违约风险下的一般动态期限结构

然而，迄今为止，还没有适用于杂交模型的一般期限结构建模理论。本文旨在填补这一空白。在本节的剩余部分，我们将详细讨论与作品[3]和[37,38]的关系，这些作品与我们的框架尤其相关。3.6.1. 《与贝朗格、史莱夫和黄的关系》（2004年）。引人注目的论文[3]考虑了默认时间的随机边界上的首次通过时间模型，并指出了简化形式方法在基于强度的模型之外的扩展。该框架可能被视为一种结构性方法，其中债务水平是随机的，我们给出了一个简短的说明。在[3]中，作者考虑了过滤G，由布朗运动W产生的增强过滤给出。此外，存在一个c`adl`ag非递减G-可预测过程p∧tq0dtd，并且默认时间τ被定义为τ：“inft p r0，Ts:∧tě920”（，其中Θ是一个独立于G的严格正随机变量。然后，过滤F被定义为G相对于τ的渐进放大。根据过程p∧tq0dtdt的选择，可以看出默认补偿器HPP可能包含跳跃以及奇异连续部分，从而利用分解的普遍性（2.1）并超越基于经典强度的模型。然而，[3，第5节]仅在基于强度的设置（即假设默认补偿器HPH是绝对连续的）中考虑了可违约期限结构建模的HJM方法。3.6.2。《与焦和李的关系》（2015）。最近，通过扩大过滤的方法，对基于强度的方法进行了扩展，见[17,18]。这种方法在[37]中已经扩展到默认补偿器显示不连续的情况。从背景过滤G开始[37]考虑一个有限族tτ。

，τnu表示G-停止时间，可严格选择，且不会失去通用性。过滤F被构造为G相对于默认时间τ的渐进放大。让pαtq0dtdTbe aG可选过程在R′上的可测函数空间取值，[37]提出以下广义密度假设：对于所有0dtdt，对于任何有界可测函数hpdq，E<<tτa8uhpτqn'zi“1tττiuˇGt ff”R`hpuqαtpuqηpduq a.s.[37，第3节]，默认补偿器HPC是在该假设下计算的。结果表明，HPR包含一个关于测度η的积分，它可能不一定是绝对连续的，此外，HPR取决于过程的G-补偿器——违约风险下的一般动态期限结构17rrτi，`8rr，允许完全通用，因此可能表现出跳跃行为。显然，一般分解（2.1）可以涵盖该规范。例如，[37]考虑τ：“τ^E，其中E呈指数分布，τ是aa0水平布朗运动的第一次通过时间。在这种情况下，它遵循HPT”zthsds`1tτdtuHpτ，对于所有0dtdτ。（3.11）我们的结果可以应用于该设置，并允许描述与违约补偿结构兼容的套利自由期结构模型的一般类别。[37]的方法最近被扩展到了[38]中主权违约风险的背景下。考虑一系列增加的阈值0aaaaa。aanand用pτiqi“1，…，n表示这些级别布朗运动的（增加）首次通过时间。让Ebe成为一个独立的指数分布随机变量。时间τi表示主权寻求财政援助以避免立即违约的关键政治事件。

如果τiaE，则该尝试未成功，并发生违约。此外，[38]考虑一个额外的具有强度的双随机时间，并将默认时间τ设为此类时间的最小值。总之，作者表明Hpt“sthsds`rni”1tτidtuHpτi，对于所有0dtdτ。作者还研究了布朗运动被离散马尔可夫过程代替的情况，得到了几何布朗运动和CEV过程的显式公式。4.证明这部分包含我们所有结果的证明。在给出第2节所述两个技术性定理的证明后，我们给出定理3.4的证明，而第3.4节所述结果的证明在第4.3节给出。最后，第4.4节包含定理3的证明。12.4.1. 第2节结果的证明。引理2.1的证明。由于HPC是一个可预测的有限变化过程，因此可以将其分解为Hp“pHpqc`0asd”Hps，其中PHPQCI是一个不断增加的连续过程。[9，定理2.1]然后给出了可积可预测过程phtq0dtdTsuch thatpHpqct“zthsds`ztNpsqdpHpqcs的存在性，其中N是所有0dtdt的可预测子集Ohm ^r0，Ts使得截面Nω：“tt P r0，Ts:Pω，tq P N uhave Lebesgue度量为零，对于a.a.ωPOhm. 结果如下：λ：“s¨NpsqdpHpqcs。引理2.5的证明。首先请注意，由于假设（2.4），它认为，对于每一个TPR0，“ut”ur0，Ts^r0，Ts”ur0，Ts^r0，Ts”tzTtudtuupds，duq.对于任何可测有界函数θ：r0，Ts^r0，TsR\'，pΘpt，vq0dtdTdeΘnedbyΘpt，vq：“tstθpv，uqupds，duq是可选的，对于每一个vpr0，Ts，duq是递增的，因为upds，duq是一个非负可选的随机度量。随着PΘpt，vq0dtdt的增加，PΘpt，vq0dtdt限制从左开始，因此过程PΘpt，vq0dtdtdtd对每一个vp0; P r0，Ts是自适应的，因此是可预测的。

