违约风险下的一般动态期限结构

此外，通过证明[33，定理II.1.8]中使用的相同参数（但关于可选σ-场），可以证明存在akernel Npω，t；来自p的duqOhm^r0，Ts，Oq到pr0，Ts，Bpr0，Tsqq和一个可预测的可积递增过程D“pDtq0dtdTsuch，upω；ds，duq”Npω，t；duqdDspωq。让Dc“s”（Dacsds）`dsg违约风险下的一般动态项结构23是将过程D的连续部分分解为绝对连续部分和奇异连续部分，然后得出，对于所有0dtdtdt，pgpT qqct“ztzps，t sgps，uqNps；duqdacsd`tztzps，t sgps，uqNps；duqdDsgs，因此，对于所有tpr0，Ts，pgptquqact”0。因此，我们已经证明，对于Lebesgue-a.e.tpr0，条件（iv）通过考虑剩余的绝对连续项并使用条件（i）来遵循相反，可以很容易地检查定理3.4的条件（i）-（v）一起意味着（4.14）中出现的所有有限变分项都消失了。下面的简单引理证明了关系式（3.5）。引理4.3。假设假设假设2.4和2.6成立。然后，对于每个tpr0，Ts，与补偿度量upas相关的补偿度量uP，pYpT q，hqi如下：zRyuP，pYpT q，Hqpttu^dy^t0，对于所有0dTdT.证据，必须指出，鉴于[33，§II.1.11]以及对YpT的定义和g，zpt，T sgpt，uquppttu^duq的可预测性YpT qtˇˇFtˇ“EzRyupYpT q，hqptuˇdyˇt0，1uqˇFtˇzRyup，pYpT q，Hqpttu^dy^t0，1uq。4.3. 第3.4节结果的证明。引理3.6的证明。通过定义过程YpT q，随机集tYpT q‰0u是tpω，tqp的子集Ohm^r0，ts:upω；ttu^r0，Tsqa0u。

因此，条件（3.9）意味着，在Evanscentset之前，YpT qH“0，使用（3.8）中介绍的符号表示ψupYpT q，Hq”ψp1quYpT q。推论3.7的证明。首先观察“ut”ur0，Ts^r0，Tsr0，Ts^r0，TsnPNtτndt，σndtu”nPNtτndtu，因此，分解（2.6）减少为“ut”0dsdtus。这意味着定理3.4的条件（i）降低为当前推论的条件（i）。冠状动脉的条件（ii）直接来自定理3.4的条件（ii）。还请注意，pgpT quqt“nPNg pσn，τnq 1tτndT utσndtu，因此连续部分pgpT quqc为空。此外，通过定义过程YpT q，YpT qt“zTgpt，uqupttu^duq”1dptqtγtdt ugpt，γtq，24 CLAUDIO FONTANA和THORSTEN Schmidth，其中D“TnPNrrσnss和γ是一个可选过程，使得τn”γσn对于所有n P n，因此Pψp1quYpT qqqt“0asdtegps，sq\'us\'e\'展品qs\'1“ztzTegps，sq\'us\'e\'gps，uq\'1upds，duq。然后，引理3.6给出了条件（iii），这意味着ψup，pYpT q，Hq“ψp1qup，YpT q。推论的条件（iv）-（v）来自定理3.4的条件（iv）-（v）。推论3.8的证明。在目前的假设下，随机测度upds，duq是一个积分值随机测度。由于Qpτ“σiq”0，对于所有i“1，…，N，条件（3.9）成立，因此，对于所有0dtdt，满足了推论3.7的假设。过程pdtq0dtdt由dtdr0，Ts^r0，Ts“N"yi”1tdidtu给出，因此，对于所有0dtdtdtdt，当前推论的条件（i）-（ii）遵循推论3.7.iii的条件（i）-（ii）当前推论的条件（iv）对应于推论3.7的条件（iv），注意到对于所有tpr0，Ts，jact“1和F pt；duq”ξtpduq。最后，在当前假设下，推论3.7的条件（iii）和（v）总是满足的。推论3.9的证明。

