关于随机凸分析

由于篇幅有限，我们将在未来的研究中探讨这些作品与我们的作品之间的关系。本文的剩余部分组织如下：第二节讨论了真L-凸函数的下半连续性和Fenchel–Moreau对偶；第三节研究了pro-perl-凸函数的连续性；在第四节中，我们给出了一个适当的L-凸函数的次微分的运算规律；在第5节中，我们研究了aON随机凸分析的G^ateaux–和Fr^echKet–可微性，5个适当的L–凸函数；在第6节中，我们研究了适当的下半连续L-凸函数的次微分与ε-次微分之间的关系。纵观本文(Ohm, F、 u）始终表示给定的σ–有限度量空间，带u(Ohm) > 0，K实数的标量域R或复数的C，L（f，K）K值f可测函数的等价类代数Ohm L（F）上扩展实值F-可测函数的等价类集合Ohm, 如果两个函数几乎在任何地方都相等，则它们是等价的（brie fly，a.e.）。从[DS57]可知，L（F）是偏序下的序完备格：ξ≤ ηi ffξ（ω）≤ η（ω）对于几乎所有ωOhm, 其中ξ和η分别是ξ和η的任意选择代表，而wa和va分别代表L（F）子集a的上确界和下确界。此外，众所周知，如果A是向上（向下）的，则存在一个非减（非增）序列{an，n∈ N} （{bn，N）∈ N} ）以这样的方式↑佤邦（bn）↓弗吉尼亚州）。L（F）有最大的元素和最小的元素，用+∞ 和-∞, 分别是+∞ 和-∞ 常值函数类e等价性的判定+∞ 和-∞ 在…上Ohm, 分别。

特别地，L（F，R）作为‘L（F）的子格是序完备的。让我们∈ F和ξ，η在L（F）中，我们说ξ>η在A（ξ）上≥ 如果ξ（ω）>η（ω）（相应地，ξ（ω）≥ η（ω））对于几乎所有ω∈ A、 式中，ξ和η分别代表ξ和η。类似地，我们可以理解A上的ξ6=η和A上的ξ=η。特别地，IAstands表示IA的等价类，其中IA（ω）=1如果ω∈ A、 如果ω为0/∈ A.本文通常采用以下表示法：L（F）=L（F，R）；L+（F）={ξ∈ L（F）|ξ≥ 0};L++（F）={ξ∈ L（F）|ξ>0开Ohm}.同样地，人们也能理解“L+（F）和“L++（F）”。下半连续性与Fenchel–Moreau对偶本节的主要结果是定理2.13。让我们首先回顾一下一些已知的术语。设E是代数L（F，K）（brie fly，an L（F，K）–module）上的左模，对于任何ξ，模乘法ξ·x都简单地用ξx表示∈ L（F，K）和x∈ E

一个映射k·k:E→ 如果满足以下条件，则称L+（F）为E上的L-半形式：（1）kξxk=|ξ| k xk，ξ ∈ L（F，K）和x∈ E（2） kx+yk≤ kxk+kyk，x、 y∈ E.此外，如果kxk=0意味着x=θ（E的零元素），那么k·k被称为E上的L-范数，此时有序对（E，k·k）被称为k上的随机范数模（brie fly，一个RN模）(Ohm, F、 u）。一个有序对（E，P）称为K上带基的随机局部凸模（brie fly，nRLC模）(Ohm, F、 u）如果E是一个L（F，K）-模，P是E上的L-半形族，因此W{kxk:K·K∈ P} =0意味着x=θ。显然，当P是一个由L-范数k·k组成的单子时，RLC模（E，P）就变成了RN模（E，k·k），所以RN模的概念是RLC模的一个特殊集合。6郭铁新、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和曾晓林在Schweizer和Sklar关于随机度量空间和随机赋范线性空间[SS8305]的工作的推动下，郭铁新在[Guo92，Guo93]中引入了RN模和随机内积模（brie fly，RIP模）的概念。RN模的重要性在于其L（F，K）-模结构，这使得SRN模及其随机共轭空间具有与赋范空间及其共轭空间相同的性质。几乎与此同时，Haydon等人还独立地引入了实数域R上的RN模的概念，并以测度空间为基础（在[HLR91]术语中称为随机赋范的L-模），作为研究勒贝格-博希纳函数空间超幂的工具。