反过来，这意味着过程pΘpt、tq0dtd和pΘpt'、tq0dtdtar分别是可选的和可预测的。事实上，这对于θpt形式的函数来说是显而易见的，uq“pptqpuq，p，q:r0，TsdR`有界且可测量，一般情况下，接下来是单调的CLAUDIO FONTANA和THORSTEN SCHMIDTclass论证。让θpt，uq“1tudtu tu，这表明过程p′utq0dtd是可选的和递增的。此外，由于假设（2.4）的第（i）部分，它认为‘‘t’r0，Ts^r0，Tsr0，Ts‘r0，Ts‘“Θpt'，tq，从而显示出'u的可预测性。在'u的右连续性之后是度量值的上半连续性。分解（2.6）可以通过在表2.1的证明中使用的相同参数获得。4.2. 定理3.4的证明。由于定理3.4的证明需要几个中间步骤，让我们首先概述一下所涉及的主要思想。起点在于表示违约前的价格（即，在设定的“0u”上）将信用风险债券作为一个半鞅指数，允许显式分解为一个可预测的有限变化部分、一个连续的局部鞅部分和一个关于随机测度u的积分。作为第二步，我们方便地将普通指数转化为随机指数。然后，信用风险债券（贴现）价格的预期局部鞅性质将等价于定义随机指数过程的局部鞅性质。通过计算后者的正则分解，当且仅当所有可预测的有限变分项消失时，局部鞅性质成立。

这将导致定理3.4中所述的条件。我们首先将可违约债券价格Ppt，Tq改写为以下形式：（4.1）Ppt，T q：“exp^zTtfpt，UQUQU˙和Gpt，T q：“expzTtfpt，uqdu˙和Gpt，T q:“expzpt，T sgpt，T sgpt，uq 184;为所有的0dT271dTdT，T，T，T，T q，T，T，T q，T，T，T，T，T q，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，T，[1.1]（注意，与这项工作相比，我们依赖于波动过程b的一个稍微弱的假设，借助于[47，定理IV.65]或[5，命题a.2]应用随机富比尼定理。）。下一个引理将[25，引理2.3]扩展到当前的一般设置，导出了一个类似于（4.2）的表示，用于术语Gpt，tq。引理4.1。假设假设假设2.4和2.6成立。然后，对于每个tpr0，Ts，过程plog Gpt，tqq0dTd是一个允许分解（4.3）log Gpt的半鞅，Tq“tgps，sq dzszTzαps，TqdszTzβps，TqDwszTzps，TsgPs，uqupds，duq.证明。我们首先表明，对于每一个Tp r0，Ts，随机积分sβps，Tqdws是很好的定义的。对此，H¨older不等式和假设2.4和2.6意味着，对于每一个Tp r0，Ts，Tqdws，Tqdws，Tqds是很好的中国政府的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的学习者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者们的研究者3）这意味着术语stsps，t sgps，uqupds，duq“YpT qt是a.s。

作为一个有限的变化过程，定义明确。观察到，通过定义utpduq，（4.4）log Gpt，产品规则，连同方程（2.4）和g的连续性，以及方程（2.4）和方程（2.4）和g的连续性，产生了r0，UQQQTQTQQQTQGPT，uq”g的连续性，产生了r0，UQpTQpTQQTQQTQTQQQQQQTQGPT，UQQQQ380zT0，tr0，TQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ dgpv dgpv dgpv，dgpv dgpv，dgpv，dgpv，UQQQQQQQQQQQQQPPV dgpv dgpv，dgpv，dgpv，UQQQQQQQQQQQPPV，dgpv dgpv，uq dgpv，UQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQPPV，dgpv，UPV由假设2.6.等式（4.4）-（4.5）确定暗示“对数Gpt，tq”TzTgp0，uqupds，duqzTzTztr0，uqpvqαpv，uqdvupds，duqzTztr0，uqpvqβpv，uqdWvupds，duqzTzTgpu，uq1tu tuupds，duq”：p1q`p2q`p3q`p4q.（4.6）由于假设2.6的第（ii）部分，我们可以适用于每个ωOhm 经典的富比尼定理，关于p2q，因此，p2q“ztztzsr0，uqpvqαpv，uqdvupds，duqztztztsr0，uqpvqαpv，uqdvupds，duq”tztzsr0，uqpvqαpv，uqpdsuTr0，uqpvqαpv，uqpds，duq dv。如附录中引理A.1所示，假设2.4和2.6允许按照p33的顺序进行模拟积分另外，请注意的是，托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托托zt′βpv，t qdWv，其中两个积分均由假设2.6定义。

