Léevy模型中期权定价的灵活Galerkin方案

因此，我们需要不同的函数ψ来表示，不仅满足适当的边界条件（56）或（57），而且尽可能地满足这些条件。在接下来的两小节中，我们将分析显示所需特征的ψ的两个候选者。ψ的第一个建议是使用Black-Scholes价格作为x=log（S）中的函数∈ [a，b]是时候成熟了∈ [0，T]用于定价PIDE的本地化。我们用支付函数gC表示欧式期权的价格，用（广义）傅里叶变换和定义ψ表示BlackScholes模型，如下引理所述。引理5.3（减去Black-Scholes价格）。选择Black-Scholes波动率σ>0。定义ψ为相关的布莱克-斯科尔斯价格，ψ（t，x）=ψbs（t，x）=e-ηxe-rt2πZReiξxdgC，P(-（ξ+iη）ηbst，σ（ξ+iη）dξ，（59）带φbst，σ（z）=etab（z）。我们将A表示为关联运算符A，r的符号≥ 0当前无风险利率，选择η<-1和η>0（对于acall期权）和η（对于看跌期权）。然后右手边F:[0，T]→ Rn计算toFj（t）=2πZR防抱死制动系统- A.(ξ - iη）dgC，P（ξ）- iη）exp-Tr+Abs（ξ）- iη）对于所有j=1，N.证据。为了推导右手side e，我们需要用四项表示ψ。对于看涨期权和看跌期权，ψ/∈ L（R），我们分别计算ψ的（广义）傅里叶变换或ψη=eη·g的傅里叶变换。我们得到ψη（t，x）=e-rt2πZRe-iξxdgC，P（ξ）- iη）ηbst，σ(-(ξ - iη）dξ。（61）中的积分是傅里叶（逆）积分。我们读到了of cψη（t，ξ）=dgC，P（ξ）- iη）exp-Tr+Abs（ξ）- iη）, （62）我们使用了特征函数和过程符号之间的关系。现在[tψη（t，ξ）=-r+Abs（ξ）- iη）cψη（t，ξ）。（63）最后，由于ψbs∈ Hα/2η（R），我们得到了zr（Aψbs）（t，x）~nj（x）dx=2πZRA（ξ）- iη）\\ψbs（t，·）（ξ）- iη）[ηj-η（ξ）dξ。

收集我们的结果证明了这一说法。候选ψ=ψ符合所需标准。由于许多代码库中都实现了产生Black-Scholes价格的函数，因此它是可快速评估的。此外，（60）中的积分在数值上是可访问的，因为被积函数衰减很快。观察到FFT技术可用于计算所有j=1，N同时进行。然而，选择gψ=ψbs的一个主要缺点在于∈ [0，T]不能与（60）中的被积函数分离。因此，Fj（tk），j=1，N，k=1，M，必须分别在每个时间网格节点上进行数值计算。这导致了巨大的数字成本。因此，我们为ψ提出了第二个直截了当的观点，以避免这个问题。引理5.4（减去准曲棍球杆乘以法线）。设σψ>0。通过ψC（t，x）定义看涨期权中的ψ，以及看跌期权中的ψPin=前任- 柯-rtΦ（x），（t，x）∈ [0，T]×[a，b]，ψP（T，x）=柯-rt- 前任(1 - Φ（x）），（t，x）∈ [0，T]×[a，b]，（65），其中Φ表示正态N（0，σψ）分布的累积分布函数。此外，在看涨期权的情况下，选择η<-在putoption情况下为1且η>0。然后，右手边F:[0，T]→ Rn计算toFj（t）=2πZRA（ξ）- iη）+rcfN（ξ）- i（η+1））iξ+（η+1）cаj（ξ+iη）dξ- E-rtKZRA（ξ）- iη）cfN（ξ）- iη）iξ+ηc~nj（ξ+iη）dξ！，（66）对于所有j=1，N与t∈ [0，T]，其中A是相关运算符的符号，其中cfn（ξ）=exp-σψξ,正态N（0，σψ）密度的傅里叶变换。证据我们首先考虑看涨期权的情况。为了推导Fjin（66）的表达式，我们需要计算（适当加权的）ψC的傅里叶变换。

