关于随机凸分析

因为dom（f）=E，（1）通过定理3.1暗示（2）。(2) => （3） 根据定理3.5。(3) => （4） 是克莱尔（3）=> （5） ：让{xn |n∈ N} 是一个关于toTε，λ收敛于x的序列，即{kxn- xk | n∈ N}在概率u中收敛到0，我们只需要证明对于任何子序列{f（xnk）|k∈ N} 关于{f（xn）|N∈ N} 存在一个序列{f（xnkl）|l∈ N} 使得{f（xnkl）- f（x）| | l∈ N}几乎肯定会收敛到0。事实上，自从{kxnk-xk | k∈ N} 概率u仍然收敛到0，存在一个子序列{xnkl | l∈ N} 这样{kxnkl-xk | l∈ N} 几乎肯定收敛到0，这意味着{f（xnkl）- f（x）| | l∈ N} 通过f的几乎确定的连续性，几乎确定地收敛到0。很明显，（4）和（5）中的任何一个都意味着（6）。(6) => （1） 根据定理2.13。这就完成了证明。备注3.7。在定理3.6中，当f只是一个适当的局部函数时，也可以使（4）暗示（6）（等价地，（1））。因此，在[CKV12，FKV12]中使用的几乎全方位的低半连续性是一个强有力的假设。4.次微分微积分（E，P）是R上带基的RLC模(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）适当的功能。让x∈ dom（f），g∈ E*cis称为xifg（x）处f的次梯度- 十）≤ f（x）- f（x）表示所有x∈ E.表示为f（x）f在x上的随机凸分析的次梯度集，f（x）被称为f在x处的次微分f（x）6=, f在x处被称为次微分。郭等人在[GZ15B]中建立了以下次微分定理。提议4.1。[GZ15B]。让（E，P）b E E E一个L-预桶装RLC模块在带底座的R上(Ohm, F、 u）使得E具有可数串联属性和F:E→L（F）一个适当的Tc-下半连续L-凸函数。

然后f（x）6= 为了所有的x∈ int（dom（f））。命题4.1的证明使用了下面的命题4.2，由于它在本文中经常使用，因此陈述如下。下面的命题4.2也适用于任何豪斯多夫-凸模。提议4.2。[FKV09]。设（E，P）是K上带基的nRLC模(Ohm, F、 μ），M和G两个非空L-带G-Tc的E的凸子集-打开如果IAMT IAG= 尽管如此∈ 使得u（A）>0，则存在F∈ E*C按下Ref（x）>Ref（y）on键Ohm 为了所有的x∈ M和y∈ G.一般而言，F（u）+F（u） （F+F）（u）代表所有人∈ E.相反，我们有以下内容：定理4.3。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u），F，F:E→L（F）两个合适的Tc-下半连续L-凸函数和dom（F）Tdom（F）中的u点-在“u”继续，然后（F+F）（u）=F（u）+F（u）代表所有的u∈ E.证据。我们只想证明这一点（F+F）（u） F（u）+F（u），也就是说，每个u*∈ （F+F）（u）可以分解成u*+ U*, 和你*∈ F（u）andu*∈ F（u）。我们的假设是指F（u）和F（u）属于L（F），而对于所有v∈ E、 （4.1）F（v）+F（v）≥ U*（五）- u） +F（u）+F（u）。以两个L为例-E×L（F）中的凸集：C={（v，a）|F（v）- U*（五）- u）- F（u）≤ a} )；C={（v，a）|a≤ F（u）- F（v）}。因为Cis是由G（v）=F（v）定义的函数G的题词- U*（五）-F（u）+u*（u） 对所有人来说∈ E、 这是公关，我-凸与Tc-在u处连续，很容易检查Cis和L-非空Tc凸集-内部它们的内在质量（4.1）会产生~~IAint（C）\\~~IAC=尽管如此∈ F且u（A）>0。根据命题4.2，存在（g，g）∈ （E×L（F））*c=E*c×L（F）*c（通知，L（F）*c=L（F））使得g（v）+g（a）>g（v）+g（a）在Ohm 全部（v，a）∈坎德（v，a）∈ int（C）。表示g（1）=β，则上述不等式变成g（v）+βa>g（v）+βaonOhm 所有人（v，a）∈ Cand all（v，a）∈ int（C）。

