关于随机凸分析

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《On random convex analysis》
---
作者：
Tiexin Guo, Erxin Zhang, Mingzhi Wu, Bixuan Yang, George Yuan and
  Xiaolin Zeng
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  Recently, based on the idea of randomizing space theory, random convex analysis has been being developed in order to deal with the corresponding problems in random environments such as analysis of conditional convex risk measures and the related variational problems and optimization problems. Random convex analysis is convex analysis over random locally convex modules. Since random locally convex modules have the more complicated topological and algebraic structures than ordinary locally convex spaces, establishing random convex analysis will encounter harder mathematical challenges than classical convex analysis so that there are still a lot of fundamentally important unsolved problems in random convex analysis. This paper is devoted to solving some important theoretic problems. First, we establish the inferior limit behavior of a proper lower semicontinuous $L^0$--convex function on a random locally convex module endowed with the locally $L^0$--convex topology, which makes perfect the Fenchel--Moreau duality theorem for such functions. Then, we investigate the relations among continuity, locally $L^0$--Lipschitzian continuity and almost surely sequent continuity of a proper $L^0$--convex function. And then, we establish the elegant relationships among subdifferentiability, G\\^ateaux--differentiability and Fr\\\'ech\\\'et--differentiability for a proper $L^0$--convex function defined on random normed modules. At last, based on the Ekeland\'s variational principle for a proper lower semicontinuous $\\bar{L}^0$--valued function, we show that $\\varepsilon$--subdifferentials can be approximated by subdifferentials. We would like to emphasize that the success of this paper lies in simultaneously considering the $(\\varepsilon, \\lambda)$--topology and the locally $L^0$--convex topology for a random locally convex module.
---
中文摘要：
近年来，基于随机空间理论的思想，人们发展了随机凸分析，以处理随机环境中的相应问题，如条件凸风险测度分析以及相关的变分问题和优化问题。随机凸分析是随机局部凸模上的凸分析。由于随机局部凸模具有比普通局部凸空间更复杂的拓扑和代数结构，因此建立随机凸分析将遇到比经典凸分析更困难的数学挑战，因此在随机凸分析中仍然存在许多重要的未解决问题。本文致力于解决一些重要的理论问题。首先，我们建立了一个适当的下半连续的$L^0$--凸函数在一个随机局部凸模上的下极限行为，该随机局部凸模具有局部$L^0$--凸拓扑，这完善了这类函数的Fenchel--Moreau对偶定理。然后，我们研究了适当的凸函数的连续性、局部的$L^0$--李普希兹连续性和几乎确定的序列连续性之间的关系。然后，我们建立了定义在随机赋范模上的适当的$L^0$凸函数的次可微性、G \\^ateaux--可微性和Fr \\\'ech \\\'et--可微性之间的优雅关系。最后，基于Ekeland关于适当的下半连续$\\bar{L}^0$--值函数的变分原理，我们证明了$\\varepsilon$--次微分可以近似为次微分。我们想强调的是，本文的成功在于同时考虑了随机局部凸模的$（\\varepsilon，\\lambda）$--拓扑和局部$L^0$--凸拓扑。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Functional Analysis        功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> On_random_convex_analysis.pdf (379.76 KB)

2022-5-11 02:41:37 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：凸分析 Mathematical Differential Optimization relationship

关于随机凸分析郭铁新、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和曾小林。近年来，基于随机空间理论的思想，人们发展了随机凸分析，以解决随机环境中的相应问题，如条件凸风险测度分析以及相关的变分问题和优化问题。随机凸分析是随机局部凸模上的凸分析。由于随机局部凸模具有比普通局部凸空间更复杂的拓扑结构和代数结构，因此建立随机凸分析将遇到比经典凸分析更困难的数学挑战，因此在随机凸分析中仍然存在许多根本性的重要待解问题。本文致力于解决一些重要的理论问题。首先，我们在具有局部L-凸拓扑的随机凸模上建立了适当的下半连续L-凸函数的下界性态，从而完善了此类函数的Fenchel-Moreau对偶定理。然后，我们研究了适当L-凸函数的连续性、局部L-李普希兹连续性和几乎确定的序列连续性之间的关系。然后，对于定义在随机赋范模上的适当L-凸函数，我们建立了次微分性、G^ateaux-可微性和Fr^echKet-可微性之间的优雅关系。最后，基于Ekeland下半连续L值函数的变分原理，我们证明了ε-次微分可以用次微分来近似。我们想强调的是，本文的成功在于同时考虑了随机凸模的（ε，λ）-拓扑和局部L-凸拓扑。。1.

