动态偏差测度与连续时间投资组合优化

我很满意∪jAj=Ohm （我们可以假设w.l.o.g.通过将一些cj和＠cj设置为零，h和＠h的aj相同）。第一步，表示Wi+1=Wti+1- Wti，EZti+1tig（s、IAjcj、IAjcj）ds= 迪亚杰Wi+1+ZRk\\{0}IAj＠cj（x）~N（（ti，ti+1]×dx）！=E“DtiIAjcjWi+1+ZRk\\{0}IAj＠cj（x）~N（（ti，ti+1]×dx）！#。因此，通过命题2.9，D（X）等于tomXj=1E“DtiIAjcj”Wti+1+ZRk\\{0}IAj＠cj（x）~N（（ti，ti+1]×dx）！#=EmXj=1Zti+1tig（s，IAjcj，IAjcj）ds,等于ERTg（s，hs，~hs）ds英尺= Dg（X）。第三步：让0≤ t<…<tn=不能给出。对于简单函数X=（Pli=1hiI（ti，ti+1]）·WT+（Pli=1hiI（ti，ti+1]）NTfor l∈ N、 对于第2步中的HIA和HIA，我们通过命题2.9、步骤2和命题2.4D（X）=lXi=1EDti（hiI（ti，ti+1]）·Wti，ti+1+（~hiI（ti，ti+1]）Nti，ti+1=lXi=1EDgti（hiI（ti，ti+1]）·Wti，ti+1+（~hiI（ti，ti+1]）Nti，ti+1= Dg（X）。因此，对于所有简单函数X，我们都有D（X）=Dg（X）。步骤4:Th at D（X）=Dg（X）不仅适用于简单函数，也适用于一般函数X∈ L（FT）之后是dG和Din引理2.5的连续性（注意g是线性增长）和备注1.2（iii）。4表示结果、m-稳定性和时间一致性下一步是一般动态偏差度量的双重表示结果，如我们在定理4.4中所示，该结果以附加m-稳定表示集的形式给出（见定义4.2）。具体地说，我们证明了加法m-稳定性在某种意义上是必要的，并且足以获得时间一致性公理（D6）——见命题4.9。这些结果的证明依赖于辅助双表示结果。

利用这些结果，我们首先在定理4.1中确定，形式（2.5）的积分表示适用于任何动态偏差度量，即使主导条件不满足。特别是，我们可以加强OREM 3.2中给出的动态偏差度量的特征描述，如下所示：定理4.1让D=（Dt）t∈[0，T]是Dt:L（FT）地图的集合→ L（英尺），t∈ [0，T]。当且仅当存在凸正齐次驱动函数g，使得对于任何t∈ [0，T]和X∈ L（FT）Dt（X）=E“ZTtg（s，HXs，~HXs）dsFt#（4.1）和EhRTg（s，HXs，~HXs）dsi<∞.所提到的加性m-稳定性的目的是在QFT给出的（有条件的）零均值随机变量集合的子集合加性粘贴下的稳定性要求：={ξ∈ L（FT）|E[ξ| FT]=0}，Q:=QF={ξ∈ L（FT）|E[ξ]=0}。定义4.2一套 对于任何ξ，ξ，Q称为加性m-稳定∈ 科技∈ [0，T]，ξ+Eξ- ξ| Ft定义S的元素。表示给定集合S QSs，t:={E[ξ| Ft]- E[ξ| Fs]|ξ∈ S} ，S，t∈ [0，T]，我们注意到S=S0，并且对于任何T，S是加性m-稳定的必要且有效的条件isS=S0，T+St，T∈ [0，T]，其中A+B表示集合A和B的直接和。定理4.3设d=（Dt）T∈[0，T]是Dt:L（FT）地图的集合→ L（英尺），t∈ [0，T]，满意（D4）。那么，D是一个动态偏差度量，当且仅当对于一些凸的、有界的、闭的子集自由度Q，它包含零且是加性m-稳定的，我们有dt（X）=ess supξ∈SD∩QFtE[ξX | Ft]，t∈ [0，T]。（4.2）在下一个结果中，我们称为P B（道路） U-可测子集C=（Ct）t∈[0，T]中的[0，T]×Ohm 对于dP×dt a.e.（t，ω），如果是闭的，凸的或非空的∈ [0，T]×Ohm, 集合Ct（ω）是封闭的、凸的或非空的。

