Léevy模型中期权定价的灵活Galerkin方案

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英文标题：
《A Flexible Galerkin Scheme for Option Pricing in L\\\'evy Models》
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作者：
Maximilian Ga{\\ss} and Kathrin Glau
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  One popular approach to option pricing in L\\\'evy models is through solving the related partial integro differential equation (PIDE). For the numerical solution of such equations powerful Galerkin methods have been put forward e.g. by Hilber et al. (2013). As in practice large classes of models are maintained simultaneously, flexibility in the driving L\\\'evy model is crucial for the implementation of these powerful tools. In this article we provide such a flexible finite element Galerkin method. To this end we exploit the Fourier representation of the infinitesimal generator, i.e. the related symbol, which is explicitly available for the most relevant L\\\'evy models. Empirical studies for the Merton, NIG and CGMY model confirm the numerical feasibility of the method.
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中文摘要：
在列维模型中，一种流行的期权定价方法是通过求解相关的偏积分微分方程（PIDE）。对于此类方程的数值解，Hilber等人（2013）提出了强大的Galerkin方法。在实践中，大类模型是同时维护的，因此，驱动LSevy模型的灵活性对于这些强大工具的实现至关重要。在本文中，我们提供了一种灵活的有限元伽辽金方法。为此，我们利用了无穷小生成器的傅里叶表示法，即相关符号，它明确适用于最相关的列维模型。Merton、NIG和CGMY模型的实证研究证实了该方法的数值可行性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_Flexible_Galerkin_Scheme_for_Option_Pricing_in_Lévy_Models.pdf (691.22 KB)

2022-5-11 03:10:20 上传

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关键词：galerkin 期权定价 Gale ale SIMULTANEOUS

Levy模型中期权定价的灵活Galerkin方案Maximilian Gass和Kathrin Glausepter 2018Technische Universit？M？unchen，Center f或Mathematicskathrin。glau@tum.de，马西米兰。gass@mytum.deAbstractOne在L’evy模型中，期权定价的流行方法是通过求解相关的部分积分微分方程（PIDE）。对于此类方程的数值解，Hilber等人（2013）提出了强大的Galerkin方法。在实践中，大类模型是同时维护的，驱动L’evy模型的灵活性对于这些强大工具的实施至关重要。在本文中，我们提供了一种灵活的有限元伽辽金方法。为此，我们利用了最小生成元的傅里叶表示法，即相关符号，该符号明确适用于最相关的列维模型。Merton、NIG和CGMY模型的实证研究证实了该方法的数值可行性。关键词L’evy过程、部分积分微分方程、伪微分方程、符号、期权定价、伽辽金方法、有限元法数学学科分类（2000）91G80、60G51、35S10、65M601在计算金融中，当运行时间和准确性都很重要时，解部分微分方程的方法开始发挥作用。例如，与蒙特卡罗相比，运行时非常有吸引力，并且建立了一个确定性和保守的错误分析，并且得到了很好的理解。而且，与傅立叶方法相比，捕捉路径相关特征（如早期运动和障碍）的可能性是自然存在的。

在这些吸引人的特征中，有能力吸引学术界的兴趣，并满足金融行业的需求。在学术界，Cont和Voltchkova（2005b）、Hilber、Reich、Schwab和Winter（2009）、Salmi、Toivanen和Sydow（2014）、I tkin（2015）和Glau（2016b）以及Hilber、Reichman、Schwab和Winter的Monograph（2013）的一系列出版物开启了这一理论，包括更复杂的L’evytype模型，从而产生了部分积分微分方程（PIDE）。理论结果已通过复杂的数值研究得到验证。在这种背景下，施瓦布及其工作组尤其率先揭示了PIDE理论在金融业中的应用潜力。将最先进的压缩技术与小波基有限元设置相结合，形成了先进多变量泵模型中期权定价的数值框架，从而打破了学术界的界限。在金融行业，需要充分认识到这些工具的潜力。提倡数值方法的进步，我们必须承认实践中最珍视的方法。由于不同投资组合的模型不确定性和行为特征，金融机构需要并行处理许多不同的定价模型。或者，用F¨ollmer（2009）的话来说：“在任何情况下，对风险管理从业者的信号都是明确的：不要致力于一个单一的模型，保持灵活性，根据手头的问题改变模型，始终记住最坏的情况。”这些特征需要在数值环境中反映出来。在本文中，我们的目标是协调最先进的P（I）工具的能力与行业要求的不同模型选择的灵活性。