RLC模块的概念首先由郭介绍，并由郭和其他人在[GP01、GXC09、GZ03]中深入开发。如果(Ohm, F、 u）是一个有限的度量空间，我们总是使用e^u表示由^u（a）=u（a）/u定义的概率(Ohm) 尽管如此∈ F如果(Ohm, F、 u）是一个一般的σ–有限度量空间，那么我们总是使用^u表示由^u（a）=P定义的概率∞n=1nu（A∩Ohmn） u(Ohmn） 对于所有A∈ F、 在哪里{Ohmn:n∈ N}是Ohm 使F小于0u(Ohmn） <+∞ 为了所有人∈ N和N表示正整数的集合。给定一个RLC模块（E，P）在K w上带基(Ohm, F、 u），我们总是用P（F）表示P的有限非空子集族∈ P（F），k·kQ:E→L+（F）是由kxkQ=W{kxk:k·k定义的L半形式∈ Q} 为了所有的x∈ E.现在，我们可以这样谈论（ε，λ）–拓扑：命题2.1。[GP01、GZ03、GXC09]。设（E，P）为Kwith基上的RLC模(Ohm, F、 u）。对于0<λ<1的任意正数ε和λ以及anyQ∈ P（F），设Nθ（Q，ε，λ）={x∈ E：^u{ω∈ Ohm | kxkQ（ω）<ε}>1- λ}. 然后{Nθ（Q，ε，λ）|ε>0，0<λ<1，和Q∈ P（F）}构成E的somehausdorff线性拓扑的θ处的局部基，称为（ε，λ）–由P导出的拓扑。从现在开始，对于任何RLC模（E，P），我们总是使用Tε，λ表示由P导出的E的（ε，λ）–拓扑。显然，绝对值|·|是一个L–范数L（F，K）。由|·|导出的Tε，λ正是在测度上收敛的拓扑，即序列{ξn:n∈ N}在Tε中收敛，λ在L（F，K）中收敛，当且仅当N}在每个A上在测度上收敛到ξ∈ F使0<u（A）<+∞. 很容易证明（L（F，K），Tε，λ）是一个可度量的拓扑代数，并且对于带基的K上的anRLC模（E，P）(Ohm, F、 u）。

（E，Tε，λ）是拓扑代数（L（F，K），Tε，λ）上的一个拓扑模。2009年，菲利波维奇、库珀和沃格尔波特为L（F，K）引入了另一种拓扑：让ε属于L++（F），而U（ε）={ξ∈ L（F，K）| |ξ|≤ ε}. L（F，K）的Asubset G被称为Tc，如果每个G∈ G存在一些U（ε），使得G+U（ε） G.用Tc表示L（F，K）的Tc-开子集族，则（L（F，K），Tc）是拓扑L环，即L（F，K）上的乘法和加法运算都是联合连续的。设E为L（F，K）-模，T为E的拓扑，则拓扑空间（E，T）在[FKV09]中称为拓扑All-模，如果（E，T）是拓扑环（L（F，K），Tc）上的拓扑L模，即模运算：模乘法运算和加法运算都是联合连续的。在[FKV09]中，拓扑L-模（E，T）被称为局部L-凸模，如果T在θ处有一个局部基，每个元素都是L-凸、L-吸收和L-平衡的，此时T也被称为局部L-凸拓扑。这里，如果ξx+（1），E的子集tu称为beL-凸-ξ） y∈ U代表所有x，y∈ U和ξ∈ L+（F）使得0≤ ξ ≤ 1.关于随机凸分析7L——每x的吸收if∈ E存在一些η∈ L++（F）使得ξx∈ Ufor任何ξ∈ L（F，K）使得|ξ|≤ η; 如果ξx，则L-平衡∈ 对于所有x∈ u和所有ξ∈ L（F，K）使得|ξ|≤ 1.[FKV09]中的工作直接导致以下内容：提案2.2。[FKV09]。设（E，P）是K上带基的nRLC模(Ohm, F、 u）。对于任何ε∈ L++（F）和Q∈ P（F），设Nθ（Q，ε）={x∈ E | kxkQ≤ ε}.然后{Nθ（Q，ε）|Q∈ P（F），ε∈ L++（F）}在某些Hausdorff局部L-凸拓扑的θ处形成局部基，这被称为P诱导的局部L-凸拓扑。从现在开始，对于RLC模（E，P），我们总是使用TCP来表示P诱导的局部L-凸拓扑。

