关于随机凸分析

然后~~IAxβ=~IA（~IAxβ+~IAr\\Az）∈~IAV，这与~IAxβ/∈■IAV。最后，通过Ar的定义，f（y）>r对所有y的ACR进行定义∈ E、 而hencef（xβ）=IArf（xβ）+IAcrf（xβ）>IArr+~IAcrr=r onOhm 无论如何≥ α、 这进一步意味着limαf（xα）≥ r、 到目前为止，我们已经证明了limαf（xα）≥ r，无论是空的还是非空的。因为r是一个任意选择的元素，使得f（x）>rOhm, 我们有limαf（xα）≥ f（x）。这就完成了证明备注2.14。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）适当的局部功能。让我们观察以下三种说法：（1）′{x∈ E | f（x）≤ r} 是Tε，λ-对于所有r都是闭合的吗∈ L（F）；（2） ′epi（f）在（E，Tε，λ）×（L（f），Tε，λ）中闭合；（3） ′limαf（xα）≥ f（x）对于所有x∈ E和所有网络{xα，α∈ Γ}关于Tε，λ收敛到x。一般来说，一个人总是有（3）\'=> (2)′=> (1)′. 虽然在Reom 2.13的假设下，一个也有s（1）′<=> （2） “，（1）或（2）”并不意味着（3）”，事实上，我们可以构造一些例子，证明（3）”即使对于tε，λ-连续函数也不一定是真的。一般来说，我们不知道（1）是否意味着（2），但是（2）因为Tε，λ-下半连续函数的定义已经满足了Tε，λ-下半连续函数研究的需要，例如参见[GY12，GZ15A]。然而，对于局部L-凸拓扑Tc的情况，由于我们通常认为所讨论的RLC模（e，P）满足Reom 2.13的假设，我们采用Tc-下半连续函数定义2.12的一般定义。但是，在[GZ15a]中，我们使用定理2.13的（3）作为Tc-下半连续函数的概念，因为我们当时不知道定理2的（1）是否成立。13确实意味着定理2.13的（4），因此也是（3）。现在，根据定理2.13，我们可以完善Tc-下半连续函数的Fenchel–Moreau对偶定理。

从现在起，除非另有说明，我们总是使用定义2.12作为Tε、λ–或Tc–下半连续函数的概念。关于随机凸分析，设（E，P）是R上带基的RLC模(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）。定义f*ε、 λ：E*ε,λ→\'L（F），F**ε、 λ：E→\'L（F），F*c:E*C→L（F）a和F**c:E→L（F）如下所示：F*ε、 λ（g）=W{g（x）- f（x）|x∈ E} 尽管如此，g∈ E*ε,λ;F**ε、 λ（x）=W{g（x）- F*ε、 λ（g）|g∈ E*ε、 λ}对于所有x∈ EF*c（g）=W{g（x）-f（x）|x∈ E} 一个星期∈ E*CF**c（x）=W{g（x）-F*c（g）|g∈ E*c} 为了所有的x∈ E.在[GZ15A]中，郭等人证明了下面的命题2.15：命题2.15。[gz15a]。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）一个适当的Tε，λ–下半连续L–凸函数。然后f**ε、 λ=f。在命题2.15的证明中[GZ15A]使用了一种技巧，即引理2.16，但在[GZ15A]中省略了一些细节，我们将给出引理2.16的详细证明，因为这些省略的细节将在本文中使用。引理2。16.设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）一个适当的Tε，λ–下半连续L–凸函数。如果x∈ E和β∈ L（F）是这样的：F（x）>βOhm, 然后有一个Tε，λ–连续函数h=g+α（其中g∈ E*ε、 λ和α∈ L（F））使得h（x）=g（x）+α=β和h（x）≤ f（x）表示所有x∈ E.在证明引理2.16之前，我们首先给出两个分离命题，即下面的命题2.17和推论2.18，因为引理2.16的证明是基于命题2.17的。设（E，P）是K上带基的RLC模(Ohm, F、 u），x∈ E和ME.设dQ（x，M）=V{kx- ykQ|y∈ M} 尽管如此，Q∈ P（F）和d（x，M）=WQ∈P（F）dQ（x，M）。对于d（x，M）的任何表示d（x，M），我们总是用（d（x，M）>0）表示{ω∈ Ohm | d（x，M）（ω）>0}。