此类实施必须具备的理想特征包括：（1）与实际应用相关且可通过理论误差分析进行测量和控制的准确度；（2）快速运行时间；（3）低且可行的实施和维护成本；（4）工具箱对不同选项和模型的灵活性。求解P（I）DEs有两种标准方法，即有限差分法和有限元法。最近，也推出了径向基方法来解决定价问题。原则上，这些概念的实现方式可以使其达到预期的功能1.——3.已经开发了各种模型和期权类型的实施方案：Cont and Voltchkova（2005b）和Cont and Voltchkova（2005a）中提供了有限差方案，用于解决欧洲和障碍期权定价的PIDE，以及Merton和方差Gamma的实施方案。该方法在不同方向得到了进一步发展，我们提到了一个例子，Itkin和Carr（2012），他们使用方程的特殊表示，推导出了跳跃强度为稳定型的跳跃差异的有限差分模式。Matache et al.（2005）对美式期权推导了与一类广义回火稳定L′evy过程相关的PIDE的小波伽辽金方法，高维扩展见Marazzina et al.（2012）。Chan和Hubbert（2014）提供了Merton和Koumodel、美国和欧洲选项的径向基，Brummelhuis和Chan（2014）进一步开发了CGMY模型。在驾驶模型和选项类型中灵活的实施首先需要解决一个涉及设想模型和选项总体的计算问题。

鉴于特征（1），对结果方案进行误差分析的统一方法同样重要。伽辽金方法起源于K-olmogorov方程的希尔伯特空间公式，似乎注定要为这项任务提供足够的抽象层次。这是从德语翻译过来的抽象层次。这使得Galerkin方法在选项类型和非驱动过程的维度上变得灵活。因此，即使与有限差分方案相比，伽辽金方法乍一看似乎涉及更多内容，它们仍有望带来更清晰、更易于维护和扩展的代码。Galerkin方法的另一个基本优势是其理论框架，允许进行清晰、广泛的收敛性分析和误差估计，这对于控制方法论金融风险非常重要。在我们选择的方法之前，先使用有限元法或更通用的伽辽金法。不幸的是，即使是有限元方法在实施基于L’evy模型的定价工具时也面临着数值挑战。更准确地说，决定stiffness矩阵的L′evy算子是积分微分型的。首先，结果矩阵是人口密集的，通常不是对称的。秒，甚至更严重的是，矩阵项通常不显式可用。相反，它们要求对可能涉及数值上不可访问的El’evy测度的二重积分项进行求值。在这些情况下，对各个积分的彻底分析可能会产生近似方案，以获得所需精度的stiffness矩阵项。

然而，采用这种方式很可能会导致模型特定方案，与要求（4）相矛盾。在本文中，我们的目标是开发一种独立于模型的方法，以建立一个有限元解算器，用于L’evy模型中的期权定价，我们称之为符号法。我们通过在傅里叶空间中表达算子来实现这一目标。这意味着通过符号访问模型特定信息。与运算符不同，符号明确适用于各种型号，因此在数值上是可以访问的。后续章节将重点介绍更多优势。第二节介绍了我们的兴趣爱好的理论框架及其弱公式。下一节介绍s解格式，即空间中的伽辽金近似。我们调查了该计划在实施过程中遇到的数字挑战。第4节介绍了Symbol方法本身。FEM解算器的所有组件都用四个空间表示。随后对stiffness矩阵项的数值计算得到了初等近似结果的支持。著名的L’evy模型的几个符号示例证实了该方法的广泛适用性及其数值优势。对基函数的实现提出了两个建议。第5节中的数值研究从理论上描述了收敛速度，并验证了数值可行性的说法。2 L’evy模型中期权定价的Kolmogorov方程我们首先介绍了未解释的随机过程、Kolmogorov方程、其弱公式以及我们选择的解空间。2.1 L’evy过程设为随机基础(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）给定并设L是一个具有特征（b，σ，F；h）的Rd值L′evyprocess，即。

