违约风险下的一般动态期限结构

tpr0，ts，它认为，\'\'apt，tq\'\'αpt，tq\'\'bpt，tq\'\'βpt，tq\'\'pgpT quqact`PψuP，pYpT q，Hqqact“0；（v）对于所有0dtdtdt，它认为ztgps，sqdνs\'pgpT quqsgt`pψup，pYpT q，Hqqsgt“λt。由于设置的普遍性，定理3.4中给出的条件相当复杂。然而，正如我们现在要解释的，它们中的每一个都有一个精确的财务解释，类似于命题3.3的情况。这些条件将在第3.4节中结合几个实例和实际感兴趣的特殊情况进行进一步讨论。一般动态期限结构定理3.4中的违约风险11条件（i）要求信用风险债券累积的瞬时收益率fpt，tq`gpt，tqm等于无风险利率Rt加上ht给出的违约风险补偿项，该补偿项对应于违约补偿器Hp绝对连续部分的密度（见引理2.1）。因此，该条件类似于命题3.3中的条件（i）。条件（ii）是默认补偿器HP1的跳跃与引理2.5中引入的过程¨u的跳跃之间的精确匹配条件。特别是，让可预测时间puiqip表示Hp的跳跃时间，条件（ii）意味着Pω，tqpOhm ^r0，Ts:gpω；t、 tqutpωq‰0（“pω，tqpOhm ^r0，Ts：Hptpωq‰0（“dipnruiss.（3.7）由于可预测时间puiqipn与可能的违约日期（即Qpτ”UidTqa0，对于所有i P N）相关，且¨u的跳变对应于“风险日期”，关系（3.7）意味着“假警报”（即不存在违约可能性的日期被宣布为风险日期的可能性）不会发生。

此外，观察条件（ii）意味着，为了排除套利，信用风险期限结构必须在违约补偿的跳跃时间puiqipno处表现出到期的不连续性。换句话说，信用风险债券的价格在风险日期的对应关系中必须是不连续的（回想一下“ut”upr0，Ts^ttuq，用于所有P r0，Ts）。该条件类似于命题3.3中的条件（ii）。条件（iii）要求有关未来风险日期的新信息的总体影响在可预测的时间内驱动，且不与默认事件重合。这可以通过重写等价形式的条件（iii）来理解。”pψup，pYpT q，Hqqt“egpt，tqutApT qtzR^t0，1PE\'y\'1qp1\'zqKpT qpt；dy，dzq“E”egpt，tq“ut`e”YpT qt'1'1'HtiddsTtgpt，uqupttu^duq\'1\'1\'HtˇFti0，其中我们使用了[33，§II.1.11]和过程pgpt，tqq0dtdanddu的可预测性。请注意，如果过程YpT qi是准左连续的，对于每个pR0，Ts（参见[33，推论II.1.19]），这个条件总是满足的。条件（iv）表示对经典HJM漂移条件的常规默认设置的扩展。该条件类似于命题3.3中的条件（iii）。让我们分解ψpω；t、 y，zq“egpω；t，tqutpωq\'e\'y\'1egpω；t、 tq“utpωqz`e\'y\'1”：ψp1qpω；t，yq\'ψp2qpω；t，y，zq，因此（3.8）ψup，pYpT q，Hq“ψp1qup，YpT qp2qp，pYpT q，Hq，其中up，YpT qi是跳跃测量的补偿器uYpT qof YpT q，对于tp r0，Ts。

术语ψp1qup、YpT q和gpT qu表示对在时间t收到的有关未来时间段pt，ts违约可能性的信息的补偿，而术语ψp2qup、pYpT q、hqaccount表示新闻同时到达违约事件的可能性。最后，条件（v）将缺省补偿器hp12的连续奇异部分λ与（2.2）中的CLAUDIO FONTANA和THORSTEN SCHMIDTspt，T sgpt，uqutpduq的半鞅分解中出现的连续奇异过程联系起来。还请注意，利用（3.4），条件（v）中出现的术语pψup，pYpT q，Hqqsgt可以等价地重写aspψup，pYpT q，Hqqsgt“ztzR^t0,1upe\'y\'1qp1\'zqpt qps；dy，dzqdApT q，sgs.备注3.5（关于可预测违约的不可能性）。定理3.4的条件（ii）暗示：Hpta1 a.s.，自术语gpt，tq起，适用于所有TPR0，Ts“这是一个特别的名字。特别是，这意味着默认时间τ不能是可预测的时间（在[33，定义I.2.7]的意义上）。直观地说，很清楚为什么可预测的违约时间与形式（2.2）的无套利期限结构不兼容，前提是对于所有0dTdTdTdT，sTtfpt，uqduspt，T sgpt，uqutpduqa8 a.s。实际上，如果τ是一个具有QpτTdT q0的可预测时间，对于一些tpr0，Ts，那么基本策略“1rrτdTduwt”将实现套利机会，因为Pτ，T q“0和Pτ，T qa0保持TτdT u。这与一个事实有关，即没有必要的套利排除了在可预测时间发生的可预测大小的跳跃（见[22]）。然而，请注意，这个论点只排除了默认时间τ是可预测时间的情况，但不排除τ可以以严格正（但不是单位）发生的情况可预测时间的概率（即τ可以是一个可访问的时间，见[29，定义3.34]）3.4。

