违约风险下的一般动态期限结构

正如[25,37]所指出的，e1的故障。希腊按计划向国际货币基金组织（IMF）偿还50亿美元债务，以及阿根廷未能偿还290亿美元债务的息票，都是此类情况的突出例子。例2.3（令人惊讶的坏消息是主权信用）。考虑一个国家在最佳评级级别的信用。在正常情况下，这可以解释为在考虑的时间范围内没有违约风险（即τ“`8）然而，该国可能会遭遇意外事件，可能是灾难、市场崩溃或其他未经思考的风险。假设有关该风险的消息在随机时间S到达。下一次预期的信用证付款将在某个随机时间UaS到期，我们表示p r0，1s错过付款的概率。因此τ“$&%U的概率为p；`8的概率为1`p。让过滤G”pGtq0dtdTbe由过程p1tSdtup1`Uqq0dtdt生成，适当地增强。过滤F”pFtq0dtdtdt是通过G与τ的逐步放大得到的，即Ft“asatpGsdpτsqq”，对于所有的0dtdtdtdt。然后，关于ttaSu，没有额外的信息，因此τ“`8具有概率1\'pq。因此，对于所有的APbpr0、TsqTt`8u、ttaSuQpτpa | Gtq”1taSu QpU QpU pa | Gtq`p1\'pqδpAq\'\'1taSu QpU Aq`p1\'pqδpAq\'。否则，在ttěSu上，风险日期U是可测量的，因此ttěSuQpτpaGtqQpU A | Gtq | 1těqpδpAq |以及[14]中的公告[31].6克劳迪奥·丰塔纳和托尔斯滕·施密特在a点对应的狄拉克测度上做了δ调整。这个例子可以通过让upds，duq“1rrS，`8rrpdsqδUpduq包含在我们的框架中。为了简单起见，假设随机变量U有一个密度，因此QpUaT | Uatq可以写成关于勒贝格测度的积分。

然后，（2.2）之后的信用风险债券价格变成HJMform:P pt，T q“1 TτatuesTtfpt，uqduff TaS，p pt，T q“1tτatuexp^zTtfpt，uqdu\'gpt，Uq1ttaUdT U˙，对于tprs，ts。另一方面，如果随机变量U是离散的，可以考虑推论3.9中研究的广义默顿模型。2.4.技术假设和初步假设。术语结构模型的分析需要以下假设，我们从关于随机度量u的假设开始。假设2.4.随机测度upds，duq是一个非负的可选随机测度，在满足以下性质的r0，Ts^r0，Ts上[33，定义II.1.3]的意义上：（i）upω；ds，duq“1tsauuupω；ds，duq，适用于所有ps，uq p r0，Ts^r0，Ts和ωpOhm;（ii）停车时间存在一个序列pσnqnPNof，将a.s.增加到完整性，因此每n个p n的σNPR 0，Tsqsa\'8 a.s.。根据假设2.4第（i）部分备注2.2中给出的解释，在s日收到的新信息仅涉及未来（而非过去）违约的可能性。鉴于（2.2），这一假设不失普遍性。第（ii）部分确保在[33，定义ii.1.6]的意义上，随机度量u是可预测的σ-有限的，并且对于假设2的所有t P r0，Ts第（ii）部分，随机变量utpr0，Tsq是a.s.有限的。4相当于要求递增过程putpr0，Tsqq0dtd是局部可积的（参见例[32，备注3.9]）。除了假设2.4之外，随机测量u是通用的。以下引理给出了假设2.4的第一个结果。我们定义了过程“u”putq0dtdTbyut:“u`r0，Ts^r0，Ts”，对于所有的tpr0，Ts引理2.5。假设假设假设2.4成立。

然后“u”是一个可预测且不断增加的过程，允许独特的分解（2.6）‘ut’tmsds`νt`0asdtus，对于所有的0dtdt，其中pmtq0dtd是一个非负的可预测过程，因此，对于几乎所有的ωpOhm.随机变量“ut根据r0，ts上的所有可用信息，比较备注2.2，测量r0，ts期间风险日期的存在。以类似的方式，数量“ut”upr0，Ts^ttuq根据所有可用信息对时间t是否被视为风险日期进行编码。正如我们将在定理3.4中看到的，没有套利意味着分解（2.1）和（2.6）中出现的术语之间存在精确关系。以下温和的技术假设确保所有（随机）积分有很好的定义，我们可以应用（随机）富比尼定理的合适版本。在下文中，wedenote由O（P，resp.）可选（可预测，分别）σ-p上的字段Ohm, A、 Fq。违约风险假设下的一般动态期限结构2.6。