固定时间≥ 0其特征函数由eihξ给出，Lti=e-助教(-iξ）d每ξ∈ Rd，（1）其中过程的符号定义为asA（ξ）：=hξ，σξi+ihξ，bi-ZRdE-ihξ，yi-1+ihξ，h（y）iF（dy）。（2） 这里，σ是一个对称的、正的半限定d×d矩阵，b∈ Rd，F是aL’evy测度，即RdF（{0}）=0和Rrd（|x）上的正Borel测度|∧1） F（dx）<∞. 此外，h是截断函数，即h:Rd→ R使得R{x |>1}h（x）F（dx）<∞ h（x）=x在0附近。具有特征（b，σ，F；h）的L’e vy过程L的Kolmogorovo算子由a~n（x）给出：-dXj，k=1σj，kφxjxk（x）-dXj=1bjφxj（x）-ZRd~n（x+y）- ~n（x）-dXj=1φxj（x）hj（y）F（dy）（3）每∈ C∞（Rd），其中hj表示截断函数h.2.2 Kolmogorov方程变分形式的第j分量Kolmogorov方程变分形式的关键tu+Au=f（4）u（0）=g（5）是双线性形式（ψ，ψ）的定义：=ZRd（A）（x）ψ（x）dx表示所有，ψ∈ C∞（Rd）。（6） 进化方程的变分公式的主要优点之一是，与示例的空间C相比，低正则性的解空间以优雅的方式结合在一起。

离开C空间∞（Rd）对于紧支撑的光滑函数，我们可以从各种各样的函数空间SV中进行选择，这些函数空间SV具有以下假设的特征。（A1）V和H是希尔伯特空间，使得C∞（Rd）在V中稠密，并且存在从V到H的连续嵌入。变分解的存在和唯一性关键取决于双线性形式的以下两个性质：（A2）连续性：存在一个常数C>0，使得a（ψ，ψ）≤ 对于所有的ψ，ψ∈ C∞（Rd）。（A3）Garding不等式：存在常数G>0和G′≥ 0使A（а，а）≥ Gk~nkV- G′k~nkh适用于所有人∈ C∞（Rd）。我们发现，由于（A1）和（A2），双线性形式a具有唯一连续的双线性扩展a:V×V，这是连续的，即对于常数C>0，我们有a（ψ，ψ）≤ 对于所有v，Ck~nkVkψkv∈ 五、同样（A3）适用于所有v∈ 五、由于V是可分离的，这也适用于H，人们可以找到从H到du al空间V的连续嵌入*关于V，即（V，H，V*) 是一个格尔芬德三胞胎。然后我们用L表示0，T；H弱可测函数的空间u:[0，T]→ HwithRTku（t）kHdt<∞ 而且tu是u在分布意义上对时间的导数。关于ich依赖于Bochner积分的详细定义，请参考Wloka（1987）第24.2节。S-obolev空间w（0，T；V，H）：=nu∈ L0，T；五、屠∈ L0，T；五、*o、 （7）将在Kolmogorovequation（4）、（5）的变分公式中发挥解空间的作用。定义2.1。让f∈ L0，T；五、*和g∈ H.然后是u∈ W（0，T；V，H）是Kolmogorov方程（4）的一个差分解，如果对于几乎每个T∈ （0，T），htu（t），viH+a（u（t），v）=hf（t）|viV*所有v∈ V（8）和u（t）对于t收敛到g↓ H的范数为0。备注2.2。