我们选择η<-1.任意，但fix和t∈ [0，T]任意，但fix和compute forK=1，ψCη（T，·）（ξ）=ZReiξxeηx前任-E-rtΦ（x）dx=ZReiξxe（η+1）xΦ（x）dx- E-rtZReiξxeηxΦ（x）dx。（67）部分积分和l’H^opital法则-iξ+（η+1）ZRei（ξ-i（η+1）xfN（x）dx，（68）可以用正态分布的傅里叶变换形式表示-cfN（ξ）- i（η+1））iξ+（η+1）。（69）等价地，我们得到（67）中的第二个积分thatZReiξxeηxΦ（x）dx=-cfN（ξ）- iη）iξ+η。（70）综合这些结果，我们发现ψCη（t，·）（ξ）=-cfN（ξ）- i（η+1））iξ+（η+1）+e-rtcfN（ξ）- iη）iξ+η。（71）我们推导了fj（t）=2πZRA（ξ）- iη）+rcfN（ξ）- i（η+1））iξ+（η+1）cаj（ξ+iη）dξ- E-rtZRA（ξ）- iη）cfN（ξ）- iη）iξ+ηc~nj（ξ+iη）dξ！（72）带Cfn（ξ）=exp-σψξ.对于看跌期权，我们选择（65）中定义的ψP（x，t）=柯-rt- 前任(1 - Φ（x））=前任- 柯-rt（Φ（x）- 1) .（73）自x（Φ（x）- 1) =xΦ（x），十、∈ R、 （74）CψPη的计算遵循与调用相同的路线，我们得到了关系\\ψPη（t，·）（ξ）=\\ψCη（t，·）（ξ），（t，ξ）∈ [0，T]×R，（75）对于η设置为一些η>0，这证明了该主张。备注5.5（ψc和ψP的计算特征）。ψc作为看涨期权情况下的局部化函数，ψp可以用于看跌期权情况。两种候选股票均基于看涨期权和看跌期权的支付函数，但避免了x=log（Ke）中x的差异性-rt）对于t∈ [0，T]。因此，当σψ选择得足够小时，ψ和ψ都是非常光滑的函数，因此满足了上述收集的要求。此外，（66）中的两个积分不依赖于时间变量t∈ [0，T]，因此每个基函数仅需计算一次。

与引理5.3.5.3经验共收敛结果的建议ψ=ψB相比，这导致计算时间显著加快。前面几节概述了为期权定价建立有限元解算器所需的连续阶段。为了在L’evy模型中获得灵活的有限元解算器，上一节介绍了符号方法，该方法考虑了有限元解算器在傅里叶空间中的所有组件。在那里，组件基于符号，而不是L’evy度量，并且在数字上可以访问。许多相关符号以分析闭合形式存在的资产模型的例子都认为这种替代方法是值得追求的。然而，与此同时，有限元基函数的光滑性成为一个关键问题。在第二步中，我们研究了两种结合平滑度和数值可及性的方法。介绍了Molli fied帽函数和样条函数，作为构建基于符号方法的FEMsolver的有希望的示例。本节将检验这一承诺。因此，我们对molli fied hats和样条曲线实施了符号方法。与（16）和（55）的直接实现形成鲜明对比的是，sy-mbol方法具有易于插入任何L’evy模型符号的灵活性，该模型可用分析闭合形式。因此，第一种方法的模型限制消失了。首先实现了默顿模型的方法，将代码扩展到NIG和CGMY模型几乎没有额外的作用。在这方面，该方法令人印象深刻地强调了它在实际应用中的吸引力，在实际应用中，模型的适用性可能取决于它所使用的资产类别。

因此，需要维护多个资产类别定价程序的机构将提高符号方法的灵活性，在这方面，召回算法1勾画了一个基于符号方法的通用有限元求解器的实现，该算法易于适应各种模型。最后，我们进行了收敛性的实证研究。我们考虑了单变量Merton、CGMY和NIG模型，并研究了不同实现的经验收敛率，如表1所示。模型符号参数选择实现的基础函数Milli fied hats SplinesMerton示例4.7σ=0.15，α=-0.04，Xβ=0.2，λ=3CGMY示例4.8C=0.5，G=23.78，X XM=27.24，Y=1.1NIG示例4.9α=12.26，β=-5.77，Xδ=0.52表1：收敛分析经验顺序中考虑的模型及其参数化概述。对于这些模型，采用了符号法，并对molli fied帽函数和样条曲线进行了测试。此外，我们还研究了默顿模型的经验收敛速度，该模型以经典实现中的classichat函数为基函数，不考虑符号方法。在所有模型中，恒定无风险利率均设定为r=0.03。对于表1中列出的每种模型和每种实现的基函数类型，我们以罢工K=1的看涨期权定价问题为例，进行了经验收敛顺序研究，从而考虑了支付函数g（x）=max（ex- 1, 0). （76）在每项研究中，我们计算NK基函数的有限元价格，其中NK=1+2k，k=4，9（77）在最粗糙的情况下得到N=17个基函数，在最精细的情况下得到N=513个基函数。在每个网格上，与基函数相关联的节点与另一个节点的间距相等，且基函数始终跨越空间间隔Ohm = [-5, 5].

