Léevy模型中期权定价的灵活Galerkin方案

虽然M与手头的具体问题无关，但F和α代表输入数据，因此可能因不同的选项类型而异。承载驾驶过程信息的stiffence矩阵A。因此，为了获得对模型类型的灵活性，我们需要一种通用的方法来计算stiffness矩阵的条目。对于具有紧支集的光滑基函数和无加权的解空间，即η=0，根据（2）、（6），Stiff矩阵项由~nk，~nj= -dXl，m=1σj，mZRdLm~nk（x）~nj（x）dx-dXl=1blZRdlаk（x）аj（x）dx-ZRdZRdνk（x+y）- ~nk（x）-dXl=1l k k（x）hl（y）F（dy）~nj（x）dx。（16） 典型的b asis函数并不平滑。因此，积分表示（16）是否扩展到通常的基函数，目前尚不清楚。注意，这种表示的扩展需要一些注意：对于一大类重要的纯跳跃L′evy过程，解空间是分数阶的Sobolev-Slobodeckii空间，即Hα，其中一些0<α<1。然而，对于α<1的Hα中的函数，（16）中的一阶弱导数没有定义，因此双线性形式的积分表示也没有定义。可以看出，基本函数通常在H中，同样在更具挑战性的情况下，对于分数阶微分方程的解s，我们在适当的假设下导出了表示的有效性。引理3.1。设d=1。让a由（9）定义。假设（A1）-（A3）表示a，V和h，并用a:V×V表示其唯一的双线性连续扩张。

如果Hη（R） V，对于每一个ψ，ψ∈ Hη（R），a（ψ，ψ）=σZR~n′（x）ψ′（x）e2ηxdx- b（η，σ，F）ZR~n′（x）ψ（x）e2ηxdx-ZRZ|y|<1zyz|′（x+v）d v dzF（dy）ψ′（x）+2ηψ（x）e2hη，xidx（17）-ZRZ | y |>1~n（x+y）- ~n（x）F（dy）ψ（x）e2hη，xidxb（η，σ，F）=b- 2ση+Z | y |<1Y- h（y）F（dy）-Z | y |>1h（y）F（dy）。证据见A.1节。检查双线性形式的表达式时，我们遇到了几个数字挑战，因为过程中的跳跃产生了积分部分：1。与BlackScholes方程相关的Stiff ness矩阵的吸引人的三对角结构不适用于一般的L’evy设置。相反，效能矩阵人口密集。令人高兴的是，它仍然是一个托普利茨矩阵。2.对于L’evy度量和基数的某些选择，Stiff ness矩阵项可能以封闭形式推导。例如，默顿模型和分段线性基函数就是这样。根据Hilber等人（2013）的第10.6.2节，Stifff矩阵项可以半封闭形式的表达式导出，用于进一步的压缩强度组，包括回火稳定、CGMY和Kobol过程，以及分段线性基函数的选择。因此，在驱动L’evy过程中灵活的实现必须依赖于stiffness矩阵条目的数值近似。这些近似值不可避免地影响方案（13）-（14）解的准确性。

问题来了：为了满足解决方案V的期望精度，积分例程必须达到多高的精度？为了对因stiffness矩阵条目不准确而产生的误差的大小获得第一个实用见解，我们接下来进行了一项实证调查。3.3 Stiff ness矩阵近似值的精度研究为此，我们对Stiff ness矩阵条目进行精度研究，模拟Stiff ness矩阵中积分误差的传播，直至计算出期权价格。我们选择Black-Scholes模型，该模型的所有矩阵中心的精确值都是已知的，本研究假设市场波动率σ=0.2，利率=0.01。使用经典的FEM解算器，我们推出了一个strikeK=1且到期日为T的看跌期权∈ [0,3]用于股票S的当前值∈ [Smin，Smax]最小值为0.01，Smax=10。我们将涉及的FEM hat函数的数量设置为toN=150，从而生成一个包含150个内部网格节点的网格，网格密度h=0.0464。我们知道Black-Scholes模型的质量矩阵由m=h给出4 1 0 ··· 01 4 1.....................1 4 10 ··· 0 1 4∈ RN×N，由A=Abs=A（1）+A（2）+rM给出的阻力矩阵∈ RN×N，（18）where（1）=R-σ0-1 0 ··· 01 0 -1.1 0 -10 ··· 0 1 0, A（2）=σh2.-1 0 ··· 0-1 2 -1.-1 2 -10 ··· 0 -1 2.利用这些矩阵，我们建立了θ=0.5的θ方案，并推导出Black-Scholesput期权价格。我们使用这些矩阵来模拟结果pricingsurface如何受到数值求解这些积分时可能出现的不精确性的影响。