因为a可能是任意大的，所以β必须严格小于0Ohm （即β<0）Ohm), 因此我们有了v*（v） +a<v*（v） +aonOhm （通过表示v）*=gβ）适用于所有（v，a）∈ Cand all（v，a）∈ int（C），这意味着v*（v） +a≤ 五、*（v） +a全部（v，a）∈ 坎德尔（v，a）∈ Csince int（C）是Tc-约18岁时，郭铁心、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和曾小林（取v=v，a=F（u））稠密- F（v），v=u，a=0，可以得到*（五）- u）≤ F（v）- F（u）代表所有v∈ E、 即v*∈ F（u）。取v=u，a=0，v=v和a=F（v）- F（u）- U*（五）- u） 一个人可以有那个v*（v） +F（v）- F（u）- U*（五）- u）≥ 五、*（u） ，即（u*- 五、*)（五）- u）≤ F（v）- F（u）for all v∈ E、 因此，美国也是如此*- 五、*∈ F（u）。让你*= U*- 五、*你呢*= 五、*, 塞努*= U*+ U*.这就完成了证明。设（E，P）和（E，P）是K上带基的两个RLC模(Ohm, F、 u）和∧ : E→ 从（E，Tc）到（E，Tc）的连续模同态。定义∧*: （E）*C→ （E）*cby∧*（g） （x）=g(∧（x） ）为了所有人∈ （E）*烛光x∈ E、 被称为∧.与[ET99]中命题5.7的证明类似，可以使用命题4。完成下面定理4.4的证明。定理4.4。设（E，P）和（E，P）是R上的两个RLC模，带基(Ohm, F、 u），∧ : E→ 从（E，Tc）到（E，Tc）和F:E的Ea连续模同态→L（F）适当的Tc-下半连续L-F为Tc的凸函数-在某一点上是连续的∧（\'u）（其中\'u∈ E） 。然后（F）o ∧)（u） =∧*F(∧u） 为了所有的你∈ E.5。G^ateaux-和d Fr\'ech\'et-可微性本节的主要结果是下面的定理5.7和5.10。对于一个网络（ξδ，δ∈ Γ）在L++（F）、（ξδ，δ）中∈ 如果δ≤ ξδ表示所有δ，δ∈ Γ这样的thatδ<δ，其中<是Γ的基本顺序。我们说↓ 0如果（ξδ，δ∈ Γ）正在减小andVδ∈Γξδ= 0.引理5.1。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u），F:E→L（F）和L-凸函数与x∈ E

然后对于任何网络（ξδ，δ∈ Γ）在L++（F）中，使ξδ↓ 0，我们有^f（x+ξy）- f（x）ξ|ξ∈ L++（F）=^f（x+ξδy）- f（x）ξδ|δ∈ Γ尽管如此∈ E.证据。表示η=Vnf（x+ξy）-f（x）ξ|ξ∈ L++（F）oandη=Vnf（x+ξδy）-f（x）ξδ|δ∈ 显然η≤ η. 我们只需要证明η≤ η如下所示。因为f是L-凸的，很容易验证f（x+ξy）-f（x）ξ≤f（x+ηy）-f（x）η表示所有ξ和η∈ L++（F）使得ξ≤ η、 这也表明f（x+ξδy）-f（x）ξδ，δ∈ Γ）正在减少。因此存在一个递减序列{ξδn |n∈ N} 这样f（x+ξδny）-f（x）ξδn↓ η. 自从↓ 0时，存在一个递减的{ξδ′n |n∈ N}↓ 0，设δn∈ Γ是这样的‘△n≥ δnand′δn≥ δ′n，thennf（x+ξ′δny）-f（x）ξ′δn|n∈ 几乎所有地方都没有。我们还可以在不丧失普遍性的情况下，假设{δn | n∈ N}正在增加。对于任何给定的ξ∈ L++（F），设An=（ξ′δn）≤ ξ） ，然后↑ Ohm. 因为f也是局部的，所以我们不能看到f（x+ξ′δny）-f（x）ξ′δn≤f（x+ξy）-n上的f（x）ξ∈ 莱廷→ +∞ 我们可以得到η≤f（x+ξy）-f（x）ξ，进一步表明η≤ η.这就完成了证明。关于随机凸分析19定义5.2。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）是一个适当的局部函数。