此外，由于等式（4.5），它保持zsr0，uqpvqαpv，uqdv`zsr0，uqpvqβpv，1月1日，UQQQQQWWWV“1月1日，UQQQQGPS，UQQQQGPS，uq\'gpu，UQGU，UQQU，UQU，UQQU，UQU，UQQQGPU，UQQQQQQQQQQQQQGPU，UQQQGPU，uqupds，DuQ380zTzTzT，Tps，Tps，Tps，Tps，TSPUQQQQGPU，gpu，tspuqgpu，UQGPU，uqupds，uqupds，UQQQQQGPGPU，pds，uqupds，pds，q。20。20克劳迪奥。克劳迪奥。20。克劳迪奥·方方方安托托托托和托托托托托托亚。最后，最后，第二部分（1）和upds，duq“ztztgpu，uqupds，duq”ztztgpu，uqupds，duq“ztgpu，uq duu.正如在第2.4节末尾已经指出的，过程sgpu，uq duui是可预测的，是可单位化的。这意味着过程plog Gpt，t q0dtut的半鞅性质，对于每个P r0，Ts。对于每个tpr0，Ts，让我们用（4.7）XpT qt来定义过程pXpT qtq0dtdTby：“log`F pt，tq`log`Gpt，tq”tfps，sqds`t`aps，tqds`t`bps，tqdws`t`tgps，sqd`s`t`t`t`t`sαps，tqds`t`t`t`βps，tqdws`，tqdws`t`t`sgt`bps，tqds`t`t`t`t`t`t`t`tps，dqdps，因此，pq dup“p1\'Htq exppXpT qtq。在下面的引理中，我们给出了违约债券价格pPt，tq的另一种表示形式，作为一个随机指数。引理4.2。假设假设假设2.4和2.6成立。那么，对于每0dTdT，信用风险债券价格pPt，tq可以表示为（4.8）pPt，tq“E`rXpT q\'H\'rrXpT q，Hst，其中，对于每个tpr0，Ts，过程prXpT qtq0dtd被定义为rXpT qt:“XpT qt`t}bps，tq`βps，tq}ds`0asdt^EsTsgps，uquptsu duq`gps，sq\'us\'1\'zTsgps，uquptsu^duq\'gps，squs˙。（4.9）证据。由于过程pHtq0dtd是一个跳跃大小等于1的单跳跃过程，因此，根据随机指数的定义，1\'Ht“eH\'Ht'z0asdtp1”HsqeHs“Ep’Hqt，对于所有的t P r0，Ts.[33，定理II.8.10]意味着exppXpT qq”对于所有的0dtdtdt，其中Rxpt q定义为（4.9）。表示（4.8）随后是Yor公式（见[33，§II.8.19]）。

我们的下一个目标是开发（4.8）中出现在随机指数中的过程的更易于处理的表示。为此，让我们更详细地分析半鞅xpt q\'H\'rrXpT q，Hs的跳跃：`rXpT q\'H\'rrXpT q，Hst“rXpT qt'Ht'HtrXpT qt“esTtgpt，uqupttu^duq`gpt，tq\'ut\'1\'Ht'Ht\'e\'Ttgpt，uqupttu^duq\'gpt，tq“ut\'1”egpt，tq\'ut\'e\'Ttgpt，uqupttu^duq\'1\'p1\'Htq``egpt，tq\'ut\'1\'p1\'Htq'嗯。（4.10）让我们使用第3.3节中介绍的符号，以更简洁的方式重写最后一个表达式。为此，对于每个tpr0，Ts，我们使用过程YpT qssTgps，uqupds，duqand H和相应的跳跃度量upYpT q，Hq，从而（4.11）"y0asdtegps，sq\'us\'e\'Tsgps，uquptsu^duq\'1\'p1\'Hsq“pψupYpT q，Hqqt，违约风险下的一般动态期限结构，带ψpω；s，y，zq”egpω；s，sq\'uspωqpe\'y\'1q p1\'zq。注意，函数ψ是P b BpR^r0，1sqmeasurable和ψupYpT q，hqm作为随机测量upYpT q，Hq的积分。事实上，（4.11）定义得很好，因为H是一个单跳过程，而"y0asdtegps，sq\'usˇesTsgps，uquptsu^duq\'1ˇ0asdtˇesTsgps，uquptsu duq\'gps，sq\'us\'1"y0asdtdegps，sq“us\'1ˇa8 a.s.（4.12）事实上，（4.12）中出现的第一个和是（4.9）的结果，加上这两个过程的事实，即YpT qandsgps，sqdt是有限的变化，这反过来意味着0asdTsgps，uquptsu duq和tsdgps，sq“u是a.s.定义。此外，过程s（gps，sqd）是可预测的、有限变化的，因此局部有界（见[33，引理I.3.10]）和指数特殊性，因此（4.12）中出现的第二项是[33，命题II.8.26]定义的。这表明（4.10）中出现的跳跃项的总和是明确的，是明确的。