在这种程度上，我们采用（18）给出的正确的stiffness矩阵，并在不同的位置随机扭曲每个条目∈ N在临界点后加εDi=10-（D）-1） εi与随机εi∈ (-对我来说∈ {-（N）-1), . . . , -1, 0, 1, . . . , （N）-1） }在矩阵A的（侧）对角线i上。因此，原始stiffness矩阵的每个（侧）对角线受到均匀影响，保持矩阵的toeplitz结构完整。因为Aijis的值只由j的值决定- i、 这种失真模拟了集成不准确可能产生的影响。因此，对于D∈ N我们通过ADDISTORT=A+εD定义扭曲的stiffness矩阵∈ RN×N，（19），εD=10-（D）-1)εε······εN-1ε-1εε............ε-2ε-1.εε............ε-1εεε-（N）-1)··· ··· ··· ε-2ε-1ε∈ RN×N，均布εi∈ (-1，1），我∈ {-（N）- 1), . . . , -1, 0, 1, . . . , （N）- 1） }，它们是相互独立绘制的。使用这些扭曲的stiffness矩阵为不同的值D添加∈ N、 我们再次推导了Black-Scholes模型中putoption的价格曲面，并比较了扭曲的stiffness矩阵Addistor的价格差异∈ RN×从影响系数矩阵A中扣除价格∈ RN×N.图1显示了研究结果，并强调了在计算Stiff矩阵时需要高数值精度。我们观察到，绝对价格差异在D中几乎呈线性下降。D=3的精度对应于精确到小数点后第三位的积分结果。以如此低的积分精度计算的stiffness矩阵产生的定价是不可接受的。在图1左上角可以观察到的各个定价错误表明了几百个百分点的相对误差。

随着更精确的积分结果，误差在D中减小，直到高lytd=3S-5-10-15TD=5S-0.010.010.02TD=7S-5×10-5TD=10S0。5-0.5-1-1.5×10-7图1：因stiffness矩阵扭曲而产生的绝对价格差异。真实和扭曲的价格描述了BlackScholes模型中看跌期权的市场价值，参数化来自第3.3节。我们使用（18）给出的差分矩阵a将θ方案的价格面与（19）中定义的a的扭曲版本Addistor替换a时的相应价格面进行比较，以获得不同的D值∈ N.失真的影响D中的增加。D=7及以上的价格结果具有吸引力。由扭曲的stiffness矩阵导致的定价误差的大小强调了尽可能准确地推导stiffness矩阵条目的必要性。4科尔莫戈罗夫方程的傅里叶方法关于stiffness矩阵项的逼近需要达到的高精度，我们希望避免在表示的基础上对stiffness矩阵中心进行数值计算（17）。为了寻找效率矩阵的替代表示，让我们指出，L’evy过程的符号A总是可用的。更重要的是，它是过程参数的显式函数，我们可以将其视为过程的建模质量，如下面的示例4.6–4.9所示。因此，我们对科尔莫戈罗夫方程的变分公式采用傅里叶观点。这一点尤其重要，因为L′evy过程的KolmogorovoOperator A是一个伪微分算子，符号为A，Aа=F-1（AF（~n））适用于所有∈ C∞（Rd），（20）正如基本操作所示。