时间离散化保持不变，Ntime grid=2000个等距间隔的时间节点，跨越一个从两年到成熟的网格范围，因此涵盖了[T，TNtime]的成熟时间间隔，T=0，TNtime=2。（78）对于每个k=4，9，计算由Nkbasis函数在空间和Ntime=2000个时间网格点上构造的价格曲面。这些表面的比较被绘制成基于相同基函数的大多数粒状结构的价格表面。我们称之为最颗粒的表面真实价格面。它在与上述相同的网格间隔内，以s的速度和N的网格点恢复Ntrue=N=1+2=2049的基函数，即Ohm = [-空间上分别为[5,5]，时间上分别为[0,2]。因此，基本的FEM实现基于网格节点之间的距离Htrues，该基函数与Ohmuli fied hattrue=（5）相关- (-5))/(2 + 2) ≈ 0.0049，hsplinestrue=（5- (-5))/(4 + 2) ≈ 0.0049,t真=2/（2000）- 1) ≈ 在空间和时间上分别为0.001（79）。请注意，所有空间网格的设计都是以这样的方式进行的，即原木走向原木（K）=0是空间节点之一。对于每个模型和方法，每个k=4，9，（离散）LerrorεLis计算为εL（k）=vuutttrue·htrue·NtimeXi=1NtrueXj=1P ricetrue（i，j）- P ricek（i，j）,其中P ricetrue（i，j）是空间节点j处的真实定价曲面的值∈{1，…，1+2}和时间节点i=1，2000和P ricek（i，j）分别是仅具有N个基函数节点的粗糙定价曲面的线性插值值。图7总结了Merton、NIG和CGMY模型在基于符号的实现中的六项经验收敛顺序研究的结果，该实现使用了molli fied hats和基于样条函数的ce。

在每个实施中，对于所有考虑的模型，（离散）误差以2的速率呈指数衰减。von Petersdorff和Schwab（2003）对定理5.4的收敛结果表明，这是我们所能期望的最快速度，这使得这两种方法的实验验证成为可能。k4 5 6 7 8 9-10-5Merton模型（样条曲线）带斜率的直线=-2k4 5 6 7 9-10-5NIG模型（样条曲线）带斜率的直线=-2k4 5 6 7 9-10-5GMY模型（样条曲线）带斜率的直线=-2k4 5 6 8 9-10-5Merton模型（mhat）带斜率的直线=-2k4 5 5 6 7 9-10-5NIG模型（mhat）带斜率的直线=-2k4 5 5 5 6 7 9-10-GMY模型（mhat）带斜率的直线=-2图7：收敛性研究结果Merton、theNIG和CGMY模型使用molli fied hats（左图）和样条曲线（右图）作为基本函数。所有模型均按表1所述进行参数化。此外，每个图中都描绘了（绝对）坡度为2的s直线的一部分，作为比较。6结论与展望我们提出了一个有限元解算器，该解算器在模型选择中高度灵活，并保持数值可行性。我发现这个符号是关键。向傅里叶空间的转换引入了光滑性，作为对基本函数的新要求。在我们的方法中，我们将样条线和molli fied hats作为兼容的基函数。几个数值例子证实了标准理论在这两种情况下的收敛速度。文献中尚未提到缓和对错误的贡献。证明这种误差估计的一种可能性在于采用冯·彼得多夫（von Petersdorff）和施瓦布（Schwab，2003）的扰动分析，将软化处理为阻力矩阵的数值扰动。让我们谈谈这种方法的几种可能的扩展。