以下条件适用于a.s.：（i）初始正向曲线TTh~nfpω；0，tq和TTh~ngpω；0，tq是Fb Bpr0，Tsq可测，实值，连续和可积的，对于所有的tpr0，Ts:zT|fp0，uq|dua\'8和zT|gp0，uq|utpduqa\'8；（ii）漂移过程apω；s、 uq和αpω；s、 uq是obbpr0，Tsq可测且实值，apω；suq 0 0 0 0和αpω；s，uq 0 0 0 0为所有0duas，地图u囎apω；s，uq和U22Q和U2222Qαpω；s，uq是可区分的，并且满足和满足380zt380zTzTzTzTzTzTzTzzTzTzTzT\"T | T\"T | | T | aps，aps，uq | | | | | | | | | | | p r0，Ts；（iii）波动过程bpω；s，uq和βpω；s，uq是ob Bpr0，Tsq可测量和Rn值bpω；s，uq0和βpω；s，uq“0”0为所有的0duas，地图uThbpω；s，uq和uTh和uThβpω；s，uq是可区分的，uq是可满足和满足zTzTzTzTzTzTzbps，uq}}}Bubps}Bubps，Bubps，uq，uq，uq 72888 418 418 418888888）的是从从从从8年到8年到8年到8年到8年到8年到8年到8年到8年到8年的美国的美国的美国的美国的英国的英国的英国的英国的英国的英国的英国的英国的英国的英国（2.3）-（2.4）中的普通积分和随机积分定义明确。与[20，命题6.1]的证明类似，pf-pt、tqq0dtd和pgpt、Tq0dtdtar的过程是连续的，因此是可预测的且局部有界的。通过一个类似的论证，可以证明，对于任何固定的tpr0，Ts和a.a.ωPOhm, 映射uTh~nfpω；t、 uq和uTh~ngpω；t、 uq是连续的。连同假设2.4的第（ii）部分，这意味着项结构方程（2.2）中出现的两个积分都是a.s.有限积分。最后，sgps，sqds被定义为一个可预测的有限变化过程。3.一般可违约期限结构的HJM类型条件本节包含我们的主要结果，并提供了在第2节中介绍的一般期限结构模型背景下无套利的特征。

在第3.1节对金融市场和我们考虑的套利概念进行了详细描述之后，我们在第3.2节中讨论了我们主要结果的简单表述，以便以透明且易于设置的方式说明HJM类型条件的含义。第3.3节阐述了我们的主要定理，而第3.4节讨论了几个特殊情况，第3.5节介绍了对一般恢复方案的扩展。最后，我们将在第3.6节中讨论相关工作。第4.3.1节给出了所有结果的证明。信用风险债券的大型金融市场。经过考虑的金融市场假设包含一个价格过程严格为正的、经过调整的平均日价格，并用X“pXtq0dtdt表示。在不丧失一般性的情况下，我们假设X”1。此外，我们做了经典假设，即Xis是绝对连续的，即存在一个可预测的可积短速率过程r“prtq0dtdTsuch，Xt”exppstrsdsq，对于所有tp r0，Ts。在实际应用中，通常使用隔夜指数交换（OIS）建造num’eraire的费用。8克劳迪奥·丰塔纳（CLAUDIO FONTANA）和托尔斯滕·施密特（THORSTEN Schmidt）信用风险债券市场由不可数的tpP pt家族组成，T qq0dTdT；TPR0，Tsu，代表所有基本交易资产的价格过程。特别是，这种金融市场是有限维的，因此，按照[8,41]的精神，可以将其视为一个大型金融市场。这相当于考虑交易策略的顺序，每种策略只包含由数量众多但任意的信用风险债券组成的投资组合，并接受这些投资组合的限制。如果在Emery的半鞅拓扑中取极限，这就引出了[8]中最近在一般情况下引入的无症状无消失风险午餐（NAFLVR）的概念。

