关于随机凸分析

设[a，b]为ε，λ处的闭有限实区间（E，k·k）-带底座的K上的完整RN模块(Ohm, F、 u），F:[a，b]→ E和E-[a，b]和^u上定义的值函数是与u相关的概率度量。（1） 如果存在I，则称f为黎曼可积∈ E的性质是：对于任何给定的正数ε和λ，存在一个正数δ，0<λ<1，即^u{ω∈ Ohm | kR（f，△, {ξi}ni=1）- Ik（ω）<ε>1- λ关于随机凸分析23k△任意划分的k<δ△ : a=t<t<··<tn=b，以及{ξi|1的任意选择≤ 我≤ n} 这样ξ∈ [ti-1，ti]与1≤ 我≤ n、 时间I被称为[a，b]上f的黎曼积分，表示为byRbaf（t）dt。（2） 据说f在某个t点是黎曼可导的∈ [a，b]如果limn→∞f（田纳西州）-f（t）tn-关于任意序列{tn|n的tε，λ的texists（用f′（t）表示）∈ N} 在[a，b]这样的地方→ t、 此外，如果f在每一点t都是黎曼可导的，则f在[a，b]上称为黎曼可导的∈ [a，b]。很容易看出单调函数f:[a，b]→ L（F）（即F（t）≤f（t）对于任何t，t∈ [a，b]这样t≤ t） 是黎曼可积的。在[GZ12]中，郭和张提供了另一类黎曼可积函数：如果f是从[a，b]到Tε，λ的连续函数-赋予（ε，λ）的完整RN模（E，k·k）-拓扑结构和满足W{kf（t）k|t∈ [a，b]}∈L+（F），那么F是黎曼可积的。具体而言，以下牛顿-莱布尼茨公式是在[GZ12]中建立的。引理5.12。[GZ12]。设[a，b]为闭有限实区间，（E，k·k）atε，λ-带底座的K上的完整RN模块(Ohm, F、 u）和F:[a，b]→ E[a，b]上的黎曼可导函数，使得f′（·）：[a，b]→ E是黎曼可积的_kf（t）- f（t）kt- t | t，t∈ [a，b]和t6=t∈ L+（F）。Thenf（b）- f（a）=Zbaf′（t）dt。现在，我们可以证明西奥·雷姆5.10。定理5的证明。10

让{hn|n∈ N} 是E中的任意序列，使得{khnk |N∈ N}几乎处处收敛于0，我们只需要证明| f（x+hn）-f（x）-f′（x）（hn）|khnk几乎处处收敛于0。由于f几乎处处连续地在x处可微分，因此存在ε∈ L++（F）使得F′（·）：Bε（x）：={y∈ E|ky- xk≤ ε} → E*cis几乎处处在x处连续。我们将在以下两种情况下继续。案例1。让每个HNNK≤ ε表示所有n∈ N.现在，fix N，sincex+thn=（1）- t） x+t（x+hn）∈ Bε（x），那么函数H:[0，1]→ L（F），由H（t）=F（x+thn）定义∈ [0,1]对于所有t，Riemann-der-ivable[0,1]和h′（t）=f′（x+thn）（hn）是吗∈ [0, 1]. 很容易看出H是凸的，即H（λt+（1）- λ） （t）≤ λH（t）+（1）- λ） H（t）代表所有t，t∈ [0,1]和λ∈ [0, 1].与实值凸函数类似（例如参见[AB06]），很容易验证H′（·）是单调的，f′（x）（hn）≤H（t）- H（t）t- T≤ f′（x+hn）（hn）表示所有t，t∈ [0,1]使得t6=t_|H（t）- H（t）| | t- t | | t，t∈ [0,1]a和t6=t≤f′（x）（hn）_f′（x+hn）（hn）.因为（E，k·k）是Tε，λ-这两项工作都是完整的-完全且E具有可数连接性质，这已在[Guo10]中得到证明，我们可以使用24个铁心郭、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和小林ZENGLemma 5.12。然后，通过引理5.12，f（x+hn）- f（x）=Zf′（x+thn）（hn）dt，因此f（x+hn）- f（x）- f′（x）（hn）≤Zf′（x+thn）（hn）- f′（x）（hn）dt=Zf′（x+thn）（hn）- f′（x）（hn）dt≤ f′（x+hn）（hn）- f′（x）（hn）≤f′（x+hn）- f′（x）这表明f（x+hn）- f（x）- f′（x）（hn）KNK≤f′（x+hn）- f′（x）,几乎所有地方都收敛到0，因为n趋于∞.案例2。让An=（khnk）≤ ε） 每n∈ N和definehn=~IAnhn+~IAcn·0每N∈ N.然后{khnk |N∈ N}几乎在所有地方都收敛到0，而khnk≤ ε每n∈ N