假设（A1）-（A3）保证了变分解u的存在唯一性∈ （8）中的W（0，T；V，H），例如定理23。A inZeidler（1990）。2.3解空间定义6基于L-标量积，适用于Sobolev空间中的变量方程。然后，通常H=L。对于期权价格的Kolmogorov方程，（5）中的初始条件g起到了期权（对数变换）支付函数的作用。对于行使K的看涨期权，其形式为x7→ （性-K） +，对于数字向上和向外选项，它由x 7给出→ 1x<b，对于某些b∈ 因此，我们必须观察到，对于大多数感兴趣的典型情况，初始条件g是不平方可积的。在此之前，我们的分析更一般地基于指数加权的lspace：对于η∈ RdletLη（Rd）：=U∈ Lloc（Rd）| u ehη，·i∈ 左（右）, kukLη：=ZRdu（x）e2hη，xidx1/2anda（ψ，ψ）：=hAа，ψiLη=ZRd（Aа）（x）ψ（x）e2hη，xidx表示所有的ψ，ψ∈ C∞（Rd）。（9） 我们注意到，关于假设（A）-（A3）和变分方程的先例部分的所有断言都适用于由（9）定义的双线性形式A，而不是afrom（6）。作为解空间V，我们考虑加权Sobolev-Slobodeckii空间。这些已被证明适用于大量的期权类型和模型。我们参考了Eberleinand Glau（2014）和Glau（2016b），其中特别是Feynman-Kac型公式是在Sobolev-Slobodeckii空间中将欧式和p-ath-d依赖选项与Kolmogorov方程的弱解联系起来推导出来的。为了引入这些空间，我们用C表示∞（Rd）在Rd中具有紧支集的光滑实值函数集和letF（Д）（ξ）：=ZRdeihξ，xiД（x）dx（10）是Д的傅里叶变换∈ C∞（Rd）和F-1相反。

我们用指数α定义指数加权的Sobolev-Slobodeckii空间Hαη（Rd）≥ 0和重量η∈ Rdas是C的完成∞（Rd）关于k k kHαη给出的标准k·kHαη：=ZRd1 + |ξ|2αF（ψ）（ξ）- iη）dξ。（11） 此外，我们还将Hαη（Rd）的对偶空间表示为Hαη（Rd））*.3实施挑战3。1可数Riesz基{~n，~n，…}的空间抽象伽辽金近似对于V，我们定义为：=sp an{~n，…，~nN}∈ N.由于V在H中是稠密的，我们可以进一步选择gNin vn，使gN→ 每个固定N的u（0）单位为H∈ N半离散问题通过限制（8）到有限维空间来定义：找到函数vN∈ W（0，T；VN；H）∩VN）所有人都满意∈ C∞（0，T）和∈ VN，-ZThvN（t），˙iL2˙χ（t）dt+ZTavN（t），~nχ（t）dt=ztf（t）|iV*×Vχ（t）dtvN（0）=gN。（12） 作为优雅的希尔伯特空间公式的结果，半离散问题（12）是唯一可解的，并且序列vn到v的收敛性得到保证，参见定理23。A.和Zeidler（1990）中的备注23.25。等式（12）在实现方面的主要优势在于，可以插入基函数作为测试函数。因此，表示gN=PNk=1αkа和vN（t）：=PNk=1Vk（t）wk我们到达NXk=1˙Vk（t）hаk，аjiL2+NXk=1Vk（t）a~nk，~nj= hf（t）||jiV*x VVk（0）=αk对于所有k=1，N.以矩阵形式编写，问题是找到V:[0，T]→ r使得m˙V（t）+AV（t）=F（t）（13）V（0）=α，（14），其中F=（F，…，FN）Fk（t）=hf（t）|kiV*对于k=1，N，α=（α，…，αN）, 质量矩阵M和阻力矩阵A由mjk=hаk，аjiL，Ajk=A给出~nk，~nj对于所有j，k=1，N.（15）3.2不同驾驶过程的灵活实施我们检查方程式（14）中不同选项和模型的灵活性。（13）中的所有成分取决于基础的选择。