特别是，如果概率测度Q是tpP-pt族的局部鞅测度，tqq0dTdT；T P r0，关于数值X的Tsu，即如果进程P¨，T q{Xis a q-局部鞅，对于每一个T P r0，Ts。在下文中，我们将导出该属性保持的必要条件和充分条件，从而确保信贷风险债券市场在NAFLVR意义上是无套利的。备注3.1.（i）当前设置可以扩展到考虑数值为一般严格正半鞅的情况（不一定是绝对连续的），沿着[41]的线。在这种情况下，人们可以得到定理3.4和3.12的广义版本，而代价是更复杂的公式。（ii）在局部有界债券价格的附加假设下，[41，定理5]表明等价局部鞅测度的存在性等价于无渐近自由午餐（NAFL）条件。在目前的情况下，NAFL相当于NAFLVR。这意味着，在这个附加假设下，我们的结果可以推断NAFLVR在信用风险债券的大型金融市场中持有的必要和有效条件。然而，在第2节介绍的一般设置中，局部有界性不一定成立。3.2. 第一个结果。在陈述我们的主要结果（下面的定理3.4）之前，让我们首先介绍一个特殊情况，它揭示了（2.2）-（2.4）形式的可违约期限结构模型的无套利限制。考虑满足假设2.4的整数值随机度量upds，duq[33，定义II.1.13]。

然后，根据[33，命题II.1.14]，存在一个停止时间序列pσnqnp和一个r0，Ts值可选过程γ“pγtq0dtdTsuch，定义Fσn-可测量随机变量τn:“γσn，对于所有n p n，它认为upds，duq“`8"yn”1δpσn，τnqpds，duq。（3.1）注意，由于upds，duq“根据假设2.4，我们得到了τnaσn，对于所有n P n。这个设置允许一个直观的经济解释：“每个停止时间σn表示一个宣布日期。在宣布日期，市场上发布了关于未来违约可能性的新信息。由于σ是一个一般停止时间，宣布可能会出人意料；每次停止。”g timeτn表示未来的一个风险日期，该日期在公告日期σn处披露。风险日期是一个被认为有可能以正概率违约的日期。这个日期本身并不令人惊讶（就像τnis Fσn-可测量和τnaσn一样），而违约是否发生在τ仍然是不可预测的。此类风险日期自然会导致期限结构的不连续性，从而违反（1.1）。该演示文稿（3.1）允许简化可默认的期限结构方程（2.2）toP pt，T q“p1\'Htq expTtfpt，uqdu"yσndttτnPpt，T sugpt，τnq,，0dTdT.违约风险下的一般动态期限结构9请注意，可违约债券的价格P pt，T q取决于迄今为止收到的所有关于债券剩余寿命pt，T s中未来风险日期的公告。在这种情况下，我们可以提出以下命题，代表推论3.7的特例（见第3.4.1节）。我们将本小节介绍的假设总结如下。假设3.2。

假设（i）upds，duq是表示式（3.1）中的整数值随机度量，具有形式为uppds的补偿器，duq“ξspduqds，其中ξspduq是pr0，Ts，Bpr0，Tsqq上的一个正有限度量，对于所有spr0，Ts；（ii）Qpτ“σnq”0，对于所有npn；（iii）出现在（2.1）中的连续奇异过程λ消失。特别是，假设3.2的第（ii）部分要求没有新信息与默认事件同时到达。我们为所有0dtdtdtdt，（3.2）设置apt，tq“zTtapt，uqdu，\'bpt，tq”zTtbpt，uqdu，\'αpt，tq“zpt，tsαpt，uqutpduq，\'βpt，tq“zpt，tsβpt，uqutpduq。请注意，只要满足假设2.4和2.6，上述所有积分都是很好定义的。命题3.3。假设假设假设假设2.4，2.6和3.2成立。那么，概率测度是关于Xif的tpP pt，tqq0dT；tp r0，Tsu的局部鞅测度，且仅当以下条件成立时：（i）f pt，tq“rt`ht，代表勒贝格-a.e.t P r0，Ts；（ii）tHp‰0uDTNPNRτnss和Hpτn“1\'e\'gpτn，τnq，对于所有的np n；（iii）对于所有的tpr0，Ts和Lebesgue-a.e.tpr0，Ts，它认为，\'apt，tq\'αpt，tq\'}bpt，tq\'\'βpt，tq\'\'T\'T\'e\'gpt，uq\'1tpduq“0。命题3.3中所述的必要和有效条件有一个明确的解释：\'要求可违约债券的瞬时收益率f pt，tq等于无风险利率Rt加上ht给出的违约风险补偿条款。这与基于强度的模型中的经典无套利限制相对应（参见[51，定理2]）条件（ii）要求以严格的正概率宣布违约事件发生的所有可预测时间为风险日期。