特殊情况。在本节中，我们将介绍practicalinterest定理3.4的几个特例。第3.6节给出了与现有文献相关的更多示例。我们从以下简单引理开始，它表明定理3.4的条件（iii）-（iv）-（v）可以在关于新闻到达过程的一个相当温和的附加假设下简化，该假设由随机度量u编码。引理3.6。假设假设2.4和2.6成立，并进一步假设（3.9）u`ttu^r0，TsHt“0 a.s.对于所有的tpr0，Ts.那么，定理3.4的条件（iii）-（iv）-（v）中出现的术语ψuP，pYpT q，hqa与（3.8）中引入的术语ψp1quP，YpT qin对于每个tpr0，Ts.尤其是回顾分解（3.8），这个引理表明，术语ψp2qup，pYpT q，hqo仅起到补偿同时到达defaultevent的新闻风险的作用。条件（3.9）可以等效为“新闻无默认”条件。从实际应用来看，这当然是一个合理的假设。3.4.1. 整值随机测度。我们现在考虑条件（3.9）成立且随机测度upds，duq为整数值的情况。如第3.2节所述，该额外假设对应于以下情况：在每个日期t，在该日期到达的新信息仅涉及未来时间段pt，ts中的一个时间点（可能的“风险日期”），见等式（3.1）。从实际应用的角度来看，这种情况仍然非常普遍，如下面的推论3.7所示，允许对定理3.4进行大量简化。

特别是，命题3.3是推论3.7的直接结果。回想第3.2节，对于整数值随机测度upds，r0上的duq，Ts^r0，ts2.4，存在一个稀疏的随机集D“TnPNrrσnss和相关的随机变量pτnqnPN，其中τnis Fσn-可测量和τnaσn，这样表示（3.1）成立。显然，条件（3.9）成立的条件是且仅当所有n p n的Qpτ“σnq”为0。根据[33，定理II.1.8]，补偿器uppds，duq ofupds，duq允许形式uppω；ds，duq的分解“fpω，s；duqdJspωq，违约风险下的一般动态期限结构，其中J”pJtq0dtd是一个递增可积可预测过程，而fpω，s；duq是pOhm ^r0、Ts、Pq分为pr0、Ts、Bpr0、Tsqq。推论3.7。假设假设2.4和2.6成立，并且假设条件（3.9）成立，并且随机度量upds，duq是整数值。然后，概率测度EQ是tpP pt，T qq0dTdT的局部鞅测度；TPR0，Tsu与Xif有关，且仅当以下条件成立时：（i）f pt，tq“rt`ht，代表Lebesgue-a.e.TPR0，Ts；（ii）THp‰0uDTNPNRτnss和Hpτn“1\'e\'gpτn，τnq，对于所有的npn；（iii）Jtspt、T spesgpt、uqs1qF pt；duq“0，对于所有的0dtdtdt；（iv）对于所有的TPR0、Ts和Lebesgue-a.e.TPR0、Ts，它认为'apt、Tq''αpt、Tq''bpt、Tq'βpt、Tq'JactzTtpe'gpt、uq'1qF pt；duq“0；（v）对于所有λt351PS、t spe gps、uq''1qF ps；DuqdJSG，对于所有的λtdt当且仅当补偿度量upadmit指定一个单数部分（上述推论的条件（v））时，默认补偿器HP可以有一个单数部分λ。

