种高频交易策略，并对高频交易者之间在连续时间的市场被频繁的批量拍卖所取代时出现的纳什均衡进行了评述。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_Markov_model_of_a_limit_order_book:_thresholds,_recurrence,_and_trading_strategies.pdf (526.83 KB)

2022-5-8 00:53:32 上传

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关键词：马尔可夫 distribution Quantitative Differential Applications

限价指令簿的马尔可夫模型：阈值、重复和交易策略Frank KELLY和ELENA Yudovinabstract。我们分析了短时间范围内的限制订单簿的可处理模型，其中动态由供需之间的随机波动驱动。我们建立了最高出价和最低ask的限制分布的存在性，其中限制分布限定在两个阈值之间。我们广泛使用流体极限，以建立模型的重现性。我们使用该模型分析了各种高频交易策略，并对高频交易者之间在连续时间内的市场被频繁的批量拍卖所取代时出现的纳什均衡进行了评述。1.导言。限价指令簿（LOB）是单一商品市场的一种交易机制。作为价格形成的模型，这一机制对经济学家来说具有重大意义。它也被用于许多金融市场，并产生了广泛的实证和理论研究：最近的一项调查，见[11]。金融市场LOB的详细历史数据鼓励模型能够复制这些市场的观察统计特性。不幸的是，增加的复杂性通常会降低模型的分析可处理性，而且，除了相对较少的例外，此类模型都是通过模拟或数值方法来探索的。本文的目的是分析一个简单易处理的LOB模型，由[22]提出，由[16]和[19]独立提出。该模型的基本形式明确排除了现实世界市场的一些重要特征。

然而，我们将看到，从该模型中，可以在高频交易策略的结构上获得一些非琐碎且深刻的结果。此外，该模型对短时间内竞争激烈、交易量大的市场有着自然的解释，其中排除的特征可能不那么重要。我们认为，该模型可能有助于讨论市场设计，作为一个例子，我们使用该模型来评论当连续时间的市场被频繁的批量拍卖所取代时，高频交易者之间出现的纳什均衡。为了激励模型，考虑一个只有两类参与者的市场。首先，长期投资者出于模型之外的原因下订单，他们认为市场有效地满足了他们的目的，并且他们不会从战略上屏蔽他们的订单。这种长期投资者的供求之间的暂时不平衡将导致价格波动，即使在缺乏有关基础资产基本面的任何新信息的情况下也是如此。我们的第二类参与者，即高频交易员，试图通过在长期投资者之间提供流动性，从这些价格波动中获益。在实践中，我们应该预期这两个极端之间会出现一系列行为。只有长期投资者和高频交易者的极端情况显然是一幅漫画，但我们将看到，它确实允许我们分析各种高频交易策略（例如做市、狙击和这些策略的混合）以及它们之间的纳什均衡。接下来，我们将以一个只涉及长期投资者的例子来描述LOB模型，并概述我们在这个例子中的结果。出价是购买一个单元的命令，而询问是出售一个单元的命令。每个人都有一个价格，一个真实的数字。

假设出价和要价作为单位价格的独立泊松过程到达，与出价相关的价格，分别为要价，是密度分别为fb（x）和fa（x）的独立同分布随机变量。如果到达的出价低于LOB中的所有请求，则将其添加到LOB中，或者将其与最低请求匹配，然后两者都离开。同样，如果到达请求高于LOB中的所有出价，则将其添加到LOB中，或者第二作者的研究得到了NSF研究生研究奖学金和NSF拨款DMS-1204311的部分支持。例如，管理他们的投资组合。即使提供了相同的信息，投资者的偏好和估值也可能有所不同，这会从交易中创造潜在收益。与最高出价匹配，两人都离开。因此，t时刻的LOB是一组出价和请求（以及它们的价格），我们的假设暗示LOB是一个马尔可夫过程。对于这个模型，我们证明了存在一个具有以下性质的阈值κb：对于任何x<κb，有一个有限的时间，在此时间之后，没有小于x的到达出价被匹配；对于任何x>κb事件，LOB中没有大于x的出价是经常发生的。类似地，当方向不相等时，存在一个相应的阈值κafor asks。此外，还有一个密度πa（x），分别为πb（x），由（κb，κa）支撑，给出LOB中最低ask，分别为最高出价的极限分布。密度πa，πb解方程（1a）fb（x）Zκaxπa（y）dy=πb（x）Zx-∞fa（y）dy（1b）fa（x）Zxκbπb（y）dy=πa（x）Z∞xfb（y）dy.作为一个具体的例子，如果fa（x）=fb（x）=1，x∈ （0,1），然后κa=κ，κb=1- κ、 πa（x）=πb（1）- x） 和（2）πb（x）=（1）- κ)x+对数1.- xx, 十、∈ (κ, 1 - κ） 其中κ的值如下所示。设w为wew=e的唯一解-1：那么w≈ 0.278和κ=w/（w+1）≈ 0.218.