正如[GZ15A]中指出的，ifM是一个tε，λ-闭L-凸集和x/∈ M然后∧IA{x}∩■IAM= 尽管如此∈ 带着 （d（x，M）>0）和u（A）>0，尤其是?IA{x}T?IAM= 为了阿拉∈ F且u（A）>0 i ffu(Ohm\\（d（x，M）>0））=0（即d（x，M）>0Ohm).提议2.17。[gz15a]。设（E，P）是K上带基的RLC模(Ohm, F、 u），x∈ E和M E一个非空的Tε，λ-闭的L-凸子集，如x/∈ M.然后存在f∈ E*ε、 λ使以下两个条件满足：（1）Ref（x）>W{Ref（y）|y∈ M} on（d（x，M）>0）；（2） Ref（x）=W{Ref（y）|y∈ M} 关于（d（x，M）>0）c；其中R ef:E→ L（F）由所有z的Ref（z）=Re（F（z））（即实部off（z））定义∈ E.此外，如果?IA{x}T?IAM= 尽管如此∈ 如果u（A）>0，那么上面的（1）和（2）可以简单地表示为：（3）Ref（x）>W{Ref（y）|y∈ M} 在Ohm.推论2.18。[gz15a]。设（E，P）是K上带基的RLC模(Ohm, F、 u），x∈ E和M E一个Tc-闭L-凸非空子集，如X/∈ M和M具有可数串联特性。然后就有了f∈ E*C确保满足以下两个条件：（1）Ref（x）>W{Ref（y）|y∈ M} on（d（x，M）>0）；12郭铁新、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和曾小林（2）参考（x）=W{参考（y）|y∈ M} 关于（d（x，M）>0）c.另外，如果 尽管如此∈ 如果μ（A）>0，那么我们有：（3）Ref（x）>W{Ref（y）|y∈ M} 在Ohm.在续集中，对于L（F）中的任何ξ和η，让ξ和η分别被任意选择为ξ和η的代表。我们使用（ξ）≥ η） 对于集合{ω∈ Ohm | ξ(ω) ≥η(ω)}. 尽管（ξ）≥ η） 取决于ξ和η（ξ）的选择≥ η） 只要我们将集合之间的质量和包含关系解释为几乎所有的相等和包含关系，这就不会产生任何融合。

同样，我们可以理解（ξ>η）和（ξ=η）。现在，我们可以给出引理2.16的证明。引理2.16的证明。通过定义2.12 e pi（f）是随机局部凸模e×L（f）中的一个非空Tε，λ-closedL-凸子集，其L-半模族为{k·k+|·····：k·k∈ P} ，其中任何（x，r）∈ E×L（F），（k·k+|·|）（x，r）=kxk+| r |对于所有k·k∈ P.因为f是局部的，f（x）>βOhm, 显然，~IA（x，β）T ~IAepi（f）= 尽管如此∈ F且u（A）>0。B yProposition 2.17存在（g，g）∈ （E×L（F））*ε、 λ=E*ε、 λ×（L（F））*ε、 λ（实际上是（L（F））*ε、 λ=L（F））使得g（x）+g（β）>δ：=W（x，y）∈epi（f）（g（x）+g（y））在Ohm. 这有以下后果：（i）g（1）≤ 实际上，注意到g（y）=yg（1）表示所有y∈ 而t（x，y）也属于epi（F），无论何时（x，r）∈ epi f和y∈ L（F）满意度≥ r、 对于大的Ry，在（g（1）>0）上，g（x）+g（y）也足够大∈ L（F），这意味着u（g（1）>0）=0，因为g（x）+g（y）由g（x）+g（β）限定。（ii）（f（x）<+∞)  （g（1）<0）。事实上，定义^x=~I（f（x）<+∞)x+~I（f（x）=+∞)x代表一些x∈ dom（f），然后是byL——f的凸性，^x∈ dom（f）。此外，f的局部性质和δ的定义意味着g（x）+g（f（x））=g（^x）+g（f（^x））<g（x）+g（β）在（f（x）<+∞).因此f（x）g（1）=g（f（x））<g（β）=βg（1）on（f（x）<+∞), 这意味着（f（x）上的g（1）<0+∞).我们将这两种情况区分开来∈ dom（f）和x/∈ dom（f）。案例1。假设x∈ dom（f）。然后g（1）<0Ohm 第（ii）款。因此，定义h byh（x）=-g（x）- x） 对于allx，g（1）+β∈ E、 这符合我们的要求。的确，h（x）≤ f（x）表示所有x∈dom（f）由δ定义。如果x/∈ dom（f），我们取一些x′∈ dom（f）和x′=~IBx+~IBcx′，其中B=（f（x）<+∞), 然后IBh（x）=IBh（x′）≤~IBf（x）注意到x′∈ dom（f）。因此，h（x）≤ f（x）表示所有x∈ 很明显，h（x）=β。案例2。假设x/∈ dom（f）。

