动态偏差测度与连续时间投资组合优化

为了你∈ Rd，~u∈ L（ν（dx））和n∈ Nde FINERN（s，u，u）：=suph∈Qd，~h∈{h，h，h，…}（u）h+ZRk\\{0}u（x）~h（x）ν（dx）- gn（s，h，~h）），其中{h，h，h，…}表示L（ν（dx））的可数基。注意，对于任何n∈ N我们有（i）rnlower半连续和凸的（u，~u）和（ii）rnis一个凸闭集的（凸）指示函数，比如Cn=（Cns）s∈[0，T]。此外，我们注意到以下观察结果：（a）因为R是P的上确界B（道路）U可测量过程和Cn是Rn等于零的集合，我们有Cn也是P B（道路） U-可测和（b）由于函数gn（s，h，~h）在（h，~h）中是连续的，因此rn与gn的对偶共轭重合，因此我们得到dp×dt a.e.gn（s，ω，h，~h）=sup（U，~U）∈Cns（ω）（u）h+ZRk\\{0}u（x）~h（x）ν（dx））。（4.12）此外，我们有（c）随着序列（gn）nis的增加，（rn）nis的减少序列，因此Cn Cn+1适用于任何n∈ N.表示C=∪∞n=1，注意C是凸的，可测的，是凸集和可测集的递增并集。接下来，让我们建立给定n的D（n）（X）的表示（4.2）∈ N和X∈ L（英尺）。AsD（n）（X）=Dgn（X）我们有（n）（X）=E“ZTsup（u，~u）∈北师大HXs+ZRk\\{0}u（x）~HXs（x）ν（dx）！ds#≥ sup{（H，H）|（Hs，Hs）∈Cns，s∈[0，T]}E“ZTHsHXs+ZRk\\{0}Hs（x）~HXs（x）ν（dx）！ds#（4.13）=supξ∈MnE“ZT（Hξs）HXs+ZRk\\{0}Hξs（x）~HXs（x）ν（dx）！ds#，（4.14）带Mn:={ξ∈ Q |（Hξs，~Hξs）∈ Cks，s∈ [0，T]}，其中（4.13）中的上确界接管对（H，~H）∈ Ld（P，dP×dt）×L（P×B（Rk\\{0}），dP×dt×ν（dx））。接下来让我们来说明（4.13）中的不平等实际上是一种平等。

众所周知（参见Zalinescu（2002）中的定理2.4.9），连续函数和凸函数的次梯度是非空的，因此函数gn，n的对偶表示中的su prema∈ N、 都实现了。因此，我们可以将一个可测选择定理应用于setGn:=（（s，ω，u，~u）gn（s，ω，HXs，~HXs）- UHXs-ZRk\\{0}~u（x）~HXs（x）ν（dx）+JCns（ω）（u，~u）=0，得到P×P U-可测量的过程（Un，~Un），对于每一个s，（Uns，~Uns）∈ Cnsandgn（s，HXs，~HXs）=（Uns）HXs+RRk\\{0}Uns（x）~HXs（x）ν（dx）。这意味着（4.13）相等，并产生D（n）所需的表示。为了证明我们也得到了D的一个表示，让我们首先证明上面定义的集合C（我们满足（4.2）-（4.3）的自然候选者）是闭合的。请注意，从（4.14）可以看出，对于anyX∈ L（FT）supξ∈s∩AnE[ξX]=D（n）（X）=supξ∈MnE“ZT（Hξs）HXs+ZRk\\{0}Hξs（x）~HXs（x）ν（dx）！ds#。（4.15）作为S∩ ANA和MN都是凸集和闭集，我们从（4.15）S中得出结论∩ An=Mn。特别是对于m≥ n我们有Mn=Mm∩ 一因为ξ之间有一对一的对应关系∈ Q和平方可积可预测过程（H，~H）这意味着cn=Cm∩（（H，~H）∈ L（dP×dt）×L（dP×dt×ν（dx））监督∈[0，T]{| Ht |+ZRk\\{0}| Ht（x）|ν（dx）}≤ n） 。因此，dP×dt a.e.Cnt（ω）=Cmt（ω）∩（（h，~h）∈ Rd×L（ν（dx））|h |+ZRk\\{0}h（x）|ν（dx）≤ n） 。接管整个联盟∈ 上一个显示屏右侧的N yieldsCnt（ω）=Ct（ω）∩（（h，~h）∈ Rd×L（ν（dx））|h |+ZRk\\{0}h（x）|ν（dx）≤ n） 。由于设置Cnt（ω），n∈ N、 在Rd×L（ν（dx））中是闭合的，我们也知道Ct（ω）是闭合的。作为gn，n∈ N、 凸正齐次驱动函数，它由引理4.11 that0所遵循∈ int（Cn）。