最近，在[WG15，Zap17]中独立地证明了命题2.2的逆命题不再成立，也就是说，并非所有的L-凸拓扑都必然由L-半形族诱导。为了方便起见，本文需要以下内容：定义2.3。[10]。设E是一个L（F，K）–模，G是E.G的子集，如果对于每个序列{gn:n，则G有可数串联性质∈ G和each中的N}可数部分N{An:N∈ N}ofOhm 对F来说，g总是存在的∈ G每n的IAng=IAng∈ N.如果E具有可数连接性质，则Hcc（G）表示G的可数连接外壳，即包含G且具有可数连接性质的最小集。备注2.4。正如[Guo10]所指出的，当（E，P）是RLC模块时，g定义2.3必须是唯一的，此时我们可以写出g=P∞n=1IAGN。在[FKV09]中，如果L（F，K）-模上的L-半形族P的每一个L-半形K·K:=P，则称其具有可数级联性质∞n=1IAnk·kQnstill对于每个可数分划{An:n属于P∈ N}ofOhm 到F和每个序列{Qn:n∈ P（F）中的N}。我们总是表示Pcc={P∞n=1IAn·k·kQn:{An:n∈ N}是Ohm 到F和{Qn:n∈ N} P（F）}序列称为P.C的可数连接壳。早期，P具有可数连接性质i ff Pcc=P。在随机泛函分析中，随机m共轭空间的概念至关重要，定义如下：定义2.5。[10]。设（E，P）是K上带基的RL-C模(Ohm, F、 u）。

用（E，P）表示*ε、 λL（F，K）–从（E，Tε，λ）到（L（F，K，Tε，λ）的连续模同态的模，称为Tε，λ下（E，P）的随机共轭空间；用（E，P）表示*L（F，K）——从（E，Tc）到（L（F，K，Tc）的连续模同态的模，称为Tc下（E，P）的Random共轭空间。从现在开始，当P被理解时，我们常常写E*ε、 λ表示（E，P）*ε、 λ和E*首席财务官（E，P）*c、 当P具有可数级联性质时，在[Guo 10]中证明了E*ε、 λ=E*c、 一般来说，E*C E*ε、 λ和E*ε、 λ具有可数串联性质。最近，在[GZ15A]中，郭等人建立了以下精确关系：*ε、 λ和E*c、 提议2.6。[gz15a]。设（E，P）为RLC模。然后是E*ε、 λ=Hcc（E*c） .8郭铁新、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和小林曾格马克2.7。对于RLC模块（E，P），由于P和PCC在E上诱导相同的（ε，λ）-拓扑，那么（E，P）*ε、 λ=（E，Pcc）*ε,λ. 由于Pcc具有可数共有属性（E，Pcc）*ε、 λ=（E，Pcc）*c、 事实上，提案2.6已经表明*ε、 λ=（E，Pcc）*c=Hcc（E*c） !！为了陈述和证明这一部分的主要结果，我们仍然需要引理2.8和2。下文第9段。引理2.8。[10]。设（E，P）为带基的RLC模(Ohm, F、 u）和 使G具有可数串联性质。然后‘Gε，λ=’Gc，其中‘Gε，λ和‘Gc分别代表G在Tε，λ和Tc下的闭包。引理2.9。[gz15a]。设（E，P）是RLC模，使得P具有可数连接属性，M是具有可数连接属性和x的Tc-闭子集∈ E使得∧IA{x}T∧IAM= 尽管如此∈ F且u（A）>0。然后存在θ的L-凸、L-吸收和L-平衡Tc-邻域U，使得IA（x+U）TIA（M+U）= 尽管如此∈ F且u（A）>0。备注2.10。