然后选择任意一个x′∈ dom（f）和letβ′=f（x′）-ε对于某些ε∈ L++（F），通过上面的case1，对应于Tε，λ–连续函数h′：e→ L（F）使得h′（x′）=β′和h′（x）≤ f（x）表示所有x∈ E.现在，定义A=（g（1）<0），A=A和h，h:E→ L（F）如下：h（x）=IA-g（x）- x） g（1）+β关于全x的随机凸分析∈ Eh（x）=IAh′（x）+I（h′（x）≥β)(β - h′（x））+I（h′（x）<β）β-h′（x）~h（x）~h（x）为了所有的x∈ E何处h:E→ L（F）定义为h（x）=δ- g（x）表示所有x∈ E、 我们采用约定=0。最后，请注意（g（1）=0）上的h（x）<0和h（x）≥ （g（1）=0）上的0表示所有x∈ dom（f）。因此h=h+a是必需的。这就完成了证明。备注2.19。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u），F:E→L（F）a Tc-下半连续L-凸函数与ε∈ L++（F）。G∈ E*这被称为ε–f在x处的子g半径∈ dom（f），如果g（x-十）≤ f（x）-f（x）+ε表示所有x∈ E.如果E和P都具有可数连接属性，那么对于anyx∈ dom（f）和ε∈ L++（F），F在x处有一个ε-次梯度。事实上，通过引理2。16和定理2.13存在h=g+α，使得h（x）=g（x）+α=f（x）- ε和h（x）≤ f（x）表示所有x∈ E、 g在哪里∈ E*ε、 λ和α∈ L（F），因此α=F（x）- g（x）- ε和g（x）+f（x）- g（x）- ε ≤ f（x）表示所有x∈ E、 namelyg（x）- 十）≤ f（x）- f（x）+ε。由于P具有可数串联性质，E*c=E*ε、 λ，那么g也属于E*c、 这只是f在x处的一个nε-次梯度。从现在开始，我们总是用εf（x）f在x处的ε-次梯度集。作为命题2.15的推论，我们可以得到以下结果：命题2.20。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）使E具有可数串联特性，且F:E→L（F）一个性质——下半连续L——凸函数。然后f**c=f.证明。

我们首先考虑RLC模（E，Pcc），并让T′ε，λ和T′cbe分别为Pcc诱导的E上的（ε，λ）–拓扑和局部L–凸拓扑。很明显，T′cis比Tc强，因此f也是T′c-下半连续的。由于E和PCCC都具有可数级联特性，根据定理2.13，f也是T′ε，λ–低半连续的，因此als o Tε，λ–低半连续的正弦C和P诱导相同的（ε，λ）-拓扑。根据命题2.15 f=f**ε、 λ，namelyf（x）=W{g（x）- F*ε、 λ（g）|g∈ E*ε,λ}. 根据命题2.6 E*ε、 λ=Hcc（E*c） ，每个g的名字∈ E*ε、 λ存在一个序列{gn|n∈ N}in E*cand a c countable partition{An | n∈ N} 关于Ohm 使g=P∞n=1IAGN。因为有一天∈ E、 g（x）-F*ε、 λ（g）相对于g是局部的，可以有f（x）=W{g（x）-F*ε、 λ（g）|g∈ E*ε、 λ}=W{g（x）-F*ε、 λ（g）|g∈ 肝癌（E*c） }=W{g（x）-F*ε、 λ（g）|g∈ E*c} 根据[GZ15a]的引理5.2。再一次，注意到f*ε、 λ| E*c=f*c、 一个人可以得到f（x）=W{g（x）-F*c（g）|g∈ E*c} =f**c（x）。这就完成了证明。备注2.21。当f满足epi（f）在（E，Tc）×（L（f），Tc中闭合的条件时，命题2.20正是[gz15a]的定理5.2，事实上，命题2.20的证明思想与[gz15a]的定理5.2相同。让我们把这一节与一些关于非恰当闭函数的讨论结合起来。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→\'L（F）一个局部函数。