现在，对于所有的φ，ψ，Parseval的恒等式yieldsa（φ，ψ）=（2π）dZRdF（Aφ）（ξ）F（ψ）（ξ）dξ（21）∈ C∞（Rd）分别为a（φ，ψ）=（2π）dZRdA（ξ）F（φ）（ξ）F（ψ）（ξ）dξ。（22）这个众所周知的恒等式已经被证明对分析Komogorov方程的变分解非常有益，例如Hilber等人（2013）、Glau（2016a）和Glau（2016b）。在这里，我们利用这种表示进行数值实现。引理4.1（双线性形式的连续扩展）。设A为特征三元组（b，σ，F）给出的L’evyprocess的符号。用A:C表示∞（Rd，C）→C∞（Rd，C）与符号A相关的伪微分算子。此外，用A:C表示∞×C∞→ C与算子A有关的双线性形式。Letη∈ Rd.Ifi）指数矩条件z | x |>1e-hη′，xiF（dx）<∞ （23）所有η′保持∈ sgn（η）[0，|η|]×··×sgn（ηd）[0，|ηd |]andii）存在一个常数C>0和|a（z）|≤ C（1+kzk）α（24）对于所有z∈ U-ηu-η=U-η1×·U-ηd（25）与U-ηj=R- i sgn（ηj）[0，|ηj |），则a（·，·）具有唯一的线性扩张a:Hα/2η×Hα/2η→ C可以写成asa（ψ，ψ）=（2π）dZRdA（ξ- iη）b~n（ξ）- iη）bψ（ξ）- iη）dξ（26）对于所有的ψ，ψ∈ Hα/2η（Rd）。证据该证明可在Eberlein和Glau（2011）中找到，使用定理4.1和Parseval恒等式。为了在收敛性分析中获得初步见解，我们在Galerkin格式中定义了一个级别N，并推导了通过近似Stiff矩阵项获得的弱解序列收敛的条件。在下面第5节的实现中，我们还将大致计算等式的右侧。我们在前面更一般地考虑了斯蒂夫矩阵、右手边和初始条件的序列。通常，对于给定的双线性形式，我们表示a:V×V→ R关联操作员A:V→ 五、*由A（u）（v）定义：=A（u，v）代表所有u，v∈ 五、引理4.2。

设V，H和a:V×V→ R满足（A1）–（A3）。设X:=span{~n，…，~nN} V和每n∈ N let（An1）fn，f∈ L（0，T；H）与fn→ f in L0，T；十、*),（An2）gn，g∈ H和gn→ g在H中，（An3）an:V×V→ R是一个双线性形式，使得对于所有j，k≤ N（安）- a） （j，k）→ 0.（27）则唯一弱解的序列vn∈ ˙vn+Anvn=fn，vn（0）=gn（28）的W（0，T；X，H）在L中强收敛0，T；十）∩ C（0，T；H）到唯一弱解v∈W（0，T；X，H）˙v+Av=f，v（0）=g.（29）第A.2节提供了证明。基于von Petersdorff和Schwab（2003）提出的技术，可以推导出为完全离散格式提供渐近收敛速度的深入收敛分析，这超出了本文的范围。4.1符号法Galerkin FEM解算器的关键部件是依赖于模型的stiff矩阵。使用上述第3.2节的表达式（16），可以导出该矩阵的条目。然而，该表达式中存在的L’evy测度F使矩阵的数值推导变得更加复杂。此外，第3.3节的经验精度研究强调，当以数字形式导出stiffness矩阵条目时，必须格外小心。因此，在本节中，我们对FEM解算器组件的计算方法有所不同。引理4.1所示的傅里叶方法将允许我们访问stiffness矩阵和所有其他FEM解算器组件所需的模型信息，而不是通过操作符，而是通过相关符号。与运算符形成鲜明对比的是，对于大量的基础模型，L’evy模型的符号在数字上是唯一可访问的，我们将给出几个例子。让我们陈述一下本节的核心引理。

在这里，我们集中讨论服从简单节点平移性质的基函数，这对于经典的分段多项式基函数尤其令人满意。转换性质可以很容易地扩展到双正交小波b基所能满足的性质，这被证明有助于解决期权定价的Komlogrov-PIDEs问题，CompareMache et al.（2004）。引理4.3（双线性形式的符号方法）。引理4.1的假设满足η=0。进一步假设N∈ N一组函数ψ、ψ、，~nN∈Hα/2（R）和节点x，xN∈ R、 对于所有的j=1，N k j（x）=а（x）- xj），十、∈ R、 坚持住。那么我们有a（φl，φk）=2πZRA（ξ）eiξ（xl）-xk）| c|（ξ）|dξ。（30）对于所有k，l=1，N.如果另外R（A（ξ））=R（A）(-ξ） ）及I（A（ξ））=-I（A）(-ξ） ），（31）thena（φl，φk）=πZ∞RA（ξ）eiξ（xl）-xk）|对于所有k，l=1，…，c|（ξ）|dξ（32），N.证据。傅里叶变换yieldc~nj（ξ）=eiξxjc~n（ξ）的基本性质，ξ ∈ R、 （33）式中c k（ξ）=ξh（1）- cos（ξh）），ξ ∈ R.（34）自j起∈ Hα/2（R），对于所有j=1，N，恒等式（30）分别来自引理4.3或定理4.1和R emark 5.2，以及Eberlein和Glau（2011）中其后的行。第二个权利要求（32）是基本的。推论4.4（stiff矩阵的符号法）。让我们∈ Sα是一个单变量符号，带有相关的运算符a。表示b y~nj∈ L（R），j∈ 1.N与等距网格相关的伽辽金格式的基函数Ohm ={x，…，xN}拥有财产j（x）=（x）- xj），十、∈ R、 （35）对于某些人来说，则为→ R.然后，搅拌矩阵A∈ 该方案的RN×Nof可由akl=2πZRA（ξ）eiξ（xl）计算-xk）| c|（ξ）|dξ（36）对于所有k，l=1，N、 证明。这个证明是引理4.3的直接结果。备注4.5（关于双线性形式的符号方法）。