首先，实现自然扩展到时间不均匀的L'evy模型，为了便于标记，我们在这里省略了这些模型。其次，如Hilber等人（2013）所述，将符号方法与小波基函数相结合，可以实现压缩技术，从而进一步提高整体数值性能。第三，通过调用hp间断伽辽金格式，我们在数值实验中观察到的多项式衰减可能被改进为指数速率。g、 Sch–otzau和Schwab（2006）。证据。1引理的证明3.1证明。我们首先考虑ψ，ψ∈ C∞（R） 。为了F≡ 0该断言直接来自部分积分。由于L’evy度量可能在原点周围是无界的，因此直线形式的jum p部分的表示，ajump（ψ，ψ）：=-ZRZR~n（x+y）- ~n（x）- ~n′（x）h（y）F（dy）ψ（x）e2hη，xidx需要仔细推导。为了利用身份（x+y）- ~n（x）- y|′（x）=ZyZz|′（v）dv dzwe将关于L′evy测度的积分分成三部分，集c（F）：=R|y |<1Y- h（y）F（dy）-R | y |>1h（y）F（dy）和获得的动量（ψ，ψ）：=-ZRZ | y |<1ZyZz|′（x+v）dv dzF（dy）ψ（x）e2hη，xidx- c（F）ZR~n′（x）ψ（x）e2hη，xidx-ZRZ | y |>1~n（x+y）- ~n（x）F（dy）ψ（x）e2hη，xidx。谢谢toRyRzν′′（v）dv dz≤ cyy的常数c>0∈ [-1,1]和Zrz | y |<1ZyZz~n′（x+v）dv dzF（dy）ψ′（x）+2ηψ（x）e2hη，xidx≤ （1+2η）k|kHηkψkHηZ | y |<1yF（dy）（80）我们可以应用Fubini定理和部分积分来获得-ZRZ|y|<1zyz|′（x+v）d v dzF（dy）ψ（x）e2hη，xidx=ZRZ|y|<1zyz|′（x+v）dvF（dy）ψ′（x）+2ηψ（x）e2hη，xidx。这就产生了对ψ，ψ的断言∈ C∞（R） 。接下来，我们验证引理3.1中所述的双线性形式对于ψ，ψ定义良好∈ Hη（R）的范数是连续的。为了F≡ 这是显而易见的。

对于不等式（80）和Zrz | y |>1中的跳跃部分，断言如下~n（x+y）- ~n（x）F（dy）ψ（x）e2hη，xidx≤ 2FR\\[- 1, 1]k~nkLηkψkLη。因此引理3.1中的a是Hη（R）×Hη（R）th上的连续双线性形式，与稠密子集C上的（9）重合∞（R） ×C∞（R） 。这证明了这一说法。A.2引理4.2的证明。为了证明这个断言，我们验证了Glau（2016b）中引理3的条件，它为弱解提供了一个抽象的鲁棒性结果。我们首先观察到fn，f，gn，g的条件与Glau（2016b）中引理3的条件一致。其次，我们验证了Glau（2016b）中引理3的条件（An1）-（An3）。因此，我们分配给每个u，v∈ X系数αk（u），αk（v）∈ R代表k≤ N使得u=PNk=1αk（u）~nkand v=PNk=1αk（v）~nk。由于X的有限维数，存在一个大于0的常数，因此对于所有的u∈ 十、 库夫≤NXk=1αk（u）库夫≤ 库夫。（81）由于（27）存在一个序列0<cn→ 0这样的帽子适合所有的j，k≤ N（安）- a） （j，k）≤ cnk~njkVk~nkkV。（82）再加上假设（A2），这就产生了所有j，k≤ Nan（φj，φk）≤ CkаkkVkаkkV。（83）不等式（83）和（81）共同产生所有u，v∈ 十、安（u，v）≤NXk=1NXj=1αk（u）αj（v）an（φk，φj）≤ CNXk=1NXj=1αk（u）αj（u）kаkkVkаkkV≤ CeckukVkv，这表明Glau（2016b）中引理3的条件（An1）是满足的。由于不等式（82）和（81），我们对所有的∈ 十、（a）- an）（u，u）≤NXk=1NXj=1αk（u）αj（u）an（φk，φj）≤ cnNXk=1NXj=1αk（u）αj（u）k~njkVk~nkkV≤ cneCkukV，显示了Glau（2016b）中引理3的假设（An3）。最后，根据假设（A1）和所有u的最后一个不等式∈ X我们得到了一个（u，u）≥ a（u，u）-（a）- an）（u，u）≥ GKKV- G’kukH- cneCkukV，它表明存在N∈ 因此，引理3 inGlau（2016b）的条件（An2）对于所有N>N都是满足的。这表明引理4.2的断言。参考Alt，H.，2011年。

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