首先请注意，假设2.4在当前假设下明显满足。此外“t”ut“ut”ut“ut”ut“ut”ut“ut”t“ut”TQ“t”TQ“t”TQ“t”TQ“t”TQ“N"ytq0”TQ“t”TQ“i”TQ“i”TQ“i”TQ“1”TQ“t”t“t”t”的过程是简单给出的，是由“t”t“t”t“t”t”t“t”t“t”t“t”t”t“t”t“t”t“t”t“t”的过程，t“t”的过程，p“t“t”的过程，p“t”过程，p“t”t“t“t”的过程，t“t”的过程，p“t“t“t”过程，t“t”的过程，t“t“t”过程是简单给出的过程，t“t”qt“YpT q，特别是对于所有0dtdtdt，YpT q“0，因此定理3.4的条件（iii）和（v）自动满足，因为λ”0。推论的条件（iii）紧接着定理3.4的条件（iv）。4.4. 定理3.12的证明。定理3.12的证明。根据引理4.1，信用风险债券价格承认所有0dTdTdT的代表性p pt，T q“eprqtpxppt qtq，其中过程XpT q定义为（4.7）。根据引理4.2的相同论点，我们得到了p pt，T q“E`rXpT q`R`rrXpT q，RsT。注意，rrXpT q，Rs”0asdrXpT qsRs，因为R是有限的变量。此外，与（4.10）中的观点类似，它认为rXpT qtp1`Rtq“`eXpT qt\'1p1`Rtq“egpt，tq\'ut\'e\'Ttgpt，uqupttu^duq\'1\'1\'r\'1,0sxurptu^dxq˙egpt，tq\'ut\'1\'1\'r\'1,0sxuRpttu^dxq˙。违约风险下的一般动态期限结构rXpT qsp1`Rsq“`ψupYpT q，`Rqt`0asdt`egps，sq\'us\'1\'1\'r\'1,0sxuRptsu^dxq˙。请注意，最后一个表达式中出现的所有术语都是a.s.有限的，其参数与方程式（4.12）中使用的参数相同，且过程R具有有界跳跃。

此外，"y0asdtdegps，sq\'us\'1\'r\'1,0sxuRptsu^dxq\'plocal鞅qt\'0asdt\'egps，sq\'us\'1\'r\'1,0sxup，Rptsu^dxq。因此，与定理3.4的证明类似，我们得到了Rxpt qt`Rt`rrXpT q，Rst“plocal鞅qt`ztfps，sqds`t`aps，tqds`t`t`αps，tqds`t`t>>bps，tq`βps，tq>ds`tgps，sqds`tgps，sqd`s`pgpT`q`t`t`Ct`ψψp，pyqds`t`t`t`t`t`Ct`bps，pyq`t`259t`\'us\'1\'1\'r\'1,0sxup，Rptsu^dxq˙。然后在条件（i）-（v）之后进行类似于定理3.4证明中的分析。附录A.随机Fubini定理的一种变体在本附录中，我们表明假设2.4和2.6意味着在引理4.1的证明中，可以互换方程（4.6）中出现的项（3）的积分阶。作为预备，在[32，练习3.6]之后，我们写下了以下u的唯一分解：upω；ds，duq“upcqpω；ds，duq`updqpω；ds，duq”upcqpω；ds，duq``8"yk”1tTkpωqdTuδTkpωqpdqfkpω；duq，其中upcqi是一个随机度量，对于所有不相交的停止时间，以及对于每个kpn，Fkpω，duq是P的一个内核Ohm, FTkq intopr0，Ts，Bpr0，Tsqq满足supωPOhmFkpω；r0，Tsqa\'8，对于所有的kpn。此外，通过[33，定理II.1.8]证明的（d）部分中使用的相同元素，我们可以写出upcqpω；ds，duq“Kpω，s；duqdAspωq，其中pAtq0dtd是一个可积的递增可预测过程，Kpω，s；duq是pOhm ^r0、Ts、Pq分为pr0、Ts、Bpr0、Tsqq。此外，由于μpcqpttu^r0，Tsq“0对于所有tpr0，Ts，过程pAtq0dtd是连续的。总结起来，我们得到了一般分解（A.1）μPω；ds，duq“Kpω，s；duqdAspωq``8"yk”1tTkpωqdTuδTkpωqpdsqFkpω；duq引理A.1。假设假设假设2.4和2.6成立。