进一步，让我们来看看x∈ dom（f）。（1） 据说f在xiff′（x，y）：=limtn处有方向导数↓0f（x+tny）-f（x）tny几乎无处不在∈ 和所有递减序列∈ N}个正数，使tn↓ 0，其中F′（x，y）可以取L（F）中的值，称为F在x方向上的方向导数（2）F在x方向上称为G^ateaux可微分，F在x方向上有方向导数，并且存在u∈ E*c使得f′（x，y）=u（y）代表所有y∈ E、 在这种情况下，u被称为f在x处的G^ateaux导数，用f′（x）表示。（3） 如果（E，P）是RN模（例如，（E，k·k））并且存在u∈ E*胡说f（x+hn）- f（x）- u（hn）khnk |n∈ N对于所有序列{hn|n，几乎处处收敛到0∈ N}这样{khnk |N∈ N} 几乎所有地方都收敛到0，我们采用约定=0，在这种情况下，f在x处称为可微分的，u称为f a t x的Fr’ech’et导数，表示为f（x）。备注5.3。引理5.1表明f′（x，y）总是存在的，并且与vnf（x+ξy）相等-f（x）ξ|ξ∈ L++（F）当F是L时-凸函数，其中f′（x，y）=几乎处处的极限f（x+ξny）-f（x）ξn |n∈ N对于任意序列{ξn |n∈ N} 在L++（F）中，使得ξN↓ 显然，当f′（x，y）存在时，limtn↑0f（x+tny）-f（x）tn也是存在的，并且是精确的-f′（x，-y） 对于任何序列{tn|n∈ N} 指负数，使tn↑ 0.此外，当f在x处是G^ateauxdi可微时，limtn→0f（x+tny）-对于任何序列{tn|n，f（x）tn都存在∈ N}的实数，使tn→ 最后，当f是Fr’ech’et可微分时，f也是og^ateaux可微分的，这两类导数是一致的。研究L的f′（x，y）的性质-凸函数f，我们给出下面的命题5.4，其证明被省略，因为它完全是[AB06]的classicalLemma 5.41的副本。提议5.4。

设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u），F:E→\'L（F）a适当的L-凸函数与x∈ dom（f）。然后| f（x+λy）- f（x）|≤ λmax{f（x+y）- f（x），f（x）- y）- f（x）}∈ E和λ∈ L+（F）使得0≤ λ ≤ 1.让我们回忆一下函数h:E→L（F）被称为L-L（F）上的次线性函数-模E如果f是次可加的，即f（x+y）≤ f（x）+f（y）表示所有x，y∈ E和f也是L-正齐次，即f（ξx）=ξf（x）对于所有ξ∈ L+（F）和x∈ 定理5.5。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u），F:E→\'L（F）a适当的L-凸函数与x∈ dom（f）。然后我们有以下陈述：20郭铁心、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和曾小林（1）f′（x，·）：E→L（F）是一个L-次线性函数；（2） 如果f是Tc-在x处连续，然后f′（x，·）：E→L（F）也是Tc-连续体与f′（x，y）∈ L（F）代表所有y∈ E.证据。（1） 首先，我们证明了f′（x，·）：E→L（F）是L-凸的：事实上，f′（x，λy+（1- λ） y）=极限↓0f（x+tn[λy+（1- λ） y]）- f（x）tn≤ 极限↓0λf（x+tny）- f（x）tn+ (1 - λ)·f（x+tny）- f（x）tn= λf′（x，y）+（1）- λ） f′（x，y），对于所有的y，y∈ E和λ∈ L+（F）使得0≤ λ ≤ 1.然后证明了f′（x，·）：E→L（F）是L-正齐次：如果ξ∈ L++（F）和y∈ E、 f′（x，ξy）=limtn↓0f（x+tnξy）- f（x）tn=ξlimtnξ↓0f（x+tnξy）- f（x）tnξ=ξf′（x，y）注释5.3；如果ξ∈ L+（F），设A=（ξ>0）和Ac=（ξ=0），然后根据F的局部性质，我们可以看到，在Ac上，F′（x，ξy）=0=ξF′（x，y），进一步设EA=IAE，PA={k·kEA | k·k∈ P} 和fA:EA→由FA定义的IA（F）为IAx=IAf（x），则FAI为L（ATF）-在RLC模（EA，PA）上有基（A，ATF，uA）的凸函数，通过我们已经证明的例子，我们可以看到，在A上，~IAf′（x，ξy）=f′A（~IAx，~IAξ·IAy）=IAξ·f′A（~IAx，~IAy）=IAξ·f′（x，y），即f′（x，ξy）=f′（x，y）。