引言经典凸分析在数学金融、变分问题、优化问题、Banach空间理论和非线性泛函分析中发挥了各种重要作用，例如[AB06、ET99、Phe89、Roc70、Yuan98、Yuan99]。特别是，自Artzner等人【ADEH99】于1999年引入相干风险度量以来，随后F¨ollmer和Schied【FS02】以及Fritlellian和Rosazz a Gianin【FRG02】独立引入了更多的广义凸风险2000数学学科分类。46A16、46A19、46A20、46H25、46H30、54A41、60H25。关键词和短语。随机局部凸模，L-凸函数，（ε，λ）-拓扑，局部L-凸拓扑，连续性，次可微性，G^ateaux-可微性，Fr\'ech\'et-可微性。本文的前四位作者得到了国家自然科学基金会的支持。11171015号和11571369号。乔治·袁：通讯作者。本文的第六作者得到了国家自然科学基金项目11301568.2郭铁新、张二新、吴明志、杨必轩、袁乔治和小林的支持。2002年，经典凸分析成为凸风险度量的分析基础，请参考[FS11]了解c凸分析在随机金融中的应用。在条件或动态环境中，通过充分利用市场或环境中的信息，需要条件（或动态）凸风险度量的概念来更精确地度量风险，这是由Detlefsen和Scandolo[DS05]以及Bio n–Nadal[BN04]在2004年独立提出的。

一开始，经典的凸分析s till可以发展其研究有限金融头寸条件凸风险度量的能力，例如，参见[DS05、BN04、FP06]。然而，一般来说，经典凸分析不再适用于条件凸风险度量的研究，例如，经典凸分析不能处理无界财务头寸上定义的条件凸风险度量的对偶表示。Filipovi\'c、Kupper和Vogelpoth在[FKV09]中首次指出了这种现象，在[FKV09]中引入了局部L-凸模，并建立了两个L-凸集之间的超平面分离定理，其中一个是开放的。除了这些重要贡献外，[FKV09]中的Filipovi\'c、Kupper和Vogelpoth还试图建立局部凸模上的凸分析（称为随机凸分析）。然而，局部L–凸模具有复杂的拓扑和代数结构，正如郭等人在[GZZ12]中指出的，并由[Zap17]中的Zapata和[WG15]中的Wu a和Guo独立证明，等人的论文[FKV09]没有很好地处理复杂的拓扑和代数结构，因此[FKV09]中建立的随机凸分析远远不能满足条件凸风险度量的需要。实际上，在[GZ12]中，我们开始了一种新的随机凸分析方法，即选择random局部凸模作为随机凸分析的空间框架。

虽然r和OM局部凸模和局部L-凸模都是经典局部凸空间的随机推广，但随机局部凸模的结构是由L-半模族决定的，L-半模族可以同时归纳出两种拓扑（ε，λ）-拓扑和局部L-凸拓扑，而局部L-凸模只涉及局部L-凸拓扑。此外，这两种拓扑各有优缺点，尤其是随机局部凸模的两种拓扑的基本理论之间有着天然的联系，详见[Guo10，Guo13，GY12，GZZ 15a，ZG12]，读者可以看到这两种拓扑的优点和缺点可以相互补充。因此，只有将随机凸分析放入随机局部凸模中，才能彻底地处理随机凸分析。最近，我们沿着上述思想发展了一些关于随机凸分析的基本结果，例如，在[GZ15A]中，我们给出了一个点与L-凸闭集之间的定义超平面分离定理，以及一个适当的下连续L-凸函数的Fenchel-Moreau对偶定理，在[GZZ15b]中，我们给出了L-预桶装随机局部凸模上一个适当的下半连续L-凸函数的连续性和次微分定理，特别是一个随机局部凸模是L-预桶装的刻画，在[GZZ 14]中，我们给出了随机凸分析在条件风险测度中的一些应用。

事实上，[GZ15A，GZ15B]中的工作表明，建立随机凸分析3随机凸分析几乎需要随机函数分析（通常也称为随机度量理论）的所有成果，该理论涉及随机度量空间、随机赋范模和随机内积模的分析。这种随机函数分析的新方法是郭在[Guo92，Guo93]中提出的，他的动机是概率度量空间理论[SS8305]，其中K.Menger，B.Schweizer和a.Sklar提出了随机空间理论的想法。在随机凸分析的发展过程中，有许多内在的或本质的挑战。事实上，这些挑战也是功能分析一直存在的。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，K是实数或复数域，L（F，K）是K值随机变量的等价类代数Ohm L（F）上扩展实值随机变量的等价类集合Ohm. 从[DS57]可知，L（F）是偏序下的完全晶格≤ : ξ ≤ ηi ffξ（ω）≤ η（ω）表示P–几乎所有ωOhm L（F，R）是一个序完备格，而R代表实数集。命令≤ L（F，R）是一个偏序，这给随机凸分析的研究带来了巨大的困难，因为L-范数、L-半范数和L-凸函数的值取L（F，R）或¨L（F）中的值，不同于通常的范数、半范数和凸函数的值取R或[-∞, +∞].

