Léevy模型中期权定价的灵活Galerkin方案

帽子的网格横跨整个间隔[-5,5]具有150个等间距的内部节点，网格度h=0.0662。因此，该网格上的Black-S choles解将由150个帽函数的加权和表示。我们观察到被积函数的振荡随着| l的值的增加而增加- k |。搅拌矩阵A∈ RN×Nv是相应的符号，Akl的被积函数必须是数值积分f或所有l-K∈ {-（N）-1), . . . , -1, 0, 1, . . . , N-1}.较大的| j-然而，如图e 3所示，计算被积函数的数值挑战越大。图中所示的所有被积函数都缓慢衰减。此外，振荡在| j中增加- 我|。这两种观察结果的结合严重威胁到积分在数值上的可靠性。随着| j值的增加-i |，被积函数的振荡加速，精确积分所需的支撑点数量激增。这些考虑表明，我们需要进一步研究这个问题，以获得可靠且计算成本低的、灵活的方法来计算斯蒂夫矩阵。我们在这里提出的方法是修改问题，使得到的被积函数衰减得更快，这样就可以选择更小的积分域，并且通常的积分例程（如Matlab函数quadgk）是有效的。为此，我们首先观察到我们在玩具示例中使用的hat函数是分段线性函数。虽然它们是连续的，但它们并不是在任何地方都可以连续区分，因此在初级水平上就已经不那么平淡了。

这种缺乏平滑度的现象会导致傅里叶变换的缓慢衰减。因此，我们建议将分段线性基函数替换为具有更高正则性的基函数，从而使（36）中的被积函数具有吸引人的衰减性质。在以下两个部分中，我们将介绍两种不同的方法来实施此类问题修正。4.1.1从经典基函数到molli fied Hat众所周知，平滑函数的卷积对卷积应用的函数有平滑效果。因此，我们的第一个基函数Alternative将是一个通过卷积平滑的经典帽函数。通过卷积符合此条件的函数称为molli fiers。为了为我们的目的选择合适的模型，即快速准确地计算（36）中的积分，模型需要显示两个基本特征：（1）修改后的基函数的傅里叶变换形式需要可用。（2） 平滑效果需要通过一个参数来控制。由于两个函数卷积的傅里叶变换是两个傅里叶变换函数的乘积，（2）归结为molli fier的Fourier变换的可用性。由于标准molli fier的傅里叶变换在封闭形式下不可用，我们扩大了标准molli fier的范围，并允许非紧支撑。更准确地说，我们称序列m=（mk）k∈N、 mk∈ L（Rd）代表所有k∈ N、 如果是的话，这是一个molli fier。mk≥ 0，为了所有的k∈ N、 二,。RRdmk（x）dx=1和3。

总之 > 0我们有Convergencerd\\B（0）mk（x）dx→ 0代表k→ ∞.x-2-1.5-1-0.5 0.5 1 1.5 20.20.40.60.8函数ε=0.05ε=0.15ε=0.3图4：在h=1的网格上，经典帽子函数与软帽子函数之间的比较*mεgaussian关于ε的几个值∈ {0.05,0.15,0.3}使用示例4.10中的高斯莫尔函数。特性（1）通常是必需的，我们在这里遵循通常的构造。根据Alt（2011）中的命题和定义2.14，我们可以通过软化ε来调整软化的影响。为此，让我∈ L（Rd）和M≥ 0，Zrdm（x）dx=1。（45）定义ε=εdm·ε. （46）那么每个 > 0我们有rrdmε（x）dx=1和rrd\\B（0）mε（x）dx→ ε为0→ 因此，对于每个空序列（εk）k∈n序列（mεk）k∈从我们的定义来看，这是一个更大的数字。例4.10（基于正态分布的模型）。我们给出了一个molli fier的示例。定义（x）=√2πe-x、 （47）我们称之为（mεkGaussian）k∈根据（46）高斯模型确定。