通过案例1，我们证明了| f（x+hn）-f（x）-f′（x）（hn）|khnk几乎在任何地方都收敛为0→ ∞. 当一个o观测到f（x+hn）- f（x）- f′（x）（hn）khnk=f（x+hn）- f（x）- f′（x）（hn）khnkon anforeach n∈ N（由f的局部性质可知，|f（x+hn）-f（x）-f′（x）（hn）|khnk几乎在任何地方都收敛为0→ ∞ 自从↑Ohm.这就完成了证明。6.次微分和ε-次微分本节的主要结果是下面的定理6.3和6.4，它们基于郭和杨在[GY12]中建立的Ekeland变分原理-完备随机度量空间上的值函数。命题N6.1只是[GY12]定理3.10的特例，但它满足了本节的要求。提议6.1。[GY12]。让（E，k·k）成为Tc-带底座的R上的完整RN模块(Ohm, F、 u）使得E具有可数串联性质ε∈ L++（F），F:E→“L（F）是本地的，Tc-下半连续且自下有界（即V{f（x）|x∈ E}∈ L（F））和x∈ E使得f（x）≤V{f（x）|x∈ E} +ε。然后对每个λ∈ L++（F）存在xλ∈ E以满足以下条件：（1）f（xλ）≤ f（x）-ελkxλ- xk；（2） kxλ- xk≤ λ;（3） ελkxλ- xk+f（x） 每x的f（xλ）∈ 使x 6=xλ。关于随机凸分析256.2。事实上，命题6.1的（3）也暗示了以下关系：（3）′ελkxλ-对于每个x，xk+f（x）>f（xλ）∈ 例如x 6=xλ，其中“>”表示≥” 和“6”。如果存在v∈ E，v6=xλ，因此（3）′不是真的。如果ελkxλ- vk+f（v）=f（xλ），这与（3）相矛盾。如果ελkxλ- vk+f（v）6=f（xλ），则u（A）>0，其中A=ελkxλ- vk+f（v）<f（xλ）. 设v=IAv+IAcxλ，然后v6=xλ和ελkxλ- \'vk+f（\'v）≤ f（xλ），这也与（3）相矛盾。定理6.3。设（E，k·k）、ε、x和f与命题6.1相同。

此外，如果f是从E到L（f）的G^ateaux可微函数，则存在sxλ∈ 对于每个λ∈ L++（F）以满足以下条件：（1）F（xλ）≤ f（x）；（2） kxλ- xk≤ λ;（3） kf′（xλ）k≤ελ.证据L t xλ可按提案N6.1获得，然后xλ满足（1）和（2）。通过注释6.2中的（3）′，对于每个t∈ [0,1]和v∈ E有ελtkvk+f（xλ+tv）≥f（xλ），所以-ελkvk≤ f′（xλ）（v），也意味着kf′（xλ）k≤ελ. 定理6.4。让（E，k·k）成为Tc-带底座的R上的完整RN模块(Ohm, F、 u）使得E具有可数串联性质ε∈ L++（F），F:E→L（F）适当的Tc-下半连续L-凸函数∈ 伊恩和你*∈ E*C你说呢*∈ εf（u）。然后存在uλ∈ E和u*λ∈ E*c每个λ∈ L++（F）以满足以下条件：（1）ku- uλk≤ λ;（2） 库*- U*λk≤ελ;（3） u*λ∈ f（uλ）。特别是，如果我们取λ=√ε、 然后存在uε∈ E和u*ε∈ E*C应满足以下条件：（4）ku- uεk≤√ε;（5） 库*- U*εk≤√ε;（6） u*ε∈ f（uε）。证据L e t G:e→L（F）由G（v）=F（v）定义- U*（v） +f*（u）*) 对于llv来说∈ E、 f在哪里*: E*C→L（F）是Tc-f的随机共轭函数。曾（u）≤V{G（V）|V∈ E} +ε定义为εf（u）。因此，我们可以将命题6.1应用于G，存在uλ∈ 以满足以下条件：（i）ku-uλk≤ λ、 G（uλ）≤ G（u）；（ii）ελkv-uλk+G（v） G（uλ）对所有v∈ 使得v6=uλ。表示V（ε/λ）=（五、a）∈ E×L（F）|a+ελkvk≤ 0, 然后（ii）得到以下关系：（iii）epi（G）T（（uλ，G（uλ））+V（ε/λ））={（uλ，G（uλ））}。的确，让（v，r）∈ epi（G）和（v）- uλ，r- G（uλ））∈ V（ε/λ），即G（V）≤ 兰德r-G（uλ）+ελkv-uλk≤ 0