作为Cn C因此我们得到0∈ int（C）。最后，为了证明C满足所需的表示（4.2）-（4.3），我们注意到D（X）等于Pn∈ND（n）（X）=su pn∈Nsup{（H，~H）|（Hs，~Hs）∈Cns，s∈[0，T]}E“ZTHsHXs+ZRk\\{0}Hs（x）~HXs（x））ν（dx）！ds#=sup{（H，~H）|（Hs，~Hs）∈Cs，s∈[0，T]}E“ZTHsHXs+ZRk\\{0}Hs（x）~HXs（x）ν（dx）！ds#=sup{ξ∈Q |（Hξs，~Hξs）∈Cs，s∈[0，T]}E[ξX]，其中，在第一行和第二行中，上界接管成对（H，~H）∈ Ld（P，dP×dt）×L（P×B（Rk\\{0}），dP×dt×ν（dx））。对于s=0，这会产生（4.2）-（4.3），因此对于所有s∈ [0，T]byRemark 1.2（ii）。因此，这意味着=>’ 显示，并且证明是完整的。5动态平均偏差投资组合优化我们研究了一个随机优化问题，即确定一个动态投资组合配置策略，该策略使预期收益和风险惩罚之和最大化，根据该配置策略下最终财富的动态偏差度量给出。在本节中，我们施加以下条件：假设5.1（i）L’evy测度ν是这样的：∈ Rk\\{0}:mini=1，。。。，kxi≤ -1} ）=0，而ν：=ZRk\\{0}|x|ν（dx）<∞. （5.1）（ii）D是一个g-偏差度量，具有非随机、时间无关的驱动程序^g:Rd×L（ν（dx））→ R+。在（5.1）项下，L=（Lt，…，Lkt）T∈[0，T]与Ljt=R[0，T]×Rk\\{0}xj＠N（ds×dx），j=1，k、 其中xjis是x的第j个坐标∈ Rk是纯跳跃（Ft）-鞅的向量。我们认为的金融市场由一个以固定利率支付利息的银行账户组成≥ 0和n只风险股（1只）≤ N≤ 价格过程为Si=（Sit）t的min{d，k}）∈[0，T]，i=1，n、 满足DSITSIT给出的SDE-= uidt+dXj=1σijdWjt+kXj=1ρijdLjt，t∈ （0，T]，（5.2）式中Si=Si∈ R+\\{0}，ui∈ R、 σij∈ R+和ρij∈ R+使得pkj=1ρij≤ 1表示增值率、波动率和跳跃敏感性。通过π=（π。

，πn）我们表示动态定位过程，它表示投资于股票的总财富的比例1，n（也就是说，如果Xπ（t-) 表示时间t，πi（t）Xπ（t）之前的财富-) 是在分配策略π）下，在时间t投资于股票i的现金金额。我们采用标准的无摩擦设置（非交易成本、可完全分割的股票、连续交易等），仅考虑分配过程π=（πt）t，并将其限制在不允许卖空和借贷的情况下∈[0，T]取setB=（x）中的值∈ R1×n:mini=1，。。。，nxi≥ 0，nXi=1xi≤ 1).如果（i）π是可预测的，（ii）相关的财富过程Xπ是非负的（也就是说，Xπ满足破产约束的影响），则称这种分配过程π是可接受的∈[0，T]XπT≥ 0）和（iii）π是一种自我融资的投资组合，使得Xπ满足SDE（u=（u，…，un）, ∑=（σij）∈ Rn×dand R=（ρij）∈ Rn×k）由dxπtXπt给出-= [r+（u）- r1）πt]dt+πt∑dWt+πtR dLt，t∈ （0，T]，（5.3）初始财富Xπ=X∈ R+\\{0}，其中1∈ Rn×1表示1的列向量。我们用∏表示可容许分配策略的集合，并让γ>0表示风险规避参数。对于给定的分配策略π∈ 我们将以下动态性能与ce标准联系起来：Jπt:=e[Xπt | Ft]- γDt（XπT），T∈ [0，T]。（5.4）与条件期望不同，Dt（X）是X的非线性函数，因此动态规划原理不适用于该目标。越来越多的文献在探索动态优化问题的替代解决方法，而动态编程原理不适用于这些问题。