高斯摩尔函数的特征函数以闭合形式已知，\\mε高斯（ξ）=exp-εξ, （48）因此表现出指数衰减。这是一个众所周知的结果，即*Lp（Rd）中的mkconverge到f，1≤ p<∞ 当k趋于一致时，参见Alt（2011）中的Satz 2.15。图5显示了Black-Scholes模型斯蒂夫矩阵中的被积函数。被积函数在半有限积分ξ0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100×10-3ε-Molli fied被积函数的三个子区间上进行评估- j=0×10-3ε=0.05hε=0.3hξ100 110 120 130 150 160 180 190 200×10-4ε-Absij，i- j=0×10-7ε=0.05hε=0.3hξ1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100×10-100.5ε-Absij，i- j=0×10-177ε=0.05hε=0.3图5:Akl的被积函数，Black-Scholes模型的Stiff矩阵，其中Molli fied hat函数作为主对角线入口的基函数，l- k=0。区域网格设置与图3中的设置相同。使用示例4.10中的高斯函数作为平滑效果，代替经典的Hat函数，将其拟合的反函数用作基函数。即使只是轻微的软化影响，ε=0.05h，被积函数的衰减也明显快于软化。对于ε=0.3h的中值，被积函数迅速变为零。在我们测试这种方法的性能以修改下面第5节中的Galerkin模式之前，我们将介绍我们的第二种方法。4.1.2样条曲线作为基函数，而不是分段线性基函数的软化，我们可以选择本身具有更高正则性的基函数。因此，我们研究了一类完善的有限元基函数，作为我们的pur姿势的候选者，即立体线。

样条线理论是一个经过充分研究的领域，它适用于比我们认为的更广泛的语境。我们请读者参考Schumaker（2007）的介绍和概述。从我们的观点来看，样条曲线是光滑的基函数。他们的傅里叶变换是可以理解的，他们所跨越的函数空间的理论也已经建立。我们给出了霍尔三次样条中Irw的定义，该样条继承了相关概率分布的名称。我们定义了单变量欧文-霍尔样条曲线→ R+乘以（x）=（x+2），-2.≤ x<-13 | x|- 6x+4，-1.≤ x<1（2）- x） ，1≤ 十、≤ 20，其他地方（49）所有x∈ R.花键а在轴上有紧凑的支撑[-2，2]是一条三次样条曲线。我们使用它定义样条基：定义4.1（等距网格上的样条基函数）。选择N∈ N.假设一个等距网格Ohm = {x，…，xN}，xj∈ R表示所有j=1，N，网格度h>0。让我们来看看（49）的欧文霍尔样条曲线。对于j=1，N定义аj（x）=а（x- xj）/h），十、∈ R.对于给定的网格，我们称之为与节点j相关联的样条基函数Ohm = {x，…，xN}，xj∈ R、 定义4.1提供了一组样条基函数，我们稍后也将在数值实现中使用这些函数。以标准样条曲线文献为例，Ir win-Hall样条曲线基函数集通常包含与网格的第一个和最后一个n节点相关的附加样条曲线，这些样条曲线在Dirichlet和Neumann边界条件方面提供了进一步的灵活性，例如，参见Schu maker（2007）。我们省略了与第一个和最后一个网格节点相关的三个Irwin-Hall基函数，因此隐式描述了Dirichlet、Neumann和二阶导数零边界条件。引理4.11（欧文-霍尔样条的傅里叶变换）。设φ为（49）的欧文-霍尔三次样条曲线。