此外，条件（ii）的第二部分意味着，在每一个风险日期τn，可违约债券价格表现出ajump-ErPτn，T q | Fτn“0 a.s.”条件（iii）对应于经典的HJM漂移限制。额外的术语sTtpe\'gpt，uq\'1qξtpduq代表了由于未来可能的风险日期相关新闻的到来而导致的术语结构变动的补偿。3.3. 主要结果。现在，让我们利用环境的全部普遍性，继续说明我们的主要结果。对于每个tpr0，Ts，我们介绍了由（3.3）YpT qt定义的过程YpT q“pYpT q0dtdTde:“tztzTgps，uqupds，duq，对于所有0dtdt.10 CLAUDIO FONTANA和THORSTEN Schmidt，这将是引理4.1的结果，即YpT qi a.s定义为一个单位化过程。我们用upYpT q表示与二维半鞅pYpT q，Hq，Hq相关的跳跃度量[33，提案II.1.16]，带补偿器up，pYpT q，Hq。根据[33，定理II.1.8]，存在一个递增的可积可预测过程ApT q“pApT qtq0dtd和一个核KpT qpω，t；dy，dzqOhm ^r0，Ts，Pq转化为pR^t0，1u，BpR^t0，1uqq，使得（3.4）up，pYpT q，Hqpω；dt，dy，dzq“KpT qpω，t；dy，dzqdApT qtpωq.由于假设2.4的第（i）部分，它认为YpT qT“YpT qT'YpT qT'”sTgpT，uquptT u^duq”0。因此，我们可以在不损失一般性的情况下，假设1ty‰0uKpT qpω，T；dy，dzq“0，对于所有pω，tqpOhm ^r0，Ts.让upbe为u的补偿器，它与[33，定理ii.1.8]一起存在于假设2.4的第（ii）部分中。

如下面引理4.3所示，对于所有0dtdtdt，与upvia相关联的补偿度量up、pYpT q、hqi具有以下关系：（3.5）ApT qtzRy KpT qpt；dy^t0，1uqzRyup，pYpT q，Hqpttu^dy^t0，1uqzpt，T sgpt，uquppttu^duq。最后，我们定义函数ψ：Ohm ^r0，Ts^R^r0，1s~nR as（3.6）ψpω；t、 y，zq：“egpω；t，tq\'utpωq\'e\'y\'1p1\'zq。请注意，由于pgpt、tq0dtd和putq0dtdtar这两个过程是可预测的，因此函数ψisP b BpR^r0，1sq是可测量的。按照[33]的符号，我们用关于随机测度的积分表示。此外对于任意过程V“pVtq0dtdTof fifite variation，我们用vcIt连续部分表示，它可以进一步分解为Vc“s”（Vacsds`Vsg），类似于引理2.1。我们还将使用（3.2）中介绍的符号.我们现在可以陈述以下定理，它给出了使参考概率测度Q成为家族Pp pt，T qq0dTdT的局部鞅测度的必要和有效条件；TPR0，Tsu与num’eraire X有关。如上所述，这是确保NAFLVR意义上无套利的基石。第4.2节将给出该理论的证明。定理3.4。假设假设假设2.4和2.6成立。让ψ定义为（3.6）和gpt qpω；s、 uq：“1tudT ugpω；s，uq，对于每个tpr0，Ts。那么，概率测度Q是关于Xif的tpP pt，tqq0dT；tpr0，Tsu的局部鞅测度，并且仅当以下条件保持a.s.：（i）f pt，tq`gpt，tqmt“rt`ht，对于Lebesgue-a.e.tpr0，Ts；（ii）Hpt“1’e’gpt，tqut，对于所有t P r0，Ts；（三）pψup，pYpT q，Hqqt“0，适用于所有0dtdt.（iv）适用于所有t p r0，Ts和Lebesgue-a.e。