我们用int（C）表示集合Ct（ω），（t，ω）的内部集合∈ [0，T]×Ohm.定理4.4设D=（Dt）t∈[0，T]是Dt:L（FT）地图的集合→ L（英尺），t∈ [0，T]。当且仅当存在P时，则D是一个动态偏差度量 B（道路） U-可测集CD=（CDt）t∈[0，T]i是凸的，用0闭合∈ int（C），使得D满足（4.2）中的表示，有界集sdbysd=nξ∈ Q（Hξt，~Hξt）∈ CDT适用于所有t∈ [0，T]o.（4.3）定理4.1、4.3和4.4的证明如下。备注4.5（与动态风险度量的强时间一致性相关）定理4.4中的特征描述让人想起文献中动态风险度量的（强）时间一致性的类似特征描述结果。如果我们称一个集合为S′ 对于每ξ，ξ，M乘性mstable if∈ S’和t∈ [0，T]元素Lt:=ξTξT/ξ包含在S′中，我们注意到在S′的乘法m-稳定性下，我们有分解S′=S′0，T=S′0，T′T，TwithS′，T:={E[ξ| Ft]/E[ξ| Fs]|ξ∈ S′}（0/0=0），因此集S′在“乘法”粘贴下是稳定的。众所周知，如果对应的对偶表示中的表示集是乘法m-稳定的，则一致的风险度量是（强）时间一致的；参见Chen和Epstein（2002）（其中乘法m稳定性被称为“矩形属性”）、Riedel（2004）、Delbaen（2006）、Artzner等人。

（2007）或F¨ollmer and d Schied（2011）。也就是说，A+B:={A+B:A∈ A、 b∈ B} 具体地说，在布朗环境中，Delbaen（2006）证明了凸集和闭集S′的乘法m-稳定性 M:={ξ∈ 含有1的L+（FT）|E[ξ]=1}对应于P的存在 B（道路） U-可测闭凸集C′包含0，这样s′={ξ∈ M |（qξs，ψξs）∈ C\'s for all s∈ [0，T]}，这里（qξ，ψξ）与ξ的随机对数ξ=E有关（qξ·W）T+（ψξ·N）T随着E（·）的下降，失业率呈指数上升。这一结果意味着时间一致的一致性风险度量∞满足表示式ρt（X）=ess supξ∈S′∩MFtE[-ξX | Ft]，带MFt:={ξ∈ L+（FT）|E[ξ| FT]=1}和′=nξ∈ L+（FT）|（qξs，ψξs）∈ C\'s for all s∈ [0，T]o.（4.4）Delbaen等人（2010）将该结果推广到凸风险度量。作为Delbaen（2006）中关于布朗滤波中乘法m-稳定集的第3.1条的对应，我们从定理4.4和下面的命题4.6-4.9中得到了一个闭凸集 对于某些P，Qcontaining 0是加性m-稳定的当且仅当 B（道路） U-可测集C*=（C）*t） t∈[0，T]是凸的，闭的，包含0，我们有S={ξ∈ Q |（Hξt，~Hξt）∈ C*t所有t∈ [0，T]}。辅助表示结果。我们的出发点是Rockafellar等人（2006a）定理1中给出的对偶结果的Ft条件版本。提议4.6让t∈ [0，T]并让映射Dt:L（FT）→ L（英尺）是给定的。（i） 满足（D1）-（D3）和（D5）并将L（FT）映射到L+（FT）当且仅当存在有界闭凸集SDt qftc包含零，使得dt（X）=ess supξ∈SDtE[ξX | Ft]，X∈ L（英尺）。（4.5）集合SDT由其（凸）指示函数JSDt:L（FT）唯一确定→ {0, ∞} givenbyJSDt（ξ）：=ess supX∈L（FT）{E[ξX|FT]- Dt（X）}。（4.6）（ii）假设满足（i）中的条件。