然后它的傅里叶变换bа由bа（ξ）=ξ（cos（2ξ）给出- 4 cos（ξ）+3）（50）表示所有ξ∈ 引理的证明遵循初等计算。这直接影响了gCorollary 4.12（等距网格上样条基函数的傅里叶变换）中的以下内容。选择N∈ N.假设一个等距网格Ohm = {x，…，xN}，xj∈ R表示所有j=1，N、 当网格度h>0时，使用定义4.1中定义的与节点j相关的样条曲线基函数。它的傅里叶变换是givenbyc~nj（ξ）=eiξxjhξ（cos（2ξh）- 4 cos（ξh）+3）表示所有ξ∈ R.ξ0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 c k hat hatε样条曲线图ξ100 110 120 130 150 160 170 180 190 200×10-4ξ1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100×10-6图6：本节中给出的所有基函数候选者的四次变换图，在R+的三个子区间内进行评估。选择H=1的网格时，软化参数再次设置为ε=0.3h。图6比较了所有三种基函数类型的傅里叶变换的衰减行为。如图2所示，经典帽子函数的傅里叶变换显示出缓慢的衰减速率和振荡行为。Instark对比了molli fied hats的傅里叶变换以及Irwin Hall样条曲线的Fourier变换，它们在视觉上瞬间衰减为零。对于molli fi帽函数，这是由于高斯molli fier的傅里叶变换的经验衰减，而对于样条曲线，推论4.12显示了4阶的多项式衰减。在这方面，经典帽子函数的两种替代方案都有望实现推论4.4中的符号方法。

在接下来的第5节中，我们将测试这一点。5数值实现在本节中，我们实现了普通看涨期权和看跌期权的定价PIDE，并对符号方法的两种方法进行了实验测试。定理5.1（费曼-K ac）。让我们≥0是一个（时间均匀的）L’evy过程。以皮德为例tVC，P+AVC，P=0，几乎所有t∈ （0，T）VC，P（0）=gC，P，（51），其中A是与（Lt）T的符号相关联的运算符≥0.进一步假设Eberlein和Glau（2011）的假设（A1）-（A3）成立。则（51）具有唯一的弱解Vc，P∈ W（0，T；Hα/2η（Rd），Lη（Rd））（52），其中α>0是（Lt）T符号的索博列夫指数≥0和η∈ 根据Eberlein和Glau（2011）中的定理6.1选择RDI。如果加上gC，Pη∈ L（Rd），然后是关系vc，P（T- t、 x=EgC，P（LT-t+x）（53）所有t∈ [0，T]，x∈ 研发证明。该结果在Eberlein和Glau（2011）中得到了证明，并遵循本文定理6.1。备注5.2。设置gC，P=gCin（51），即欧洲看涨期权的收益，结果是欧洲看涨期权的价格。类似地，设定Gc，P=gP，即欧洲看跌期权的收益率，结果是Vp是欧洲看涨期权的价格。算法1总结了基于符号法的通用有限元求解器的抽象结构。通过在算法第9行的计算中插入与所选模型相关的符号，解算器可以立即适应该模型。换句话说，只需指定一行即可获得期权定价的模型特定解算器。正如示例4.6、4.7、4.8、4.9和其他示例所强调的，对于许多模型，符号确实以分析（半）封闭形式存在。

因此，算法1为实践中的有限元定价提供了一个非常有吸引力的工具。5.1零边界条件的截断当我们推导普通欧式看涨期权和看跌期权的价格时，各自定价的解决方案在Whole real line上定义。作为SA离散化的第一步，我们希望将域截断为有界区间（a，b），并选择实现零边界条件。为此，我们按照标准程序减去适当的辅助函数ψ。选择ψ后，得到φ=VC，P的修正问题- ψ是tφ（t，x）+（Aφ）（t，x）=f（t，x），（t，x）∈ （0，T）×Rφ（0，x）=gψ（x），十、∈ R、 （54）式中gψ（x）=g（x）- ψ（0，x）表示所有x∈ R和右手边f由f（t，x）给出：-(tψ（t，x）+（Aψ）（t，x））。原始问题（51）的解VC，Pto可以很容易地用VC，P=φ+ψ来恢复。我们建立了ψ需要提供的性质，稍后我们还将给出一些例子。向量表示法中的右边由F（tk）=（F（tk），FN（tk））∈Rn对于每个tkon，使用Fj（·），j=1，N、 给定byFj=-锆(tψ（t，x）+（Aψ）（t，x）+rψ（t，x））Дj（x）dx（55）算法1基于符号法的有限元解算器1：选择等距空间网格xi，i=1，N2：选择基函数φi，i=1，N、 带аi（x）=а（x）- xi）对于某些φ3：选择等距时间网格Tj，j=0，M4：程序计算质量矩阵M5：推导质量矩阵M∈ RN×Nby6:Mkl=RRаl（x）аk（x）dx，k、 l=1，N7：程序计算刚度矩阵A8：推导阻力矩阵A∈ RN×Nb通过将CHOSEN模型的SYMBOLA插入以下公式并计算g9:Akl=2πRRA（ξ）eiξ（xk-xl）|c~n（ξ）|dξ，k、 l=1。