总之，我们得到了f′（x，ξy）=ξf′（x，y）。（2） 因为f是Tc-在x处连续，存在一个L-吸收剂，L-平衡-凸Tc-任意ε的θ的邻域U∈ L++（F）使得| F（x+u）- f（x）|≤ ε表示所有u∈ U、 然后f′（x，u）= 极限↓0f（x+tnu）- f（x）tn≤ 最大{f（x+u）- f（x），f（x）- u）- f（x）}≤ ε.因此f′（x，·）：E→L（F）是Tc-在θ处连续，得到f′（x，·）isTc-在任意点y连续∈ E和f′（x，y）∈ L（F）。这就完成了证明。为了证明下面的定理5.7，我们首先给出下面的引理5.6。引理5.6。设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u），F:E→\'L（F）a适当的L-f为Tc的凸函数-在x处连续∈ E.Thenf（x）+λf′（x，y）≤ f（x+λy）表示所有y∈ E和λ∈ L（F）。证据我们在这些情况下采取了行动。案例1。让λ∈ L++（F）。自f′（x，y）≤f（x+λy）-f（x）λ，λf′（x，y）+f（x）≤f（x+λy）表示所有y∈ E.关于随机凸分析21例2。让λ∈ L（F）等于λ<0Ohm. 因为f′（x，-y）≤f（x）+(-λ)(-y） )-f（x）-λ和0=f′（x，y- y）≤ f′（x，y）+f′（x，-y） ，其中λf′（x，y）=(-λ) · (-f′（x，y））≤ -λf′（x，-y）≤ f（x+λy）- f（x），sof（x）+λf′（x，y）≤ f（x+λy）表示所有y∈ E.案例3。让λ∈ L（F）。设A=（λ>0）、B=（λ=0）和C=（λ<0）。首先，从f的局部性质可以看出f（x）+λf′（x，y）≤ B上的f（x+λy）。然后，正如定理5.5的证明一样，考虑RLC模（EA，PA）和L（ATF）-凸函数fA:EA→可以看到F（x）+λ+F′（x，y）≤ f（x＋λ＋y）在A的情形1中，我们已经证明了。类似地，通过考虑c上对应的情况，我们可以看到f（x）-λ-f′（x，y）≤ f（x）-λ-y） 我们已经用Case2证明了，因此f（x）+λf′（x，y）=IA（f（x）+λf′（x，y））+IB（f（x）+λf′（x，y））+IC（f（x）+λf′（x，y））≤ f（x+λy）的局部性质，其中λ+=λW0和λ-= (-λ） W0。这就完成了证明。定理5.7。

设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和F:E→\'L（F）a适当的L-凸函数。如果f是G^ateaux可微atx∈ E、 那么它在X和X是次微分的f（x）={f′（x）}。相反地，如果f isTc-在X处连续只有一个次梯度，那么f是G^ateaux微分Xf（x）={f′（x）}。证据如果f在x处是G^ateaux可微的，那么首先，很明显f′（x）∈ f（x）：事实上，对于所有y∈ E、 自f（y）- f（x）≥ f′（x，y）- x） =f′（x）（y）- x） ，然后是f′（x）∈ f（x）。那么，让g∈ E*cbe任何元素f（x），然后是ally∈ E和任意给定序列{tn |n∈ N}个正数，使tn↓ 0，f（x+tny）- f（x）≥ tng（y）代表所有n∈ N、 sof′（x）（y）=limtn↓0f（x+tny）-f（x）tn≥ g（y）代表所有y∈ E、 这意味着f′（x）=g。这就完成了定理第一部分的证明。让我们转到第二部分。因为f是Tc-在x处连续，然后乘以5.5的（2），f′（x，y）∈ L（F）代表所有y∈ 进一步，通过引理5.6，f（x）+λf′（x，y）≤ f（x+λy）表示所有y∈ E和所有λ∈ L（F）。设L（y）={（x+λy，f（x）+λf′（x，y））|λ∈ L（F）}对于每个y∈ E.由于int（ep i（f））6= 对于每个y，andf都是本地的，很容易验证∈ E、 L（y）是一个L-凸集inE×L（F）和~IAL（y）T ~IAint（epi（F））= 尽管如此∈ F且u（A）>0。正如定理4.3所述，存在v*Y∈ E*C每个y∈ 这是什么*y（v）+a≤五、*y（v）+a（v，a）∈ L（y）和（v，a）∈ epi（f）。因为L（y）=（x，f（x））+{λ（y，f′（x，y））|λ∈ L（F）}，v*Ys被迫满足v*y（y）+f′（x，y）=0。此外，v*y（x）+f（x）≤ 五、*y（v）+f（v）代表所有v∈ dom（f），意思是-五、*Y∈ f（x）。自从f（x）是一个单态，例如f（x）={u*} 为了某个人*∈ E*c、 然后-五、*y=u*尽管如此∈ E、 所以你*（y） =f′（x，y）表示所有y∈ E、 也就是说，f在x和f′（x）=u处是G^ateaux可微分的*.这就完成了证明。