另一种动态解决方案的概念是子博弈完美纳什均衡。在这种博弈论方法中，问题（5.4）通常可以被视为一个（非合作）博弈，有很多参与者，每个时间t一个，可以根据一个人随时间变化的偏好来解释；关于动态均值-方差投资组合优化问题的研究，请参见Ekeland and Pirvu（2008）和Bj¨ork and Murgoci（2010）、Bj¨ork and Murgo ci（2010）、Wang and Forsyth（2011）、Czichowsky（2013）、Bj¨ork et al.（2014）、Bensoussanet al.（2014）以及其中的参考文献。继Ekeland和Pirvu（2008年）以及Bj¨ork和Murgoci（2010年）之后，我们在我们的环境中对这种平衡溶液概念进行了以下形式化：定义5.2（i）分配策略π*∈ 对于目标为（5.4）iflim infh0Jπ的动态均值偏差问题，∏是一种均衡策略*T-Jπ（h）th≥ 0（5.5）表示任何t∈ [0，T）和任何策略π（h）∈ π满足，对于某些π∈ π，π（h）s=πsI[t，t+h）（s）+π*sI[t+h，t]（s），s∈ [t，t]。（ii）均衡政策π*是反馈型的如果，对于某些反馈函数π*: [0，T]×R+→ b例如（5.3），πt被π取代*（t，Xt）-) 有唯一的解决方案X*= （十）*t） t∈[0，T]，我们有π*t=π*（t，X*T-), T∈ [0，T]，带X*0-= 十、*.对于给定的均衡策略π*= (π*t） t∈反馈类型的[0，T]由jπ的马尔可夫性质决定*t=V（t，X*t） 还有EXπ*T|Ft= h（t，X）*t） ，t∈ [0，T]，对于某些函数V:[0，T]×R+→ R+和h:[0，T]×R+→ R+。

此外，如果h是充分正则的（例如，h∈ C1,2（[0，T]×R+，R+）和h′）≡Hxis有界）我们通过应用It^o引理发现*这是givenbyHX*Ts=a*,h（s，X）*s-),~HX*Ts（y）=b*,h（s，X）*s-, y） ，s∈ [0，T]，y∈ Rk\\{0}，带有*,h（s，x）：=h′（s，x）xπ*（s，x）∑，b*,h（s，x，y）：=h（s，x+xπ）*（s，x）（Ry）- h（s，x），所以Dt（x*T） ，T∈ [0，T]的形式为Dt（X*T） =Dt，X*t（X）*T） ，式中Dt，x（x*T） =Et，xZTt^g（a）*,h（s，X）*s-), B*,h（s，X）*s-, ·))ds, （t，x）∈ [0，T]×R+，（5.6）带Et，x[·]=E[·| x*t=x]。