然后dtsaties（d4）当且仅当对于每X∈L（英尺）和X/∈ L（Ft）存在ξ∈ SDTsch表示P[E[ξX | Ft]>0]>0。备注4.7请注意，根据（4.6），我们对任何集合A∈ Ftandξ，ξ∈ sdt表示IAξ+IAcξ∈ SDt。具有此属性的集是定向的。kHence，Dt（X）承认一个由一组签名测度给出的具有代表性的集的鲁棒表示。Rockafellar等人（2006a）在静态环境中阐述了这一命题，但在Ft上也可以有条件地认为它成立，例如Riedel（2004）、Ruszczy\'nski和Shapiro（2006）或Cheridito和Kupper（2011）的相关论点。对于动态偏差度量，属性（D6）导致集合SDt，t的特定结构∈ [0，T]，我们将在下一个结果中指定。第一个观察结果如下：命题4.8让t∈ [0，T]设D为动态偏差度量，表示SD:=SDT。我们有一个集合SDt，在dt的表示（4.5）中是这样的，SDt=SD∩ QFt=SDt，T.命题4.8的证明。让ξ∈ L（英尺）和t∈ [0，T]。为了简洁起见，我们在整个证明中都表示S=SD，St=SDt和St，T=SDt，T∩ QFt=St，T（注意St，T 证明的剩余部分是关于证明集合∩ 我和你同等看待。对于任何ξ，ξ，kA集S称为有向的∈ 存在着∈ 与ξ连用≥ ξ∨ ξ.注意到E[Dt（X）]≤ D（X）（by（D6）），召回（4.6）和部署（D6），（D1）以及L（FT）被指示的事实，我们对ξ有∈ 圣 QFtJS（ξ）=supX∈L（FT）{E[ξX]- D（X）}≤ 好的∈L（FT）{E[ξX]- E[Dt（X）]}=supX∈L（FT）E[E[ξX | FT]- Dt（X）]=Ehess supX∈L（FT）{E[ξX|FT]- Dt（X）}i=0，在上一个等式中，我们使用了（4.6）。由于JS（ξ）要么为零，要么为零，从前面的显示可以看出，JS（ξ）=0意味着ξ∈ 因此ξ∈ s∩ QFt。

这是圣 s∩ QFt。另一方面，如果ξ∈ 那么我们有（a）ξ∈ （长（英尺）\\QFt）∩ Sctor（b）ξ∈ QFt∩ Sct。在例（a）中，我们有ξ/∈ s∩ QFt，而在命题4.6中的（b）（4.6）情况下，得出存在X′的结论∈ L（FT）使得E[ξX′|FT]-Dt（X′）>0，在一个非零的s-et上，比如说a。因此使用（D6）和ξ∈ QFtwe有（从（4.6）到（t=0）JS（ξ）≥ EξIAX′- EDt（X′IA）= EIA（ξX′）- Dt（X′）= EIA（E）ξX′|Ft- Dt（X′）> 因此，JS（ξ）=∞ 我们有ξ/∈ s∩ QFt，也适用于情况（b）。因此，Sct L（英尺）\\（S∩ QFt）。再加上上上一段中推导出的包含项，得出St=S∩ QFt。以下结果表明，以加性m-稳定性形式表示的s-et在“加性粘贴”下的稳定性是f或（D6）保持的必要且有效的条件。提议4.9让我们 Q是一个包含零的凸闭集。S是加性m-稳定的当且仅当集合Dt（X）：=ess S upξ∈s∩QFtE[ξX | Ft]，t∈ [0，T]，X∈ L（英尺），满意度（D6）。