然后G（v）+ελkv- uλk≤ G（uλ）和r≤ G（uλ）。这表明v=uλ乘以（ii）和r=G（uλ）。此外，我们还有以下关系：（iv）~IAepi（G）T ~IA（（uλ，G（uλ））+int（V（ε/λ））= 尽管如此∈ μ（A）>0的F，其中int（V（ε/λ））代表Tc-V（ε/λ）的内部。26郭铁新、张二新、吴明志、杨碧轩、袁乔治和曾小林事实，如果存在∈ μ（A）>0（v，r）时的F∈ epi（G）和（v，r）∈（uλ，G（uλ））+int（V（ε/λ）），使得IA（V，r）=IA（V，r），然后，通过定义（V，r）=IA（V，r）+IAc（uλ，G（uλ））（＝IA（V，r）+IAc（uλ，G（uλ）），一个c可以看到（V，r）∈ epi（G）T（（uλ，G（uλ））+V（ε/λ））由-这两个集合的凸性，使得（v，r）=（uλ，G（uλ））乘以（iii），这进一步意味着∧IAv=~IAvand∧IAr=~IAr=~IAG（uλ），而在t（v（ε/λ））={（v，a）∈ E×L（F）| a+ελkvk<0开Ohm} 显示了上的r<G（uλ）Ohm 所以不可能是<<IAr=<<IAG（uλ）。因此，我们可以将命题4.2应用于epi（G）和（uλ，G（uλ））+int（V（ε/λ）），存在G∈ E*Cβ∈ L（F）使得g（v）+βa>g（v）+βaonOhm 福尔（v，a）∈ epi（G）和（v，a）∈ （uλ，G（uλ））+int（V（ε/λ））。因为对于（v，a）满意（v，a）来说，我是非常大的∈ epi（G），则必须推导出Ohm. 让h*= g/β，则满足以下关系：（v）h*（v） +a≥ H*（v） +a全部（v，a）∈ epi（G）和（v，a）∈ （uλ，G（uλ））+V（ε/λ）sinc e int（V（ε/λ））是Tc-在V（ε/λ）中稠密。首先，对于任何给定的（w，s）取（v，a）=（uλ，G（uλ））和（v，a）=（uλ，G（uλ））+（w，s）∈ V（ε/λ），可以推断h*（w） +s≤ 0代表全部（w，s）∈V（ε/λ）。此外，很明显，当=-ε/λ和w∈ E是这样的kwk≤ 1，因此*k=W{h*（w） |w∈E和kwk≤ 1} ≤ελ.

现在，让我们*λ=u*- H*, 然后顾*λ- U*k=kh*K≤ ε/λ.然后，取（v，a）=（v，G（v））表示任何给定的v∈ dom（G）and（v，a）=（uλ，G（uλ））在（v）中，可以推断h*（v） +G（v）≥ H*（uλ）+G（uλ），即h*（五）- uλ）+G（v）- G（uλ）≥ 0代表所有v∈ dom（G）。同样，根据G的定义，我们得到了u*λ（v）- uλ）≤ f（v）- f（uλ）对于所有v∈ dom（f），这显然意味着*λ∈ f（uλ）。这就完成了证明。推论6.5。让（E，k·k）成为Tc-带底座的R上的完整RN模块(Ohm, F、 u）使E具有可数串联特性，且F:E→L（F）适当的Tc-下半连续L-凸函数。然后设置{u∈E|F（u）6=} 是Tc吗-在dom（f）中稠密。证据由于E和P={k·k}都具有可数串联性质，对于任何u∈ dom（f）和任意ε∈ L++（F），存在u*∈ εf（u）由Remar k2表示。19.然后，定理6.4产生uε∈ E和u*ε∈ E*C这样的kuε- 英国≤√ε、 库*ε- U*K≤√εa和u*ε∈ f（uε）。备注6.6。虽然命题4.1也可以推导出6.5的推论，因为集合{u∈ E|f（u）6=}  int（dom（f））很明显，int（dom（f））是Tc-densein dom（f），我们想强调Ekeland的变分原理命题6.1的力量，因为我们可以得到一个强有力的结论，即u和u*（和你一起∈ dom（f）和u*∈ εf（u））可以同时用uε和u来近似*ε与u*ε∈ f（uε），分别为。备注6.7。最后，我们还应该提到Yang Y.J.在[Yang12]中的工作，她也提出并证明了定理6.4，但她的（iv）证明（见定理6.4的证明过程）采用了相对拓扑和极其复杂的分层分析中相当复杂的技术。与她的相比，我们对（iv）的证明简单明了。关于随机凸分析27参考文献AB06。阿利普兰蒂斯，C.D.，边境，K.C.（2006）。

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