本文[GZ15A]提供了一个反例，表明ifM仅仅是一个Tc-闭子集，因此<<IAM+>>IAcM 我代表所有人∈ F定理2.9不一定是真的。备注2.11。在引理2.9中，如果对于某些F-可测子集B，使得u（B）>0和∧IA{x}T∧IAM= 毕竟∈ F.这样 B和u（A）>0，那么我们仍然可以得到θ的L-凸、L-吸收和L-平衡Tc-邻域U，使得≈IA（x+U）TIA（M+U）= 尽管如此∈ F和A 带u（A）>0。事实上，让EB=~IBE:={~IBx:x∈ E} ，PB={k·k | EB:k·k∈ P} ，其中k·k | EB表示k·k对EB的限制，那么（EB，PB）仍然是一个带基（B，BTF，uB）的RLC模，这里BTF={BTA:A∈ F} 对于所有A，μB（BTA）=μB（BTA）∈ F、 进一步在[GZ Z15b]中，郭等人已经证明，如果G在（E，Tc）中是Tc–打开（或，Tc–关闭），那么<<IBG+>>IBcG G然后在（EB，PB）中IBGis也为Tc–打开（相应地，Tc–关闭）。因此，通过考虑相对拓扑，我们可以看到这一点。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）。dom（f）：={x∈ E|f（x）<+∞ 在…上Ohm }, 称为f的有效域，andepi（f）：={（x，r）∈ E×L（F）|F（x）≤ r} ，被称为f的题词。f被认为是局部的，如果所有A∈ F和所有x∈ E如果dom（f）为非空且f（x）>-∞ 在…上Ohm 为了所有的x∈ E如果f（ξx+（1），则称f为beL-凸-ξ） y）≤ ξf（x）+（1-ξ） f（y）表示所有x，y∈ E和ξ∈ L+（F）使得0≤ ξ ≤ 1.在这里，我们始终采用0·（±∞) = 0和∞ - ∞ = ∞ （即+∞ + (-∞) = +∞). [FKV09]中提出，anL-凸函数必须是局部函数和适当的局部函数f:E→L（F）是L-凸的i eff epi（F）是L-凸的E×L（F）。定义2.12。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）适当的功能。

