动态偏差测度与连续时间投资组合优化

输入h和V的形式，并使用γ输入∈公元前[0，T]*（t） >0我们有f或任何t∈ [0，T]thatarg supπ∈B{LπV（t，x）- γGπh（t，x）}=arg supπ∈B{uπ（bC）*（t）- γdC*（t） )- γbC*（t） ^g（π）Σ, πri）}=arg supπ∈B{uπAC*（t）- ^g（π）Σ, πR I）}。（5.23）如果t≤ T*, 然后AC*（t） =a-所以s（AC*（t） )≤ 0和0包含在（5.23）中的argsup中，而ift>t*, 然后AC*（t） >a-我们有s（AC*（t） ）=supπ∈B{（π）-r） 交流电*（t）- ^g（π）Σ, πR I）}>0在π=CAC时达到*（t） =Ca*（t） =C*（t） 。引理5.5的证明。证明依赖于将Schauder的定点定理++应用于地图F:A→ 由f7给出的C（[0，T]，R）→ Ff，其中A表示连续函数的集合f∈C（[0，T]，R）使得（a）f（T）=γ-1和（b）对于所有s，t∈ [0，T]带s≤ t我们离开（t）- f（s）∈ [χ-（t）- s） ，χ+（t- s） 其中χ+：=s up{^g（c）∑，cRI）：c∈ B} ，χ-:= inf{^g（c）∑，cRI）：c∈ B} 。我们注意到χ+和χ-通过驱动函数^g的正性，它是严格正的。它是向前验证F映射sa到A，并且集合A是C（[0，T]，R）的非空的，闭合的，有界的和凸的子集。由于F是紧的（正如我们在下面证明的），Schauder的不动点理论得出，存在一个元素a*∈ 这样的*= Fa*.接下来，我们通过证明（i）F是连续的（关于[0，T]上的上范数）和（ii）集F（A）={Ff:F来证明F是紧的∈ A} 在C（[0，T]，R）中相对紧凑。（i） 让（fn）n A收敛到f∈ A在最高标准中。然后我们得到了Tfn（t）（c）→ Tf（t）（c）as n→ ∞ 在t中一致∈ [0，T]对于任何c∈ B、 和苏电脑∈BTfn（t）（c）→ supc∈BTf（t）（c）表示任何∈ [0，T]。由于（fn）和f严格地依赖于一个递增式，并且假设5.4有效，我们有许多t，使Tfn（t）（c）和Tf（t）（c）在B在唯一c.因此，它在arg supc紧随其后∈BTfn（t）（c）→ arg supc∈BTf（t）（c），代表a.e。

T∈ [0，T]。因此，受支配的++参见例如定理1。Zeidler（1995）中的C收敛定理Ffn（t）=ACfn（t）→ ACf（t）=任何t的Ff（t）∈ [0，T]。由于函数acfn和acfn是非递减的，收敛性Ffn→ 这是最高标准。（ii）利用B的有界性和^g的连续性，可以直接验证函数F（A）的集合是等连续的。因此，我们通过应用Arzela抗坏血酸，得到了任何序列（A（n））n 存在一个连续函数*: [0，T]→ r这样，沿着子序列（nk），（a（nk））k一致地收敛到a*, 因此确定F（A）是相对紧凑的。示例5.8（i）针对驱动函数^g=g（在示例2.10中给出，λ=1）和a∈ R+我们得到（5.17）中的Ta（c）由Ta（c）=a（u）给出- r1）C-个人计算机ΣΣc+cRRcν。如果∑∑+ RRν是可逆的，那么就可以直接验证假设5.4是否满足。（ii）让我们明确地确定在理论5.6中给出的均衡投资组合分配策略，在这种情况下，驱动函数^g与第（i）部分中的一样，我们有两个风险资产（n=2），其动态由（5.2）给出，其中d=k=2，u>u>r，r≥ 0和s:=（∑+Rν）<0。根据si:=（∑+Rν）ii，i=1，2，让我们表示+：=s+s- 2s，e+：=s- s、 c+（a）：=-e+d++se+d+- η（a），η（a）：=a（u）- u）s-e+d+（a（u- u)- d+，例如∈ [0，pd+/（u）-u)). 通过g的凸性，可以得出~T（c）的上确界：=Ta（（c，1）-c） ）=a（u- r） +a（u）- u）c-pd+c+2e+c+sover c∈ R是在满足∧T′（c）=0的条件下得到的<=>c=c+（a），我们有~T′（1）>0<=> a>a+：=u- us- sps！。因此，均衡分配策略π*= (π*t） t∈定理5.6中的[0，T]给出如下：*t=C*（t）=（1,0），如果*（t） >a-∨ a+，（c+）（a*（t） ），1- c+（a）*（t） ）），如果-< A.*（t）≤ A.-∨a+，（0，0），如果a*（t）≤ A.-,哪里-还有*（t） 如定理5.6所示。

因此，如果风险规避参数γ非常小和/或t非常接近视界t，则均衡策略将进一步投资于具有最高预期收益的风险集合1；在远离地平线或高风险规避参数时，动态偏差惩罚项开始发挥更重要的作用。政策是将部分财富投资于资产2，而如果γ足够大或t足够小，均衡策略是将所有财富投资于银行账户。（iii）在d=k=1，u：=u>r的单个风险资产（n=1）的情况下，我们通过直接计算发现，定理5.6中的值函数V和辅助函数h明确给出了oft*=T+u- R-γ√∑+Rν∧ T——参见Zeidler（1995）中的第35页，由V（T，x）=V（T）表示*∧T、 x exp{r（T）*∧T-t） }）和h（t，x）=h（t*∧T、 x exp{r（T）*∧T-t） }）对于t∈ [0，t*∧T）与v（T，x）=h（T，x）[1- （T）- t） γp∑+Rν]，h（t，x）=x exp{u（t）- t） 好的，t∈ [t]*∧ T、 T]，其中平衡策略π*由π给出*t=C*（t）=1，如果a（t）=γ1+（u-r） （T）-t） >√∑+Rνu-r=a-<=> T∈ （t）*∧ T、 T]，0，如果a（T）≤ A.-<=> T∈ [0，t*∧ [T]。看到π*以这种形式，我们观察到≤ T*如果u - R- γ√∑+Rν-(u -r） γ（T）- （t）√∑+Rν≤ 0<=> 0∈ 阿格。supπ∈[0,1]{（LπV）（t，x）- γ（Gπh）（t，x）}，其中Lπ和Gπ在（5.7）和（5.8）中给出。致谢。MP承认EPSRC grant EP/I019111/1的部分支持。MS感谢NWO VENI 2012的支持。参考文献[1]Artzner，Ph.，F.Delbaen，J.-M.Eber和D.Heath（1999）。一致的风险度量。数学财务9203-228。[2] Artzner博士、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku（2007年）。一致的多周期风险调整值和贝尔曼原理。运筹学年鉴152，5-22。[3] 奥曼·R.（1969）。可测效用和可测选择定理。

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