此外，条件（i）简单地要求无风险远期利率fpt、tq的短端等于无风险利率RTR加上违约风险的瞬时补偿Ht。还要注意，在上述推论中，必要和有效条件的制定不需要引入辅助跃变度量up，pYpT q，Hq。此外，如果补偿器的相位为uppd，duq“ξspduqds，对于某些正有限测度ξspduq（例如，当u是齐次泊松随机测度时，请参见[33，定义II.1.20]），如果λ“0.鉴于这些观察结果，命题3.3是上述推论的一个特例。定理3.4允许恢复[25]中最初考虑的两个特例。下面的第一个循环考虑了一个易于处理的设置，其中有一个有限的pτnqn“1，…，Nof riskydates（在第3.2节中定义）违约可能以严格的正概率发生，且在之前的某个公告时间公开宣布的违约概率σn，1dndn。这一结果也可以看作是示例2.3的推广。推论3.8。假设假设2.6成立，并进一步假设（a）默认补偿器满足λ“0和tHp‰0u“TNi”1rrτiss，对于某些N P N，以及Hpτiis Fσi-可测，其中，pσiqi“1，…，是一系列严格递增的停止时间，使得σiaτia.s.，对于所有i”1，…，N；（b）upds，duq“Ni”1δtσi，τiupds，duq；（c）补偿器uphas的形式为uppds，duq”ξspduqds；（d）Qpτ“σiq”0，对于所有i“1，…，N.那么，概率测度Q是关于Xif的tpP pt，tqq0dTdT；tp r0，Tsu的局部鞅测度，并且仅当以下条件保持a.s.：（i）f pt，tq“rt`ht，对于Lebesgue-a.e.tp r0，Ts；（ii）Hpτi“1\'e\'gpτi，τiq，对于所有i”1。

. . , N（iii）对于所有的tpr0，Ts和Lebesgue-a.e.tpr0，Ts，它认为\'apt，tq\'\'αpt，tq\'}\'bpt，tq\'\'βpt，tq\'\'Tt\'e\'gpt，uq\'1ξtpduq“0.14克劳迪奥·丰塔纳和托尔斯滕·施密特3.4.2.广义默顿模型。在R.默顿在[44]中提出的开创性模型中，sizeK的债务必须在某个（确定性）日期ua0偿还。在[27,28]中，有人提出了对更复杂资本结构的扩展在这些情况下，信用结构可以通过指出0auaua到期的义务付款日期来合并。auN（此类信息通常是公开的）。显然，在tu，联合国大学。下面的推论涉及这个简单的设置，我们称之为广义默顿模型（另见[26]）。推论3.9。假设假设2.6成立，并进一步假设（a）默认补偿器满足λ“0和tHp‰0u“TNi”1ruiss，其中puiqi“1，…，Nisa确定性时间序列，对于某些npn；（b）upds，duq“rNi”1δp0，uiqpds，duq。那么，概率测度Q是关于Xif的tpP pt，tqq0dT；tp r0，Tsu的局部鞅测度，并且仅当以下条件保持a.s.：（i）f pt，tq“rt`ht，对于Lebesgue.e.tpr0，Ts；（ii）Hpui“1\'e\'gpui，uiq，适用于所有的ip N；（iii）apt，tq``αpt，tq\'}bpt，tq``βpt，tq}，适用于所有的tpr0，Ts和Lebesgue-a.e.tpr0，Ts。特别是，将推论3.8的条件（iii）与条件（iii）进行比较在推论3.9中，我们看到关于未来风险日期的新闻的到来没有补偿。这仅仅是因为，在推论3.9的假设下，所有风险日期都是在初始日期t“0.3.5.一般恢复计划时公开的。

到目前为止，我们已经考虑了一旦违约事件发生，信用风险债券就变得一文不值的情况。在本节中，我们借鉴了[3,4,10]中的观点，将上述框架概括为包括一般恢复计划，其中信贷风险债券应在一系列连续信贷事件中损失部分价值。在介绍一般理论之前，让我们考虑一下下面的例子。例3.10（市场价值的恢复）。考虑一个F适应的标记点过程pτn，enqnPN，这意味着pτnqnpn是停止时间，每个随机变量enis Fτn是可测量的。每超过一个时间τn表示信用风险债券损失其市场价值一小部分的违约时间。我们假设部分损失以r0表示，1s（与en“1”对应的零回收特例）。注意，根据[51]，违约损失可能不可预测，但在相应的违约时间τn已知。在此假设下（市场价值的部分恢复），信用风险债券价格的期限结构可以假设为formP pt，T q“ττndt`1\'enexp^zTtfpt，uqduzpt，t sgpt，uqutpduq˙，适用于所有0dtdt。在这种情况下，我们可以通过ξt”τndt`1\'en定义所有0dtdtdt的恢复过程ξ“pξtq0dtdt”http://graphics.wsj.com/greece-debt-timeline/《华尔街日报》收集的希腊债务结构。违约风险下的一般动态期限结构15请注意，恢复过程ξ已调整，从ξ“1开始，并逐渐减少。在这个例子中，受债券价格事实行为的强烈启发，恢复过程是分段恒定的。然而，在下面，我们将考虑一个更一般的结构。受上述例子的启发，让我们考虑一个一般的恢复过程ξ”pξtq0dtdt，以满足以下假设。