f称为Tε，λ–下半连续ifepi（f）在（E，Tε，λ）×（L（f），Tε，λ）中闭合；f被称为Tc–下半连续f{x∈ E | f（x）≤ r} Tc-所有r都关闭了吗∈ L（F）。现在，我们可以陈述并证明本节的主要结果。关于随机凸分析定理2.13。设（E，P）是R上带基的RLC模(Ohm, F、 u）使得E和P都具有可数串联特性，F:E→L（F）一个适当的局部函数，那么下列函数是等价的：（1）F是Tc-下半连续的；（2） f是Tε，λ–下半连续；（3） epi（f）在（E，Tc）×（L（f），Tc中闭合；（4） limαf（xα）≥ f（x）对于任意x∈ E和任何网络{xα，α∈ Γ}关于Tc收敛到x，其中limαf（xα）=Wβ∈Γ（Vα）≥βf（xα））。证据(4) => (3) => （1） 由定义和引理2.8，（2）得出<=> （3） 也是很清楚的，因为epi（f）具有可数连接属性。最困难的部分是（1）=> （4） 如下。对于任何固定的x∈ E、 设{xα，α∈ Γ}关于Tc收敛到x。进一步地，设r是L（F）的任意元素，使得F（x）>rOhm.表示Ar={A∈ F |u（A）>0且存在z∈ E，使得△IAf（z）≤~IAr}。如果Aris为空，那么For all z∈ 我们总是f（z）>rOhm, 这显然意味着很小的αf（xα）≥ r、 我们将考虑Aris不为空的情况，如下所示。如果Aris不是空的，那么它必须向上：事实上，让A和B∈ 啊，那就有zand z了∈ E，使得△IAf（z）≤~IAr和~IBf（z）≤~IBr，根据f的局部性质，可以有~~IASBf（~IAz+~IB\\Az）=（~IA+~IB\\A）f（~IAz+~IB\\Az）=~IAf（z）+~IB\\Af（z）≤~iasbr表示Ar=esssupAr（即Ar的本质上确界，参见[10]了解essential上确界的概念），我们将证明Ar∈ 阿拉斯紧随其后。因为存在一个序列{An | n∈ N} 在Arsuch，一个↑ Ar，相应地，存在一个序列{zn|n∈ N}在E中，使得∧IAnf（zn）≤~IAnr foreach n∈ N

由于E具有可数串联特性，因此存在z∈ 那么z=P∞n=1伊恩\\An-1zn+~IAcr0，其中A=, 此外，我们还得到了IArf（z）=(∞Xn=1IAn\\An-1） f（z）=∞Xn=1IAn\\An-1f（~IAn\\An）-1z）=∞Xn=1IAn\\An-1f（zn）（由f的当地财产决定）≤~IArr(*)这表明Ar∈ Ar.设V={z∈ E |IArf（z）≤~IArr}。因为dom（f）6=, 假设u是dom（f）的任何固定元素，那么我们有V={z∈ E|IArf（z）+IAcrf（u）≤~IArr+~IAcrf（u）}={z∈ E | f（~IArz+~IAcru）≤~IArr+~IAcrf（u）}={z∈ 伊尔兹∈ V（f，ξ）-~IAcru}，其中V（f，ξ）={x∈ E | f（x）≤ ξ} ξ=IArr+~IAcrf（u）。因为f是Tc-低se微连续的，所以V（f，ξ）是Tc-闭合的，这显然意味着V是als-oTc-闭合的。10郭铁新、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和小林曾戈也具有可数连接性质，因为V（f，ξ）具有可数连接性质。我们将验证t)IA{x}t)IAV= 尽管如此∈ F和A Arandu（A）>0，如下所示。事实上，如果存在∈ F和A Arandu（A）>0，因此对于某些zA，IAx=~IA·zA∈ V，然后通过f的局部性质，~IAf（x）=~IAf（~IAx）=~IAf（~IAzA）=~IAf（zA）=~IA·IArf（zA）≤~IA·~IArr=~IAr，这与关于r的假设相矛盾。因此，通过备注2.11，存在θ的一些Tc-邻域U，使得~IA（x+U）TIA（V+U）= 尽管如此∈ F和A Arandu（A）>0。因为{xα，α∈ Γ}收敛到x，有一些α∈ Γ使得xβ∈ x+U代表所有β≥ α. 那么，无论如何≥ α和A∈ F和A Arandu（A）>0，我们必须有IAxβ/∈~IAV，这意味着Ar上的~IArf（xβ）>IArr。事实上，如果有这么多meβ≥ α和一些A∈ F和A Arandu（A）>0，使得IA·IArf（xβ）≤~IA·~IArr，因为(*) 我们也有<<IAr\\Af（z）≤~IAr\\Ar，其中z如中所示(*), 总的来说，我们可以得到<<IArf（<<IAxβ+>>IAr\\Az）≤~IArr，即~IAxβ+~IAr\\Az∈ 五、