，N10：使用数值积分11：程序运行θ模式12：选择一个函数ψ从原始定价问题中减去，以获得azero边界问题，并检索相应的基函数系数ψk∈ RN，k=1，M考虑下面Lemma 5.3或Emma 5.4对纯香草欧洲选项的建议。13：选择合适的基函数系数向量V∈ n匹配变换问题的初始条件14：导出右h和d边向量Fk∈ RN，k=0，M.ConsultLemma 5.3或引理5.4匹配ψ.15的选择：选择θ∈ [0,1]并运行迭代方案16:k=0:M-1） 17:Vk+1=（M+tθA）-1.（M）- t（1）- θ） A）Vk+Fk+θ18:end19：程序重建原始问题的解决方案20：将先前减去的右侧ψ添加到计算g21的转换问题的解决方案中：eVk=Vk+ψk，k=0，M22：检索基函数系数向量k，k=0，对于所有j=1的原始定价问题，N.我们观察到，应用于辅助函数ψ的算子A出现在积分中。出于与计算stiffness矩阵入口相同的原因，我们决定采用符号法计算右侧F的入口∈ 注册护士。我们将在下一节中考虑这些因素。5.2计算右侧F首先，我们需要选择合适的辅助函数ψ。由于其目的是使我们能够截断域并插入零边界条件，我们需要检查价格值VC（x，t）的极限行为→ 0，x→ -∞, T∈ [0，T]VC（x，T）→ 前任- 柯-rt，x→ +∞, T∈ [0，T]（56）用于看涨期权和VP（x，T）→ 柯-rt- 前，x→ -∞, T∈ [0，T]VP（x，T）→ 0，x→ +∞, T∈ [0，T]（57）表示看跌期权。这是获得辅助函数的常用方法。

现在，根据我们的具体方法，依靠傅里叶变换，我们为辅助函数确定了额外的理想特征。我们表示bψ（t，z）：=\\ψ（t，·）（z）。考虑一个光滑函数ψ：[0，T]×R→ R使得ψ（t）∈ allt的Hα/2η（R）∈ [0，T]对于某些η∈ R.然后，对于（55）中的第二个求和，我们应用了L emma 4.1的符号方法，即Zr（Aψ）（t，x）~nj（x）dx=2πZRA（ξ）- iη）bψ（t，ξ）- iη）c~nj（ξ+η）dξ，（58），其中A表示模型的符号。通过上述等式，我们可以推导出右手边（Fj）j=1，。。。，Nof（55）根据傅里叶变换byFj=-2πZRDtψ（t，ξ）- iη）+A（ξ）- iη）bψ（t，ξ）- iη）+rbψ（t，ξ）- iη）c~nj（ξ+η）dξ。如果ψ在区域[a，b]×0，T]上是可精确计算的，则ψ在数值上适合于定位pricingPIDE，并且确定Fjc的积分可以在所有j=1，N.第一个特征允许将局部问题的解转化为原始定价PIDE的解，而第二个特征允许快速数值推导等式（54）中的右侧。考虑到这些因素，我们得出了以下辅助函数ψ的可设计特征列表，它需要遵守相应的极限条件（56）、（57）：1。函数ψ，2的（半）闭表达式。其傅里叶变换bψ3的（半）闭表达式。以及| bψ（ξ）|和| d的快速衰变tψ（ξ）|表示|ξ|→ ∞.ψ越平滑，|bψ|衰减越快。