对于任何向量π∈ B我们把算子Lπ：f7联系起来→ Lπf和gπ：f7→ Gπf th在映射C0,2（[0，T]×R+，R）到C0,0（R+，R）时，由πf（T，x）=μπxf′（T，x）+σπxf′（T，x）+ZRk\\{0}[f（T，x+xπ）给出（Ry）- f（t，x）- xπRyf′（t，x）]ν（dy），（5.7）Gπf（t，x）=^G（xf′（t，x）π∑，δxπRIf（t，x）），（5.8）表示（t，x）∈ [0，T]×R+，其中δyf:R+→ R和I:Rk×1→ Rk×1由δyf（x）=f（t，y+x）给出- f（t，x），I（z）=z，z∈ Rk×1，x∈ R+，y∈ R、 其中μπ=R+（u- r1）π, σπ= πΣΣπ, π ∈ B.根据目标形式和定义5.2，我们考虑三重态（π）的扩展Hamilton-JacobiBellman方程*, 五、 h）反馈函数π的*, 相应的值函数和辅助函数h由（表示˙V）给出=五、t） ：˙V（t，x）+supπ∈B{LπV（t，x）- γGπh（t，x）}=0（t，x）∈ [0，T）×R+\\{0}，（5.9）˙h（T，x）+Lπ*（t，x）h（t，x）=0，（t，x）∈ [0，T）×R+\\{0}，（5.10）V（T，x）=h（T，x）=x，x∈ R+，（5.11）V（t，0）=h（t，0）=0，t∈ [0，T]，（5.12）其中，对于任何T∈ [0，T]和x∈ R+，π*（t，x）是（5.9）中超矩的最大值（注意，对于每个固定的t，LπV（t，x）和Gπh（t，x）在π中的连续性∈ [0，T]和x∈ R+\\{0}与B-gu-arantees的紧性结合，在（5.9）中达到最大值）。我们有以下验证结果：定理5.3 Let（π*, h、 V）是满足扩展HJB方程（5.9）-（5.12）的三重态，设X*是（5.3）的唯一解，πt被π取代*（t，Xt）-) 定义π*t=π*（t，X*T-), T∈ [0，T]。假设h，V∈ C1,2（[0，T]×R+，R），h′，V′有界，且该π*= (π*t） t∈[0，T]∈ Π. 然后π*是反馈型非平衡策略，h和V由V（t，x）=Et，x[xπ）给出*[T]- γ~Dt，x（xπ）*T） andh（T，x）=Et，x[xπ*T] 对于（T，x）∈ [0，T]×R+。证据我们首先验证随机表示。

设π=（πs）s∈[0，T]∈ π，t∈ [0，T）和τ∈（0，T- t） 给出并表示Ξπ，V，h（s，x）：=（˙V+LπsV）- γGπsh（s，x），aπ，V（s，x）：=V′（s，x）xπs∑和bπ，V（s，x，y）=V（s，x+xπ）sRy）- V（s，x）。It^o引理在V（t+τ，Xπt+τ）上的应用表明V（t+τ，Xπt+τ）- V（t，Xπt）- γZt+τtGπsh（s，Xπs）-)ds=Zt+τtΞπ，V，h（s，Xπs）-)ds+Zt+τtaπ，V（s，Xπs）-)dWs+Z（t，t+τ]×Rk\\{0}bπ，V（s，Xπs）-, y） ~N（ds×dy）。（5.13）类似地，它遵循h（t+τ，Xπt+τ）满足度（5.13），V，Gπsh和Ξπ，V，hr分别由h，0和Ξπ，h，0代替。特别是，选择π等于π*, 考虑到期望值，（5.13）右边的三个项在（5.9）中消失，π*（t，x）是（5.9）中的一个极大值，因为随机积分是鞅（考虑到V′、h′和B的有界性）。然后，让τT-利用边界条件（5.11），我们得到了h和V的随机表示。接下来我们来证明π*这是一个平衡解。通过条件期望和（D6）的Tower性质的应用，我们得到了任意π∈ π，t∈ [0，T）和τ∈ （0，T- t） Jπt=E[E[Xπt|Ft+τ]|Ft]- γE[Dt+τ（XπT）|Ft]- γDt（E[XπT | Ft+τ]）=EJπt+τ| Ft- γDt（E[XπT | Ft+τ]）。（5.14）固定（n）n，n0和策略πn:=π（n）∈ 与定义5.2中的∏相同（带∏*正如定理中所断言的）并注意到马尔可夫性质（有效为π*是一种反馈策略）意味着jπnt+n=V（t+n，Xπnt+n），EXπnT | Ft+n= h（t+n，Xπnt+n），（5.15）和（5.15）在π被π取代后仍然有效*, 我们从（5.13）和（5.14）中得到了factDt（h（t+n，Xπnt+n））=EhRt+g（aπn，hs，bπn，hs）dsftijπ*T- Jπnt=EZt+nt[Ξπ*,五、 h（s，Xπ）*s-) - πn，V，h（s，Xπns）-)]ds英尺.