证据我们第一场秀=>’. 我们只给出（D6）对s=0成立的证明，作为s的证明∈ （0，T]是类似的∈ L（英尺）和t∈ [0，T]。表示ξt=E[ξ| Ft]和ξt，t=ξ- ξt或ξ∈ L（FT）我们有（X）=supξ∈SE[ξX]=supξ∈SE[E]ξtX+（ξ- ξt）X | Ft]=supξ=ξt+ξt，t∈S0，t+St，t{E[ξtX]+E[E[ξt，tX|Ft]}=supξt∈S0，t，ξt，t∈St，T{E[ξtX]+E[E[ξT，tX|Ft]}。因此，通过St，T（注4.7）和命题4.8的定向性，我们得到了（X）=supξT∈S0，tE[ξtE[X | Ft]+supξt，t∈St，TE[E[ξt，TX | Ft]=supξ∈SE[ξE[X | Ft]+Ehess supξt，t∈St，TE[ξt，TX | Ft]i=D（E[X | Ft]）+Ehess supξ∈s∩QFtE[ξX|Ft]i=D（E[X|Ft]）+E[Dt（X）]。看到我们有<=’ 让我们加上ξ，ξ∈ 所以ξt+（ξ- ξt）/∈ 这是为了一些t∈ [0，T]。然后根据哈恩-班纳赫定理，存在一个随机变量X∈ L（FT）使我们有：=E（ξt+（ξ- ξt）X> supξ∈SE[ξX]=D（X）。

（4.7）使用命题4.8，我们注意到E=EξtE[X | Ft]+ EE(ξ-ξt）X | Ft可能在比亚迪（E[X |英尺]）+Ehess supξ之上∈St，TE[ξX | Ft]i=D（E[X | Ft]）+E[Dt（X）]=D（X）。这个界限与（4.7）相矛盾，后者证明了其含义<=’. 定理4.3的证明。该论断随后结合了命题4.6、4.8和4.9。在定理4.1和4.9的证明中，对于给定的动态偏差测度D，我们部署了序列（D（n））n∈Nof动态偏差测量值D（n）=（D（n）t）t∈[0，T]，D（n）T:L（FT）→ L（Ft）定义的比亚迪（n）t（X）：=ess supξ∈（SD）∩QFt）∩AnE[ξX | Ft]，其中（4.8）An:=（ξ∈ L（英尺）小吃∈[0，T]（|Hξs |+ZRk\\{0}| Hξs（x）|ν（dx））≤ n） 。（4.9）引理4.10让t∈ [0，T]和X∈ L（FT），对于给定的动态偏差度量D，设（D（n））n∈Nand（An）n∈Nbe如（4.8）-（4.9）所示。（i） 对任何人来说∈ N、 我们有D（N）t（X）≤ D（n+1）t（X）和An+1=n+1nAn。此外，L（Ft）中的D（n）t（X）Dt（X）作为n→ ∞.（ii）对于任何n∈ N、 S∩ ANC包含零，并且是闭的、有界的、凸的和加性m-稳定的。（iii）任何∈ N、 D（N）是一个动态偏差度量，它是N-主导的。证据（i）很容易验证+1=n+1南索 n的+1∈ 因此，通过（4.8）我们得到了D（N）t（X）≤ D（n+1）t（X）表示t∈ [0，T]和X∈ L（英尺）。此外，as（An）n∈如果定理4.3中的集合是有界的，那么D（n）t（X）Dt（X）为n→ ∞.（ii）让n∈ N.很容易验证ANC包含零，并且是闭合的、有界的和凸的。接下来，让我们证明Anis是加性m-稳定的。让我们∈ [0，T]和ξ，ξ∈ A表示L=ξ+Eξ- ξ| Ft. 然后L的代表对（HL，~HL）∈ L（FT）用HLs=HsI[0，t]（s）+HsI（t，t]（s）和HLs=~HsI[0，t]（s）+HsI（t，t]（s）表示ξ、ξ的对（Hi，Hi），i=1，2。特别是，我们有SUP∈[0，T]|HLs |+RRk\\{0}| HLs（x）|ν（dx）}≤ nso我∈ 一因此，Anis是额外的m-稳定的。

