动态偏差测度与连续时间投资组合优化

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英文标题：
《On Dynamic Deviation Measures and Continuous-Time Portfolio Optimisation》
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作者：
Martijn Pistorius and Mitja Stadje
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we propose the notion of dynamic deviation measure, as a dynamic time-consistent extension of the (static) notion of deviation measure. To achieve time-consistency we require that a dynamic deviation measures satisfies a generalised conditional variance formula. We show that, under a domination condition, dynamic deviation measures are characterised as the solutions to a certain class of backward SDEs. We establish for any dynamic deviation measure an integral representation, and derive a dual characterisation result in terms of additively $m$-stable dual sets. Using this notion of dynamic deviation measure we formulate a dynamic mean-deviation portfolio optimisation problem in a jump-diffusion setting and identify a subgame-perfect Nash equilibrium strategy that is linear as function of wealth by deriving and solving an associated extended HJB equation.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了动态偏差度量的概念，作为偏差度量（静态）概念的动态时间一致性扩展。为了实现时间一致性，我们要求动态偏差度量满足广义条件方差公式。我们证明了在控制条件下，动态偏差测度被刻画为一类向后SDE的解。我们为任何动态偏差度量建立了一个积分表示，并导出了一个关于附加$m$-稳定对偶集的对偶特征化结果。利用动态偏差测度的概念，我们在跳跃-扩散环境下建立了一个动态均值-偏差投资组合优化问题，并通过推导和求解相关的扩展HJB方程，确定了一个与财富成线性函数的子博弈完美纳什均衡策略。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> On_Dynamic_Deviation_Measures_and_Continuous-Time_Portfolio_Optimisation.pdf (403.25 KB)

2022-5-11 06:16:18 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 连续时间 Applications Optimisation

关于动态偏差测度和连续时间投资组合优化Martijn Pistorius*Mitja Stadje+摘要。在本文中，我们提出了动态偏差度量的概念，作为偏差度量（静态）概念的动态时间一致性扩展。为了实现时间一致性，需要动态偏差度量满足广义条件方差公式。我们证明，在控制条件下，动态偏差测度被描述为某类向后SDE的解。我们建立了任意动态偏差度量的积分表示，并导出了关于加法m-稳定对偶集的对偶刻画结果。利用这种动态偏差度量的概念，我们在跳跃扩散环境中建立了一个动态偏差投资组合优化问题，并通过推导和求解相关的扩展HJB方程，确定了一个与财富成线性函数的子博弈-效果-纳什均衡策略。1引言关于风险的一种传统思考方式是随机实现偏离平均值的程度。例如，在Markowitz（1952）提出的投资组合理论中，风险被量化为回报的方差或标准差。在Black-Scholes（1973）模型的设置中，波动率参数通常被视为风险的描述，它等于单位时间对数股价的标准偏差。最近出现的其他风险量化方法也考虑了回报分布的其他方面，如重尾和不对称。在这种情况下，Rockafellar等人引入并发展了（一般）偏差测量的公理框架。

（2006a），形成了一类作用于平方可积随机变量的非负正齐次（静态）算子。一般偏差度量允许区分平均值的上偏差和下偏差，即一般标准偏差。文献中探讨了投资组合优化和财务决策的各个方面，特别是CAPM、资产评估、一个和两个基金定理以及均衡理论；在其他许多方面也可以看到。（2004）、Rockafellar等人（2006b、2006c、2007）、马尔凯和舒尔茨（2005）、斯托扬诺夫等人（2008）、格雷丘克等人（2009）或格雷丘克和扎巴兰金（2013、2014）。在本文中，我们提出了一种公理化的方法，在动态连续时间设置偏差措施。我们证明，如果满足某一控制条件，这种动态偏差测度通常允许对偶鲁棒r表示，并且与某一类倒向随机微分方程（BSDE）有关，我们使用这种动态偏差度量的概念来表述跳跃扩散环境中的平均偏差投资组合优化问题，并通过相关的新型扩展HamiltonJacobi-Bellman方程来确定该问题的子博弈完美纳什均衡投资组合分配策略，该方程补充了Bj¨ork和Murgoci（2010）中研究的方程。*伦敦帝国理工学院数学系。pistorius@imperial.ac.uk+密贾乌尔姆大学数学与经济学院。stadje@uni-乌尔姆。删除关键词和短语。偏差度量，时间一致性，投资组合优化，扩展HJB方程。（2010）AMS分类。60H30、90C46、91A10、91B70、93E99。（有条件的）偏差测量。