另一方面，R的有用拓扑通常是唯一的，即欧几里德拓扑，其中as L（F，R）具有许多有用的拓扑，例如，概率测度收敛的拓扑和局部L-凸拓扑（有点类似于一致收敛的拓扑），这使得随机赋范模和随机局部凸模具有非常复杂的拓扑结构。此外，随机赋范模和随机局部凸模是L（F，K）-模，不同于赋范spa c E和局部凸空间是K上的线性空间，因为L（F，K）-模具有极其复杂的代数结构。研究随机赋范模和随机局部凸模常常需要分析复杂的结构。正是由于上述的复杂性，在随机凸分析中还有许多基本和重要的问题没有解决。本文继续了随机凸分析的研究，解决了一些基本的理论问题。本文给出了定义在随机局部凸模上的真值函数的下半连续性的Throug h处理。给定一个随机局部凸模（E，P），我们总是用Tε，λ和tc分别表示（ε，λ）–拓扑y和由族P of L–半形导出的局部L–凸拓扑。现在，让（E，P）是实数域R上的随机局部凸模(Ohm, F、 P）使得E和P都具有可解释的凝聚性，F:E→L（F）一个适当的局部函数和pi（F）：={（x，r）∈ E×L（F，R）|F（x）≤ r} 。

那么下列语句是等价的：（1）{x∈ E | f（x）≤ r} Tc-是否因任何原因关闭∈ L（F，R）；（2） epi（f）在（E，Tε，λ）×（L（f，R），Tε，λ）中闭合；（3） epi（f）在（E，Tc）×（L（f，R），Tc中闭合；（4） limαf（xα）≥ f（x）对于任意x∈ E和任何网络{xα，α∈ Γ}关于Tc收敛到x，其中limαf（xα）=Wβ∈Γ（Vα）≥βf（xα））。这个命题在随机凸分析中至关重要。尽管从菲利波维奇、库珀和沃格尔波特[FKV09]到郭、赵和曾的第四次铁心国、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和曾小林[GZ15A]到我们最近的论文[GZ15A]的早期版本[GZ15A]都致力于研究（1）、（3）和（4）之间的等价性，在[GZ15a]中，我们意识到这些论文还没有给出（1）意味着（4）的严格证明，这是命题证明中最困难的部分。本文首次完成了证明。在[GZ15B]中，郭、赵和曾建立了一个关于适当的Tc-下半连续L-凸函数的连续性定理。在本文中，我们讨论了如果一个适当的L-凸函数在某一点是Tc-连续的，那么它在这一点上是lo callyL-Lipschitz的，这进一步意味着它在几乎确定收敛的意义上也是连续的。特别是对于定义在具有可数串联性质的完全随机赋范模上的L-值L-凸函数，我们证明了Tε、λ-连续性、Tc-连续性和几乎肯定的序列连续性是一致的。在[GZ15B]中，郭、赵和吴泽建立了一个关于下半连续L-凸函数的次微分定理。在本文中，我们进一步建立了次微分的运算规律，特别是我们还开始了对一个算子凸函数的G^ateaux–和Fr\'ech\'et–可微性的一般研究。

众所周知，普通凸函数的G^ateaux–和Fr\'ech\'et–可微性理论是经典凸分析中最深刻、最困难的部分，参见[Phe89]。然而，对于L-凸函数，除了一些关于极端特殊情况下的Fr\'ech\'et-可微性的研究[CKV12]外，还没有这样的一般L理论。

由于Guo和Zhang对从实区间到Tε，λ-完全随机赋范模[GZ12]的抽象函数的Rie-mann演算，我们可以对定义在随机赋范模上的适当凸函数给出G^ateaux–和Fr\"ech\"et–可微性的适当定义，并建立子可微性之间的elega关系，G^ateaux–和Fr\'ech\'et–差异性。最后，通过郭和杨最近发展的Ekeland关于完备随机赋范模[GY12]的变分原理，我们证明了ε-次梯度可以用一个适当的下半连续L-凸函数的次梯度来近似，方法比[Yang12]简单，特别地，我们建立了G^ateaux在适当的下半连续L-值函数的一个近似极小点处可微的性质，该函数在复范数模上有界，G^ateaux-可微，这是Ekeland在[Eke74]中相应的经典结果从全序到偏序r的推广，应该指出的是，当我们研究随机凸分析时，我们还看到了其他一些与我们的工作密切相关的重要工作。例如，Frettelli和Maggis在[FM14a，FM14b]中引入了条件均匀凸集并研究了条件均匀拟凸函数的对偶表示，Eisele和Taieb在[ET15]中研究了局部凸λ–模的弱拓扑，Zapata在[Zap16]中给出了rando mize d版本的Mazur引理和Krein-Smulian定理，并将其应用于条件凸风险度量s。