设（E，P）是R上的RLC模，带基(Ohm, F、 u）和A和L-我们说一个适当的函数f:E→L（F）是：22郭铁新、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和曾小林（1）L-if f（λx+（1）上的凸- λ） y）≤ λf（x）+（1）- λ） y代表所有x，y∈ A和λ∈ 带0的L+（F）≤ λ ≤ 1.（2） 这很奇怪-凸if f（λx+（1）- λ） y）<λf（x）+（1）- λ） 所有x，y的（0<λ<1）T（d（x，y）>0）上的y∈ E和λ∈ 带0的L+（F）≤ λ ≤ 1，其中d（x，y）=W{kx- yk | k·k∈ P} 。与经典情况类似（例如，参见[ET 99]的命题5.4和命题5.5），我们可以有以下内容：定理5.8。设（E，P）是R上的RL-C模(Ohm, F、 u），anL-E和f:E的凸子集→L（F）一个适当的函数，使得F在a上是可微的。那么我们有以下陈述：（1）F是L-i fff（y）上的凸≥ f（x）+f′（x）（y）-x） 为了所有的x，y∈ A.（2） 如果f是L-A上凸，然后f′（·）：A→ E*顺式单调，即（f′（x）-f′（y））（x-y）≥ 0代表所有x，y∈ A.（3） f严格地说是L-f（y）>f（x）+f′（x）（y）上的凸-x） 关于（d（x，y）>0）的所有x，y∈ A.我们将以下面的定理5.10结束这一节，该定理给出了^ateaux和Fr^echKet可微性之间的关系。为此，我们需要以下内容：定义5.9。设（E，k·k）是R上带基的RN模(Ohm, F、 u）和F:E→L（F）一个适当的局部函数，例如，F是与x不同的G^ateaux∈ dom（f）。

f有助于几乎所有地方连续不断地在xif存在差异，存在一些Tc-xsuch thatf的邻域V在V和{f′（xn）|n上是G^ateaux可微的∈ N} c在几乎所有的地方（即{kf′（xn））接近于f′（x）-f′（x）k|n∈ N} 当{xn|N∈ N}是V中的一个序列，使得{kxn- xk | n∈ N} 几乎处处收敛到0，其中，对于E中的元素g*c、 L-规范kgk由kgk=W{| g（x）| x定义∈ E和kxk≤ 1}.现在，我们可以将定理5.10陈述如下：定理5.10。让（E，k·k）成为Tc-带底座的R上的完整RN模块(Ohm, F、 u）使得E具有可数串联性质y和F:E→\'L（F）一个适当的L-凸函数，使得f几乎处处连续，在某个x上可微∈ dom（f）。那么f是Fr\'ech\'et-可区分的atx。定理5.10的原理需要对从有限区间到RN模的抽象函数的黎曼计算进行一些研究，这是郭和张在[GZ12]中首次建立的。让我们首先回顾一下：让[a，b]是一个封闭的有限实区间，（E，k·k）一个带基的k上的RN模(Ohm, F、 u）和F:[a，b]→ E和E-[a，b]上的值D函数。对于任何分区△ : a=t<t<t<tn-1<tn=b，ξi∈ [ti-尽管如此，我还是≤ 我≤ n、 让k△k=max1≤我≤n（ti）- 钛-1） 安德烈（f，△, {ξi}ni=1）=∑ni=1f（ξi）（ti）- 钛-1).定义5.11。[GZ12]。