从数值角度来看，引理4.3和推论4.4中提供的stiffness矩阵项的表示非常有前景：1。与（16）中出现的二重积分不同，只需要计算一维积分。2.模型特定信息通过符号ξ7表示→ A（ξ），对于一大组模型，它以ξ和模型参数的显式函数的形式可用，这是一个我们现在可以在数值上利用的特征。下面我们给出一个简短的例子列表。有关更多示例，请参考Glau（2016a）和Glau（2016b）。3。表示（36）将stiffness矩阵的条目显示为傅里叶积分。此外，节点显示为傅立叶变量。因此，可以使用快速傅立叶变换（FFT）方法来加速其同时计算。表达式（3）根据特征三重态（b，σ，F）为L’evy过程L引入了算子A。以下示例给出了一些著名的L’evy车型的相应符号。示例4.6（Black-Scholes（BS）模型中的符号）。在由布朗波动率σ>确定的单变量BlackScholes模型中，符号由a（ξ）=Abs（ξ）=iξb+σξ（37）和漂移集b tob=r表示-σ. （38）示例4.7（默顿模型中的符号）。在Merton模型中，其中σ>λ>0，α∈ R和β>0时，符号计算toA（ξ）=Amerton（ξ）=σξ+iξb- λE-我知道-βξ- 1.（39）漂移设置为tob=r-σ- λeα+β-1., （40）符合无套利条件的要求。示例4.8（CGMY模型中的符号）。在Carr等人（2002）的CGMY模型中，σ>0，C>0，G≥ 0米≥ 0和Y∈ （1，2），符号计算toA（ξ）=Acgmy（ξ）=iξb+σξ- CΓ(-Y）（M+iξ）Y-我的+（G）- iξ）Y- GY, （41）对于所有ξ∈ R、 漂移b设置为tob=R-σ- CΓ(-Y）（M）- 1） Y- 我的+（G+1）Y- GY（42）对于鞅定价。示例4.9（NIG模型中的符号）。

σ>0，α>0，β∈ R和δ>0使得α>β，NIG模型的符号由a（ξ）=Anig（ξ）=σξ+iξb给出- δpα- β-pα- (β - iξ）（43）对于所有ξ∈ R，漂移由B=R给出-σ- δpα- β-pα- (β + 1)（44）实现（36），我们遇到了新的数值挑战：从第3.3节的微扰研究中，我们需要以高精度计算积分。首先考虑Black-Scholes模型，并选择分段线性帽子函数作为基本元素作为示例。应用标准的Matlab集成程序将导致相当大的错误。为了更好地理解这种影响，让我们仔细看看（36）中的被积函数，如图2所示。ξ0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.5以原点为中心的帽函数的傅里叶变换图ξ100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200×10-4ξ1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100×10-6图2：以R+的三个子区间为中心计算的帽函数的傅里叶变换图。选择m esh时，h=1。振荡和相当缓慢的零衰减使数值积分变得复杂，当涉及cа时，对精度的要求相当高。更准确地说，我们展示了A的几个被积函数∈ RN×Nin是推论4.4的（36）所提供的表示，符号由示例4.6给出。每一次评估的不同值为l- 从无界积分范围取三个不同的子区间。在计算Absijj的0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100ξ-5×10-3被积函数的傅里叶方法中- i=0j- i=5j- i=150100 110 130 140 160 170 180 190 200ξ-5×10-4j- i=0j- i=5j- i=1501000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100ξ-5×10-6j- i=0j- i=5j- i=150图3:Black-Scholes stiff矩阵的被积函数-K