然后，对于所有0dtdtdt，它持有ztztsr0，uqpvqβpv，uqdWvupds，duq“tzvzTr0，uqpvqβpv，uqupds，duq dWv.26 CLAUDIO FONTANA和THORSTEN SCHMIDTProof。我们首先考虑关于纯不连续部分updqofu的积分：tztztsr0，uqpvqβpv，uqdWvupdqpds，duq“`8"yk”1ttkTkztztTkr0，uqpv，uqdwkPfkPfk。对于每一个VFP N，让我们定义一个“kFkPfkPvqβpv”“FpTk`tq^T，对于所有tpr0，Ts和随机过程Wk”pWktq0dTdTby Wkt:“WpTk`tq^T`WTk^T，对于所有tpr0，Ts。强马尔可夫性质意味着Wk是过滤Fk中的布朗运动，对于每个kpn。因此，对于每个kpn，我们可以写：tTkdtu TztTkr0，uqpvβpv，uwwvfq“1tTkdtuzzzvqdqdwkkqdwkqtk，其中：“1r0，uqp¨`Tkqβp¨Tk，uq是Fk适应的，且stzTkhkpv，uqdwkvm是过滤Fk中由u表示的布朗随机积分参数。由于核函数kpduq是Fk可测的，我们可以在过滤Fk中应用[47，定理IV.65]中的随机富比尼定理来获得dtu tztztztkhkpkpv，uqdwkpkduq”1tkdTk，TkzTk“1tTkdtuzttkdvuzTr0，uqpvqβpv，uqfkpdduq dWv”tzttkdvur0，uqpvqβpv，uqfkpdduq dWv。将此参数应用于每个kpn，我们得到ztztsr0，uqpvqβpv，uqdwqdwvupdqpdds，dud，duq“`8255k”1ztzttkdvu，uqvqβpv，uqfqfduqvqdqdn，uqvqdqvqdqdqdwq，其中：“1sTtTkdur0，uqpdqβp¨，uqFkpduq是一个F适应过程，对于布朗运动W是可积的。对于每一个固定的v和T，序列p`Npv，tqqnpn与\'8"yk“1zTtTkdvur0，uqpvqβpv，uqfkpdduq”v，tsβpv，uqupdqpds，duq:\'βpdqpv，tq。根据假设2.6，过程是可积的（这正是引理4.1证明的第一部分）。此外，可以检查|`N，ipv，tq | | | | |βpdq，ipv，tq |dzpv，ts |βipv，uq |updqpr0，vs^duq，对于每个i“1。

对于每个i“1，…，n，过程pspv，ts|βipv，uq|pdqpr0，vs^duqq0dvd对于Wi是可积的。随机积分的支配收敛定理（参见对[47，定理IV.65]的证明的仔细检查）揭示，即使度量Fkpduq不是确定性的，但仅是Fk可测的，随机Fubini定理仍然成立，因为supωpOhmFkpω；r0，Tsqa\'8。可集成性条件sTstHK，ipv，uqqFkpduqdva8 a.s。，对于应用[47，定理IV.65]所需的所有i“1，…，n，由假设2.6中出现的要求sTsT}βpv，uq}uvpduqdva8 a.s.隐含。违约风险下的一般动态期限结构27[47，定理IV.32])这意味着，Npv，T QDWV在紧集上的概率一致收敛于βpdqpv，T qdWvas N~n8。综合以上结果，我们已经证明了ztztztsr0，uqpvqβpv，uqdWvupdqpds，duq“limN~n`8zt`Npv，t qdWv”ztzβpdqpv，t qdWv“ztzvzTr0，uqpvqβpv，uqupdqpds，duq dWv。它仍然需要执行积分顺序的类似交换，关于术语（A.2）ztztztsr0，uqpvqβpv，uqdWvupcqpds，duq“tztztsr0，uqpvqβpv，uqdWvKps；duqdAs。作为初步假设，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设过程pAtq0dtd严格增加。事实上，如果upcqps，duq”Kps；duqdAs是随机度量upcqin任意分解为可预测的核K和不断增加的过程a，让我们考虑在“ztasds`ztNpsqdAs”：ztasds`Asgt，其中patq0dtd是一个可预测的非负可积过程，N是一个可预测的集合，其部分的Lebesgue测度为零a.s。让At:“t`Asgt，对于所有tpr0、Ts和kpt；duq:”patNcptq`1nptqkpt；duq。