注意，任何fa=fB的例子都可以通过价格轴的阿莫诺通变换简化为这个例子。使用科尔莫戈罗夫的0-1定律，具有所声称属性的阈值的存在是一个相对简单的结果。为了使声称的分配结果精确，主要的挑战是建立某些分箱模型的正回归：例如，当价格只记录到小数点后的有限位数时，这种模型自然产生。考虑到复发的强烈概念，方程式（1）背后的直觉是直截了当的：在平衡状态下，方程式（1a）的右侧是LOB中的最高出价在x处，并且与aprice小于x的到达ask匹配的概率，左边是LOB中最低要求大于x，且到达的出价以x的价格进入LOB的概率；这些必须平衡，一个关于最低要求的类似论点可以得出等式（1b）。为了建立装箱模型的正递推，我们广泛使用流体极限（见[2]），这是排队网络研究中的一项重要技术。到目前为止，我们所描述的订单被称为限价订单，以区别于要求以最佳可用价格立即完成的市场订单。市场订单可以直接包含在模型中：在刚才描述的特定示例中，我们只需将价格1或0分别与市场出价或市场要价关联。随着市场报价比例接近临界阈值，w≈ 0.278在上面的例子中，极限分布πa，πb的支持增加到接近整个区间（0，1）：高于阈值，模型预测LOB中不存在最高出价或最低出价的周期。

对于fa=fb的任何例子，在相同的临界阈值W下，这个结论必然成立。LOB是双边排队的一种形式，对它的研究至少可以追溯到[12]的早期论文，该论文将出租车和旅客同时到达的出租车停靠站建模为对称随机行走。最近的理论进展涉及不同类型的服务器和客户，以及服务器和客户之间可行匹配的限制，应用范围从大型呼叫中心到器官移植的全国等待名单（参见[1,23,27]）。我们对LOB模型的兴趣部分是由于在这个特定应用中匹配的简单性：类型作为实变量是完全有序的，因此当一个错误的顺序可以匹配时，匹配是唯一定义的。接下来，我们将对LOB的上述基本模型中缺少的现实世界市场的几个重要特征进行评论。我们假设（来自投资者的）订单从未被取消，订单的到达流及其价格不取决于LOB的状态。这些假设对于我们的长期投资者来说可能是很自然的，他们认为市场有效地满足了他们的需求。这些假设，以及到达流平稳性的相关假设，对于高交易量市场来说可能也是自然的，因为在高交易量市场中，可能会有大量交易活动，甚至是在没有关于基础资产基本面的新信息可用的加班期。

从数学上讲，该模型可以被视为假设在模型中表示的交易时间尺度和基本面发生变化的较长时间尺度之间存在分离。假设所有阶数都是针对单个单元的，这在数学上对推导公式（1）很重要；从经济角度来看，它对应于一个竞争市场的假设，投资者不需要考虑订单规模对市场的影响。我们注意到，长期投资者在执行大额订单时可能会试图采取被动态度，以避免价格对其不利，方法是根据市场的成交量来分配订单；见[8]。然后，随着秩序的传播，自然问题就结束了，模型可以在这里提供见解。然而，我们注意到，当大型投资者完成订单所需的时间增加时，我们对交易时间尺度和基本面变化时间尺度之间的分离的假设，即我们对到达流平稳性的假设，可能不再成立。在参与者相对较少且规模较大的市场中，可能需要采取其他方法；有关补充大型战略投资者订单的交易协议的讨论，请参见[7]。市场可能包含长期投资者以外的交易员，目前对LOB高频交易的影响有相当大的兴趣。重要的是，许多高频交易策略在模型中是向前延伸的，因为能够对LOB中的订单立即做出反应的交易者可能会保持马尔可夫结构不变。