由于SDS集也是闭的、凸的和可加的稳定的，所以对于∩S.（iii）让n∈ N.根据命题4.6和第（ii）部分，我们得出结论，D（N）满足（D1）-（D3）和（D5）。此外，从命题4.9和第（ii）部分，我们得到了D（n）满足（D6）。接下来让我们展示D（n）满足积极性（D4）。让我们∈ [0，T]和dx∈ L（英尺）\\L（英尺）。根据命题4.6和命题4.8，存在一个∧ξ∈ SD∩ qftsch在一个非零集上，Eh∧X | Fti>0。作为一个∈增加L（FT）中的密度e（如第（i）部分的证明中所述），我们可以找到一个序列（ξm），如ξm∈ SD∩ QFt∩ Am收敛到L（FT）中的ξ，即m→ ∞. 接下来，选择m′sufficientlylarge，这样在一个非零集合上，比如a，我们有Ehξm′X | Fti>0（这是可能的，因为ξmx在Las m中收敛到ξX）→ ∞). 定义ξ*∈ SD∩ QFt∩ 安比ξ*:=nm′ξm′。从一开始我们就有了*X | Ft]=nm′Eh |ξm′X | Fti>0我们从（4.8）中得出结论，D（n）满足（D4）。最后，通过运用柯西-施瓦兹不等式，我们注意到D（n）t（X）可能在上ξ上有界∈AnE[ξX | Ft]=supξ∈AnE“ZT（Hξs）HXs+ZRk\\{0}Hξs（x）~HXs（x）ν（dx）！ds英尺#≤ n E“ZTs | HXs |+ZRk\\{0}| HXs（x）|ν（dx）dsFt#=\'Dnt（X），（4.10），其中我们用v表示列向量v的转置∈ 路。4.1定理4.1的证明利用之前建立的结果，我们现在可以完成定理4.1的证明。正如寓意的屋顶上的论证<=’ 在定理3.2中，为证明<=’ 在第4.1条中，证据的其余部分与=>’. 设D为动态偏差测度X∈ L（FT）并用（D（n））n表示∈引理4.10的动态偏差度量的逼近序列。通过引理4.10（i，iii）和定理3.2，序列（D（n）（X）n∈Nis单调递增且存在序列（gn）n∈Nof凸且正齐次的d-river函数，使得（4.1）成立（d和g被d（n）和gn代替）。

因此，根据命题2.6（iv），gn≤ gn+1适用于n∈ N、 这样我们就可以定义g:=limn→∞格恩。显然，作为具有这些性质的函数的极限，gis是凸的、正齐次的和低s emi连续的。此外，对于（h，~h）6=0，我们有g（ω，t，h，~h）≥ g（ω，t，h，~h）>0和g（ω，t，0，0）=limn→∞gn（ω，t，0，0）=0 dP×dt a.e.因此，g是一个凸的正齐次驱动函数。最后，as（gn）是一个递增的函数序列，应用单调收敛定理yieldsDt（X）=limnD（n）t（X）=limnE“ZTtgn（s，HXs，~HXs）dsFt#=E“ZTtg（s，HXs，~HXs）ds英尺#。这就完成了定理4.1.4.2的证明定理4.4的证明在定理4.4的证明中，我们部署了以下辅助结果：引理4.11（i）设g为凸且正齐次的驱动函数，且B（道路）U-可测集C=（Ct）t∈[0，T]由jct（u，~u）=r（T，u，~u）：=supu确定∈Rd，~u∈L（ν（dx））{uh+ZRk\\{0}u（x）~h（x）ν（dx）- g（t，u，~u）}代表u∈ Rdand)u∈ L（ν（dx））。