我们表示τ：“inftt P r0，Ts:ξt”0u。假设3.11。恢复过程ξ“Pξtq0dtd是一个具有ξ”1的自适应c`adl`ag递减非负过程，因此ξ“ξ1rr0，τr和ξτa0 a.s.假设3.11显然被实践中通常考虑的绝大多数恢复方案所满足。鉴于[29，定理9.41]存在一个c`adl`ag递减过程R“pRtq0dtdtdtdtdtdtdtd1dRd0，因此ξ“EpRq。我们用uR表示R的跳跃度量，用up表示Rits补偿器。由于R允许从左开始的极限，并且有有界跳跃，所以它是局部有界的，因此是特殊的。[33，推论II.2.38]然后暗示过程R允许标准表示RT“对于所有0dtdt，`xpuRdp，RqtdCt，其中pCtq0dtd是一个不断增加的可预测过程Ct“\'sr\'1,0sxup，Rptu^dxq，对于所有Tp r0，Ts.引入一般回收过程ξ”EpRq，我们将期限结构（2.2）扩展如下：Ppt，Tq“Eprqtep^zTtfpt，uqduzpt，Tsgpt，uqutpduq˙，适用于所有0dtdtdtdt.（3.10）本节的主要目的在于获得Q成为tpP pt，T qq0dTdT族的局部鞅测度的必要和充分条件；TPR0，关于thenum’eraire X“expps¨rtdtq，Tsu，从而将定理3.4扩展到一般恢复方案。让过程YpT qd定义为（3.3），对于每个tpr0，Ts，我们用upYpT q表示，与二维半鞅pYpT q，Rq相关联的跳跃测度，以及相应的补偿器uP，pYpT q，Rq。我们现在可以陈述以下定理。类似地，我们使用分解C“s¨Cacsds`Csg`r0asd¨Cs，其中Cac和Csgdenoting分别表示Cc的绝对连续部分和奇异部分的密度。定理3.12。假设假设假设2.4、2.6和3.11成立。

让ψ定义为（3.6）和gpT qpω；s、 uq：“1tudT ugpω；s，uq，对于所有tpr0，Ts。那么，概率测度Q是关于Xif的tpP pt，tqq0dT；tpr0，Tsu的局部鞅测度，并且仅当以下条件保持a.s.：（i）f pt，tq`gpt，tqmt”rt`Cactfor Lebesgue-a.e.tpr0，Ts；（ii）Ct“1’e’gpt，tqut，对于所有t P r0，Ts；（三）pψup，pYpT q，（iv）对于所有的t P r0、t s和Lebesgue-a.e.t t t P r0、t s，它认为，它认为“apt、t q（t q \'\'\'\'\'\'\'q\'\'\'\'TQ’αpt，t q\'q’αpt，t q（t q）q（t q）q（q）为所有的t q（t）为所有的t，t（t）q（t）q）为所有的t，t（t）为他们认为，t（t）为他们认为，t（t）为他们认为，t（t）为他们认为，t）为他们，t（t）为他们认为，t（t）为，t）为他们认为，t（t）为他们，t）为他们，t，t，t，q（q）为，t，q（q）为，t）为，q（q）为，t）为，t，t，q（q）为，q）为，为，为，为，燃气轮机“Csgt.对上述定理中所述五个必要和有效条件的解释与定理3.4.16克劳迪奥·丰塔纳和托尔斯滕·施密特3.6.相关文献的情况类似。正如引言中所述，信贷风险建模的两种经典方法是结构方法，从默顿[44]及其扩展[27,28]开始。”，以及简化形式的方法，在贾罗、兰多和特恩布尔[36,42]以及阿尔茨纳和德尔巴恩[2]的早期作品中介绍。这些方法在文献中共存了很长一段时间，但没有一种模型能够将它们连接起来（然而，关于连接结构模型和简化模型的基于信息的模型，请参见[11,35,23,24]）。近年来，结构模型和简化形式模型的一些特征已结合在混合模型中，如[6,7,43]中所述。特别是，在混合模型中，违约补偿具有绝对连续部分和不连续部分，因此再次显示了考虑违约发生在可预测时间对应的可能性的重要性。[1]中考虑的模型也显示了类似的行为。