首先考虑以下针对单个高频交易者的狙击策略：她立即以高于q的价格购买加入LOB的每个出价，以及以低于p的价格购买加入LOB的每个ASK，其中选择p和q来平衡这些购买的利率。该模型直接适用于我们的框架，我们展示了如何计算高频交易者常数p和q的最佳值。一个交易者可能会表现为做市商，在p和q分别下有限数量的买入、卖出、订单，其中κb<p<q<κA。我们再次能够分析这种情况。狙击策略下的最优利润率可能会超过做市策略下的最优利润率：在上述特定示例中，fa（x）=fb（x）=1，x∈ （0,1），描述了长期投资者的订单流。但第三种策略结合了做市和狙击，通常会击败这两种策略。该模型还允许我们轻松探索当多个高频交易者使用做市或狙击策略进行竞争时出现的均衡。最近，关于多个高频交易者之间竞争的影响，以及旨在放缓市场的提议，已经有了相当多的讨论。一个关键问题是，高频交易者可能会在抢单的速度上进行浪费性的竞争，作为监管部门的回应，Budish等人[3,4]建议用频繁的批量拍卖来取代连续时间的市场，这种拍卖可能每秒举行几次。当有多个高频交易者使用造市和狙击的混合物进行竞争时，我们考虑连续和批量市场中的纳什均衡。做市商之间的竞争降低了报价和交易者的利润率，无论市场是连续的还是批量的。

批量市场中狙击交易者之间的竞争导致了一个纳什均衡，交易者狙击高于、分别低于中心价格的出价；成批交易市场的交易者利润率略低于连续交易市场。狙击策略之间的竞争会产生大量被取消的订单，因为如果策略尝试狙击到达的订单失败，那么策略会立即取消自己的订单。真实LOB数据的一个不稳定特征，即相当大比例的订单立即被取消[11]，因此，这是对模型的推断，而不是假设。[22]在其关于证券市场监管的开创性工作中首次提出了该模型的离散版本，该模型由[16]和[19]独立引入。以平稳性为假设，[16]对模型进行了广泛的分析；我们的方程（1）可以从[16，命题1]中推导出来，假设稳态行为，将时间导数设置为零。我们的贡献是确定阈值κa，κ带的存在，以证明一个足够强的递归概念，从而证明方程（1）背后的直觉。之前的研究在数学框架上与本文报道的类似，是由Cont和合著者[6,5]，Simatos和合著者[21,14]在Lakner等人[15]的基础上进行的，以及Toke[25]：正如我们所做的那样，这些作者将LOB描述为交互队列的马尔可夫系统，并且能够获得各种感兴趣量的分析表达式。在[6,5,15,21,14]的模型中，任何给定价格下的订单到达率取决于价格高于或低于当前最佳报价的程度；[15,21,14,25]的模型是片面的，因为所有的出价都是限价订单，所有的询价都是市场订单。高等。

[10] 研究[6]模型中LOB形状在标度极限下的时间演化。Maglaras等人[17]研究了一个分散的单边市场，在这个市场中，交易者可以将订单发送到几个交易所之一。Lachappelle等人[13]在Ro,su[20]的基础上，使用了不同的数学框架，即平均场游戏，但与我们的方法有一些重要的特点。特别是，这些作者区分了决策独立于LOB即时状态的机构投资者和因LOB即时状态而进行交易的高频交易员。[5]和[13]的模型仅在最佳出价和最佳askprices下保留关于队列大小的详细信息；[6] 与我们的方法共享整个LOB的马尔可夫描述。在许多市场微观结构文献中，LOB的特征，如较大的买卖价差，被解释为参与者保护自己不受其他拥有高级信息的人影响的结果。虽然这显然是现实世界市场的一个重要方面，但我们注意到，这些功能也可能来自更简单的模型。在我们的方法中，LOB动态的驱动力，如[13,20]所示，不是对称信息，而是供需之间的随机波动。论文的组织结构如下。在第2节中，我们精确地描述了模型和我们的主要结果。第3节阐述了第4节给出的证明所需的模板。在第5节中，我们描述了我们的结果的一些应用：这一节包含我们对市场订单、高频交易策略和纳什均衡的讨论。2.