然后0∈ int（Ct）（ω）dP×dt a.e.（ii）设CD=（CDt）t∈[0，T]成为P B（道路） U-可测量集，并由（4.3）中的钻机ht侧边给出SDS。如果0∈ int（CDt）（ω）dP×dt a.e.那么，对于任何t∈ [0，T]和X∈ L（FT）\\L（FT），存在ξ′∈ 使P（E[ξ′X|Ft]>0）>0。证据为了简化表示法，我们在希尔伯特空间Rd×L（ν（dx））中对元素（h，h），（q，ψ）使用z:=（h，~h）和y=（q，ψ）。我们进一步表示hy，zi*= qh+RRk\\{0}ψ（x）~h（x）ν（dx）和| z|*=q | h |+RRk\\{0}| h（x）|ν（dx）。（i） 集合Z:={Z∈ Rd×L（ν（dx））| | z|*= 1} 对于z来说呢∈ Z和λ∈ R我们表示zλ：=λz。通过g的正齐性和集合z的对称性，我们有固定的y∈ Rd×L（ν（dx））thatr（t，y）=supz∈Z、 λ∈R{hy，zλi*- g（t，zλ）}等于tor（t，y）=supz∈Z、 λ≥0nhy，zλi*- g（t，zλ）o=supz∈Z、 λ≥0λnhy，zi*- g（t，z）o.（4.11）（4.11）中的上确界是有限的当且仅当f或所有z∈ Z-hy，zi*≤ g（t，z）。

让（yn）nbe按如下顺序|yn|*→ 利用柯西-施瓦兹不等式，我们得到了th atsupz∈Z | hy，zi*| ≤ |伊恩|*苏普兹∈Z | Z|*= |伊恩|*→ 0.因为假设g（t，z）>0的每一个固定z∈ 我们从某个特定的n开始*≤g（t，z）使得r（t，yn）=0。当r（t，ω，yn）=JCt（ω）（yn）这意味着∈ 对于每一个序列yn，从某个非向上的Ct（ω）是| yn|*→ 0.因此，0∈ int（Ct（ω））。（ii）让t∈ [0，T]和X∈ L（英尺）\\L（英尺）。对于任何人来说∈ [0，T]，我们注意到如果0∈ int（CDs（ω））则存在ε′s（ω）∈ （0,1]这样| y|*≤ ε′s（ω）表示y∈ CDs（ω）。定义λs（ω）：=|（HXs（ω），~HXs（ω））|*,A={（s，ω）∈ [t，t]×Ohm : λs（ω）>0}并用ε=（εs）s表示∈[0，T]由εs（ω）给出的过程：=IA（s，ω）ε′s（ω）/λs（ω）。然后ξ′：=（εHX·W）t，t+（εИHX·N）t，是SD的元素。自从X∈L（FT）\\L（FT），集合A具有正的dP×dt度量，因此EXξ′|Ft= EEZTtIAε′sds英尺= EZTtIAε′sds> 这意味着，当E[Xξ′|Ft]是非负的时，P（E[Xξ′|Ft]>0）>0。定理4.4的证明。让我们首先展示一下它的含义：<=’: 我们首先注意到，正如很容易验证的那样，（4.3）中给出的SDS是额外的m-稳定、凸、有界、闭合且包含零。此外，引理4.11和命题4.6（ii）适用于任何t∈ [0，T]，Dt:L（FT）→ L（英尺）由（4.2）满意度（D4）定义。因此，根据定理4.3 D=（Dt）t∈[0，T]是一种动态偏差度量。下一步，我们来看看=>’. 根据定理4.3，有必要证明SDS由（4.3）中的表达式给出。对任何人来说∈ N将D（N）定义为（4.8）。如前所述（D（n））n∈Nis是一组增加到D（引理4.10）和相应序列（gn）n的动态偏差度量∈Nof驱动程序功能正在增加，并且令人满意≤ g（命题2.6（iv）），其中g是D（定理4.1）的表示（4.1）中的函数。