让我们回忆一下[GZZ 15a]中的so me符号如下：14铁心国、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和小林曾加{A∈ F |存在x∈ E，使得∧IAf（x）=IA(-∞)};B={A∈ F |IAf（x）=IA(+∞) 为了所有的x∈ E} )；MI（f）=esssup（A）；pi（f）=esssup（B）；BP（f）=Ohm\\（MI（f）SP I（f））。很容易检查IP I（f）f（x）=IP I（f）(+∞) 为了一个小x∈ E和f（x）>-∞关于所有x的BP（f）∈ E.对于ea ch D∈ 当u（D）>0时，设ED=~IDE={IDx | x∈ E} PD={k·kD |k·k∈ P} ，其中k·kd代表k·k到ED的限制。然后（ED，PD）是R上的RLC模块，带基数（D，DTF，uD），这里的w表示u到DTF的限制。进一步fD:ED→对于ALX，IDL（F）由fD（~IDx）=~IDf（x）定义∈ E、 式中，IDL（F）与L（DTF）相同。定义2.22。f被称为Tε，λ–（或，Tc–）闭合的，如果<<IMI（f）f（x）=<<IMI（f）(-∞)为了所有的x∈ 对于所有a，E和fa是（EA，PA）上的适当L（ATF）–凸Tε，λ–（or，Tc–）下半连续函数∈ F和A BP（f）和u（A）>0。与[GZ15A]中命题5.2的证明类似，可以有以下内容：命题2.23。设{fα，α∈ Γ}是从m（E，P）到L（F）和F=Wα的Tε，λ–（分别为Tc–）闭函数族∈Γfα定义为f（x）=W{fα（x）|α∈Γ}对于所有x∈ E.那么f仍然是Tε，λ-闭合的（分别是Tc-闭合的）。定义2.24。设H={g:E→\'L（F）|g≤ f和g是Tε，λ-闭}，然后clε，λ（f）：=WH称为f的Tε，λ-闭。类似地，也可以有Tc的通知——f的闭包（用clc（f）表示）。[GZ15a]的定理5.3显示了f**ε、 λ=clε，λ（f）表示从anRLC模（E，P）到¨L（f）的所有局部函数f。与[GZ15A]的推论5.1类似，我们也有以下内容：命题2.25。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）使E具有可数串联特性，且F:E→\'L（F）一个本地函数。然后f**c=clc（f）。ContinuityLet（E，P）是一个RLC模块。

E的L-平衡、L-吸收、L-凸和Tc-闭子集称为L-barre L.（E，P）被称为L-预Barreledi，如果每个具有可数连接属性的L-barre L是θ的Tc-邻域。在[GZ15B]中，证明了对于一个RLC模（E，P），E具有可数凝聚性，那么（E，P）是L-预桶装效应=β（E，E）*c） ，其中β（E，E*c） 是E关于自然随机对偶对hE，E的最强随机容许拓扑*ci，特别是一个Tc–completerandom赋范模（E，k·k），使得E具有L–pre–barrelled的可数串联属性。此外，郭等还建立了以下连续性定理：定理3。1.[GZ15B]。设（E，P）是一个L-预桶装RLC模块，带底座(Ohm, F、 u）使得E具有可数串联属性，且F:E→L（F）一个适当的Tc-下半连续L-凸函数。然后f isTc–int（dom（f））上的continuous，即f是从（int（dom（f）），Tc）到（L（f），Tc）的连续，其中int（dom（f））代表dom（f）的Tc–内部。在续集的随机凸分析15中，int（dom（f））总是表示一个属性函数f的dom（f）的Tc–内部，该函数f来自一个带基的R上的nrlc模(Ohm, F、 u）至L（F）。备注3.2。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）一个适当的L-凸函数。在[FKV09]中，菲利波维奇等人证明了以下三种说法是等效的：（i）。f以ξ为上界∈ L（F）on a Tc——某点x的邻域；（二）。f是Tc——x的连续性；（三）。int（dom（f））是非空的，f在int（dom（f））上是Tc-连续的。为了方便起见，让我们首先给出以下定义：定义3.3。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）适当的功能。