（5.16）自Ξπ*（s，x），V，h（s，x）=0和πn，V，h（s，x）≤ 0代表s∈ [0，T]，x∈ R+，（由（5.9）和π*（t，x）是（5.9）中的最大值→∞（Jπ）*T-Jπnt）/n≥ 0，证明是完整的。接下来，我们确定了均值-偏差投资组合优化问题的一个显式均衡策略，在以下关于∑，R和^g的正则性假设下，假设在续集中有效：对于某些可数集A和任何A，假设5.4∈ [0, γ-1] \\A，功能Ta:B→ R givenbyTa（c）：=a（u）- r1）C- ^g（c）∑，cRI），c∈ B、 （5.17）在超过B在联合国总部*∈ B**为了确定最优策略，我们部署了以下辅助结果：引理5.5适用于任何f:[0，T]→ B表示为Af，df，bf，Ff:[0，T]→ R由bf（t）给出的函数：=expZTt{r+（u）- r1）f（s）}ds, （5.18）df（t）：=bf（t）ZTt^g（f（s）∑，f（s）RI）ds，（5.19）Af（t）：=γ-1.- （bf（t））-1df（t），（5.20）Ff（t）：=ACf（t），带有（5.21）Cf（t）：=arg supc∈BTf（t）（c）, 如果f（t）/∈ A、 质心（arg-supc）∈BTf（t）（c）), 如果f（t）∈ A、 （5.22）对于任何Borel集合A′的位置 Rd，质心（A′）等于U的平均值~ Unif（A′）。然后存在一个连续的非递减函数*: [0，T]→ R+这样*= Fa*.引理5.5的证明如下。有了这个结果，我们确定了一个平衡策略，如下所示：定理5.6与Ta（c）和a*在（5.17）和引理5.5中给出，我们让s（a）：=supc∈BTa（c），a-:=sup{a∈ [0, γ-1] ：s（a）≤ 0}和t*:= 上{t∈ [0，T]：a*（t）≤ A.-} （在哪里吃 := - ∞ ).（i） 如果s（1/γ）≤ 然后是π*≡ 0的值函数由V（t，x）=x exp（r（t）给出- t） （t，x）∈[0，T]×R+。（ii）如果s（1/γ）>0，则定义函数C*: [0，T]→ B byC*（t） =（约*（t） ，如果不是∈ [t]*∨ 0,1]，0，否则*（t） 在（5.22）中给出了f=a*.

然后π*= C*是一个价值函数为V（t，x）=x（bC）的均衡策略*（t）- γdC*（t） （t，x）∈ [0，T]×R+，其中bC*还有华盛顿*（5.18）和（5.19）中给出了f=C*.**B表示B的边界，也就是，B=cl（B）\\int（B），其中cl（B）和int（B）表示B的闭合和内部。备注5.7根据平等政策π*在T heorem 5.6中给出，根据比例C投资NSTOCK是最佳选择*= （C）*, . . . , C*n） 当前财富的非随机函数。因此，在时间t投资Xπ是最佳选择*（t）-)C*i（t）存量i，i=1，n、 定理5.6的证明。证明包括验证三重态（π*, 五、 h），带π*用h:[0，T]×R表示Vas+→ R由h（t，x）=x bC给出*（t） ，满足扩展的HJ方程（5.9）-（5.12）；这些断言之后是定理5.3的应用。（i） 一旦我们确认（5.9）中的上确界是在π处得到的*≡ 0很容易检查V和hare是否相等并满足（5.9）-（5.12），使用g是正h齐次的。要知道前者是这种情况，请注意（5.9）的左侧等于x exp（r（T-t） )[-r+γsupc∈BT1/γ（c）]；正弦（1/γ）≤ 0时，后一个上确界为0，在c=0时达到（T1/γ（0）=0）。（ii）假设（5.9）中的上确界达到π*. 然后是g的正同质性和函数bC的事实（这很容易验证）*还有华盛顿*满足方程组˙b+（r+uC*)b=0，t∈ [0，T），b（T）=1，˙d+（r+uC*)d+b^g（（C）*)∑（C）*)RI）=0，t∈ [0，T），d（T）=0，其中与之前一样I:Rk×1→ Rk×1由I（y）=y给出，意味着h和V满足（5.9）-（5.12）。接下来，我们验证（5.9）中的上确界是在π处达到的*.