我们因此获得了代表："y0asdt`rXpT q\'H\'rrXpT q，Hss“0asdt”egps，sq\'us\'1\'p1\'Hsq\'Ht`pψupYpT q，Hqqt。反过来，再加上过程xpt q（见（4.9））和分解（2.6）的定义，这意味着半鞅xpt q\'H\'rrXpT q，Hs定义随机指数（4.8）允许以下分解：rXpT qt\'Ht\'rrXpT q，Hst“ztfps、sqdsztzaps、t qdsztzαps、t qdsztzbps、t qzβps、t qzdsztgps、sqmsdsztgps、sqdzsztzbps、t qdWsztzβps、t qdWszpgpTzqct（4.13）`259; EGS、SQPS）\'us\'1p1\'Hsq\'Ht`pψupYpT q，Hqqt，其中gpT qpω；s、 uq：“1tudT ugpω；s，uq和pgpT quQC表示细分过程gpT qu”YpT q的连续部分。我们现在可以完成定理3.4的证明。定理3.4的证明。回想一下，鉴于引理2.5，过程pgpT，tq“utq0dtd是可预测的和局部有界的，因为pgpt、tq0dtd是连续的，而p”utq0dtd是局部有界的，是一个有限变化的可预测过程。因此，通过补偿过程H并使用分解（2.1），可以得出"y0asdt`egps，squs\'1Hs“zt`egps，平方米“us\'1dHs”（局部鞅）t\'t\'t\'egps，sq“us\'1dHps”（局部鞅）t`0asdt`egps，squs\'1Hps。回想一下，对于每个tpr0，Ts，随机度量uP，pYpT q，HqdenotesupYpT q，Hq的补偿器，在[33，定理II.1.8]的意义上。因此，通过依靠（4.13）和Lemma22克劳迪奥·丰塔纳和托尔斯滕·施密特2。1.我们得到了（4.14）rXpT qt\'Ht\'rrXpT q，Hst“（局部鞅）tztfps，sqds\'tzaps，tqds\'tzαps，tqds\'t}bps，tq\'t}βps，tq\'ds\'tgps，sqmsds\'t\'tgps，sqdνs\'pgpT q\'th3800tλt259sHps\'0asdtpegps，平方米\'us\'1qp1\'Hpsq`pψup，pYpT q，Hqqt，其中我们使用了一个事实，即有限变化过程pgpT quqc是可预测的、可适应的和连续的。

考虑到等式（4.8）和[33，推论I.3.16]，这意味着贴现的可违约债券价格pP pt，Tq{Xtq0dTd是一个局部鞅，对于每个Tp r0，Ts，当且仅当（4.14）中的可预测有限变化部分与srsds重合。为此，让我们分别分析所有0dTdT的绝对连续、奇异和跳跃部分。从跳跃项开始，必须保持（4.15）\'Hpt`pegpt，tq\'ut\'1qp1\'Hptq`pψup，pYpT q，Hqqt“0.让t”t注意，鉴于[33，命题II.1.17]，它认为pψup，pYptq，Hqqt“E”pψupYptq，HqqtˇFt'‰egpt，tq\'utE\'\'e\'Yptqt\'1p1\'HtqˇˇFt''“0，自Yptqt“0，对于所有tpr0，ts。因此，\'Hpt`pegpt，tq\'ut\'1qp1\'Hptq“0，对应于定理3.4的条件（ii）。鉴于（4.15），条件（iii）也如下。现在考虑到（4.14）的有限变分部分的连续奇异项，它必须为所有产生条件（v）的0dtdtdt保持ztgps，sqdνs\'pgpT qqsgt\'λt`pψp，pYpT q，hqsgt”0最后考虑到（4.14）的有限变化部分的绝对连续项的密度，并让t“t”，它必须认为（4.16）fpt，tq`gpt，tqmt`pgptquqact`ht`pψup，pYptq，Hqqact”rt，对于Lebesgue-a.e.tp r0，Ts。然而，用ApT q表示，在（3.4）中出现的可预测可积过程绝对连续部分的密度对于tpr0，Ts，它认为PψuP，pYptq，Hqqact“Aptq，actzR^t0，1upe\'y\'1qp1\'zqptqpt；dy，dzq”0，因为1ty‰0uKptqpt；dy，dzq”0适用于所有tpr0，Ts。