很明显，过程pAtq0dtd是连续且严格增加的，并且Kpt；duq是pOhm ^r0、Ts、Pq分为pr0、Ts、Bpr0、Tsqq。此外，它认为Kpt；duqdAt“Kpt；duqdAt。我们还可以进一步假设Kps；r0，Tsqd1对于所有spr0，Ts。实际上，如果μpcqpds，duq”Kps；duqdAsis是随机度量μpcqt的分解，与连续且严格递增的过程pAtq0dt，letrKps；duq：“Kps；duqKps；r0，Tsq`安德拉：“Kps；r0，Tsq”达斯，对一些人来说 a 0. 很明显，我们有那个RKPs；r0、Tsqd1适用于所有s P r0、Ts和过程prAtq0dtdt连续且严格增加（因为pAtq0dtdt连续且严格增加）。此外，它认为RKPS；duqdrAs“Kps；duqdAs”upcqpds，duq.总结起来，在分解upcqpds中，duq“Kps；duqdAs我们可以始终假设内核K满足Kps；r0，Tsqd1对于所有s P r0，Ts，并且过程pAtq0dtd是连续且严格递增的。在下面，我们将利用这两个特性。考虑（A.2）中的内部积分：sTstsr0，uqpvqβpv，uqdWvKps；duq，对于固定的s P r0，ts。通过证明第一部分中使用的相同参数，我们可以使用随机Fubini定理（见[47，定理IV.65]）来推断，对于所有0dsdtdtdt，ztztsr0，uqpvqβpv，uqdWvKps；因此：tztztsr0，uqpvqβpv，uqpkps；duq dWv。因此：tztztsr0，uqpvqβpv，uqdWvupcqpds，duqztXt，TsdAs，可积条件stssTr0，uqpvqpβipv，uqKps；duqdv259a.s，每0dtdtdtdtdTand i”1，n，应用[47]定理所需的假设2.6.28中出现的更强条件sTsT}βpv，uq}uvpduqdva8 a.s.暗示了这一点，其中连续过程pXt，Tsq0dsd由Xt，Ts定义：“sTsspv，Tsβpv，uqKps；duq dWv，forall s P r0，Ts。

由于工艺流程不断严格增加，时间过程pCtqtě0的变化由Ct定义：“输入Pr0，Ts:Asětu，对于Tpr”，是连续且严格增加的，因此对于所有TpR0，Ts，ACt“t和CAt”t。此外，与[33，引理I.3.12]的观点类似，我们有“Ttxt，TsdAs”Tcstuxt，TCsds，意思是“tztztztsr0，uqpvqβpv，UqDqVv，duq”Tcstu，TcsqqVvtβ，Tcsqqvt，Tcsqqqvt，Tvt，Tcsqvt，Tcsqqqvt，Tvt，Tvt，Tvt，Tcsqqqqvt，Tvt，Tvt，Tvt，Tvt，Tv“ttCsdvuzpv，tsβpv，uqKpCs；duq dWvds”Tlpt qpt，sqq0dTdpv，其中过程由LpT qpt定义，sq：“1tCsdtuspt，tsβpt，uqKpCs；duq，forevery tp r0，ts和spr”。注意，由于每个CSI都是一个可预测的时间（由于a的连续性）以及核心KPC；duq如果FCs可测量，则过程pLpT qpt、sqq0dtd是可预测的。此时，[47，定理IV.65]中的随机富比尼定理暗示（A.3）zztLpT qpv，【47，定理IV.65]中出现的可积性要求得到了满足。事实上，使用了旧的质量，并回顾了Kps；r0，Tsq（1）对所有s P r0，Tsq（所有s P r0，所有s P r0，Ts，所有s P r0，Ts）的Kps；r0，Tsq（1）1对所有的Kps；r0，Tsq（1）的回顾，Ts，Ts，Ts，Ts，Ts，Ts，Ts，Tsq，Tsq，Tsq，Tsq，Tsq，Tsq，Tsq，Tsq，TQQQQQQQQQQQQQQQDQQQQQQQQQQQQDdS（IPQ）DQQQQQQQQQQQQDDDDDDs（IPQ）dv）是从IPQ（IPQ）的“中国国家军队军队军队军队军队军队军队t，spβipv，uqqKps；duqdAsdv“TzTzpv，T spβipv，uqqupcqpr0，vs^duq dvdTzT}βpv，uq}uvpduqdva8，每i”1，…，n。

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