一个序列e{xn |n∈ N} 在英语中，据说E与x是一致的∈ E几乎无处不在，如果{kxn- xk | n∈ N}几乎每k·k在任何地方都收敛到0∈ 据说P.f几乎处处都是连续的∈ dom（f），if{f（xn）|n∈ 对于每个序列{xn|N，}几乎处处收敛于f（x）∈ N}几乎处处收敛于x。此外，如果int（dom（f））6= 还有x∈ int（dom（f）），f在x上称为L–locallylipschitz，如果x上存在一些Tc–邻域U，一些ξ∈ L++（F）和一些Q∈ P（F）使U int（dom（f））和| f（x）-f（y）|≤ ξkx-ykQforall x，y∈ U.定理3.4。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）一个适当的L-凸函数，表示F在某个点x是Tc-连续的∈ int（dom（f））。那么f是L——x证明下的局部李普希兹。我们首先回顾一下{U（Q，ε）|Q∈ P（F）和ε∈ L++（F）}在Tc的θ处形成局部基，其中U（Q，ε）={x∈ E | kxkQ≤ ε} ，然后{x+U（Q，ε）|Q∈P（F）和ε∈ L++（F）}在xof Tc上形成一个局部基。因为f是Tc–x处的continuousat∈ int（dom（f）），存在一些Q∈ P（F）和δ∈ L++（F）使得| F（x）- f（y）|≤ 1无论何时x和y∈ x+U（Q，2δ）。表示V=x+U（Q，δ）。对于V中的任意y和z，设α=ky- zkQandwn=y+Δα+n（y- z） 总之∈ N.那么kwn- ykQ=Δα+nky- zkQ≤ δ、 索昆- xkQ≤ kwn- ykQ+ky-xkQ≤ 2δ，即wn∈ x+U（Q，2δ）。此外，由于y=α+nα+n+δwn+δα+n+δz，f（y）≤α+nα+n+δf（wn）+δα+n+δf（z），这意味着f（y）- f（z）≤α+nα+n+δ[f（wn）- f（z）]≤α+nα+n+δ≤α+nδ表示所有n∈ 放任→ ∞ 将产生f（y）- f（z）≤αδ=δky- zkQ。y和z的角色转换让我们可以得出| f（y）- f（z）|≤δky- zkQ。这就完成了证明。定理3.5。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）一个适当的L-凸函数，使得F在x上是Tc-连续的∈int（dom（f））。那么f在x证明下几乎处处连续。

在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设(Ohm, F、 u）是一个概率空间。让{xn |n∈ N} 如果一个序列几乎处处收敛于x，我们只需要证明存在一个序列{εk | k∈ N} 在L++（F）中，εk↓ 0和u（T∞k=1S∞n=1Tl≥n{ω∈ Ohm | |f（xl）（ω）- f（x）（ω）|≤ εk（ω）}=1。根据定理3.4的证明，存在一些Q∈ P（F）和δ∈L++（F）使得| F（y）- f（z）|≤δky- zkqy，z∈ x+U（Q，δ），16世纪的郭铁新、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和曾小林| f（y）- f（x）|≤δky- xkqfy或所有这样的ky- xkQ≤ δ. 我们将展示（ky）-xkQ≤ δ)  （| f（y）-f（x）|≤δky-xkQ）适用于所有y∈ E如下。事实上，让A=（ky）- xkQ≤ δ） 然后是y=~IAy+~IAcx，然后是k~y- xkQ=~ IAky- xkQ+~IAckx- xkQ=~ IAky- xkQ≤ δ、 所以| f（~y）- f（x）|≤δky- xk。因为f是局部的，f（~y）=~IAf（y）+~IAcf（x），那么我们就可以得到~IA | f（y）-f（x）|≤δIAky- xkQ，这意味着 （| f（y）- f（x）|≤δky- xkQ）。设δk=δ∧Kfora ll k∈ N，然后是δk∈ L++（F），因为u（T∞k=1S∞n=1Tl≥n{kxl（ω）-x（ω）kQ≤ δk（ω）}=1和（kxl）-xkQ≤ δk） （|f（xl）-f（x）|≤δkxl-xkQ）（|f（xl）-f（x）|≤δ·△k）对于所有k和l∈ N、 我们有u（T）∞k=1S∞n=1Tl≥n{f（xl）（ω）- f（x）（ω）|≤ εk（ω）}=1，其中εk=δkδ。这就完成了证明。定理3.6。设（E，k·k）是一个Tc-带底R上的完全RN模(Ohm, F、 u）使E具有可数串联特性，且F:E→ L（F）是一个L-凸函数。那么下列等式是等价的：（1）f是Tc-下半连续的；（2） f是Tc——连续；（3） f几乎处处连续；（4） f几乎处处依次为下半连续，即limnf（xn）≥f（x）对于任意序列{xn |n∈ N} 这样{kxn- xk | n∈ N}几乎在任何地方都收敛到0；（5） f是Tε，λ–连续体s；（6） f是Tε，λ–下半连续。证据在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设：(Ohm) = 1.