动态偏差度量是根据条件偏差度量给出的，而条件偏差度量又是Rockafellar等人（2006a）中定义的（静态）偏差度量概念的条件版本，我们将在下面介绍。关于过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P），其中T>0表示地平线，考虑Lp（Ft），T中元素描述的（风险）位置∈ [0，T]，p≥ 0，Ft可测随机变量X的空间，使得e[|X | p]<∞); 通过Lp+（英尺），L∞（Ft）和L∞+表示Lp（Ft）中非负、有界和非负有界元素的子集。定义如下：定义1.1适用于任何给定t∈ [0，T]，Dt:L（FT）→ 如果L+（Ft）被归一化（Dt（0）=0），并且满足以下性质，则称为Ft条件偏差度量：（D1）平移不变性：对于任何m∈ L∞（英国《金融时报》）；（D2）正同质性：任何X的Dt（λX）=λDt（X）∈ L（FT）和λ∈ L∞+（英国《金融时报》）；（D3）次加性：Dt（X+Y）≤ 对于任意X，Y，Dt（X）+Dt（Y）∈ L（英尺）；（D4）正性：Dt（X）≥ 0代表任何X∈ L（FT）和Dt（X）=0当且仅当X是FT可测的。如果Fis很小，则是Rockafellar等人（2006a）定义1意义上的偏差度量。我们记得，Dt（X）=0的值对应于没有不确定性的无风险状态，而公理（D1）可以解释为要求在位置X上增加一个常数（解释为现金）不应增加风险。此外，它与Rockafellar等人（2006a）中的结论类似，如果满足（D2）-（D3），（D1）在任何m的Dt（m）=0时成立∈ L（英尺）。换句话说，常数没有任何风险。

此外，众所周知，如果（D2）成立，（D3）等价于条件凸性，也就是说，对于任何X，Y∈ L（FT）和任意λ∈ L∞（英尺）即0≤ λ ≤ 1Dt（λX+（1）- λ） Y）≤ λDt（X）+（1）- λ） Dt（Y）。凸性的性质通常被解释为头寸的变动不应增加其风险。我们还注意到（D2）意味着，对于任何X，X∈ L（FT），Dt（IAXi）=IADt（Xi），i=1，2，w这里IAdenotes集合A的指示符，因此*Dt（IAX+IAcX）=IADt（X）+IAcDt（X），A∈ Ft.（1.1）在分析中，通常还会施加一个下半连续性条件，其条件形式如下：（D5）下半连续性：如果Xn收敛到L（Ft）中的X，则Dt（X）≤ lim infnDt（Xn）。动态偏差测量。我们对给定的Ft条件偏差措施系列施加额外的结构，以确保其满足某种形式的时间一致性。其中一个递归结构已被成功地应用于均值-方差投资组合优化，即嵌入在条件方差公式中的结构；例如，参见Basak和Ch ab akauri（2010年）、Wang和Forsyth（2011年）、Li等人（2012年）或Czichowsky（2013年）。受这种递归结构的启发，我们要求∈[0，T]的条件偏差度量满足以下条件方差公式的推广：（D6）时间一致性：对于所有s，T∈ [0，T]带s≤ t和X∈ L（FT）Ds（X）=Ds（E[X | FT]）+E[Dt（X）| Fs]。

(1.2)*要知道（1.1）保持注意，通过（D2）IADt（1AX+1AcX）=Dt（IA（IAX+1AcX）=Dt（IAX）=IADt（IAX）=IADt（X）；类似地，我们有IAcDt（1AX+1AcX）=IAcDt（X）。备注1.2（i）为D（X）≥ 0，（D6）表示（Ds（X））s∈[0，T]是一个超级鞅，这特别意味着D有一个c`adl`ag修改。（ii）根据标准参数，s=0的（D6）已经唯一地确定了动态偏差度量D。对于∈ 给出了L（FT）和（Dt（X））t∈[0，T]存在一组平方可积Fs可测随机变量（D′T（X））T∈[0，T]对于s=0满足（D6），那么对于所有T，Dt（X）=D′T（X）∈ [0，T]。事实上，如果Ft可测集A′：={D′t（X）>Dt（X）}有n个零上测度，那么通过（1.1）和（D6）我们得到[IA′Dt（X）]=E[Dt（IA′X）]=D（IA′X）- D（E[IA′X | Ft]）=ED′t（IA′X）= EIA′D′t（X）,这与集合a’的定义相矛盾。类似地，可以看到集合{D′t（X）<Dt（X）}的测度为零。（iii）由于L（FT）中的非凸、下半连续和有限、非连续（见Rockafellar等人（2006）中的命题2）。因此，我们得出了动态偏差测量的以下定义：定义1.3 A族（Dt）t∈[0，T]被称为动态偏差度量，如果Dt，T∈ [0，T]是满足（D5）和（D6）的条件偏差度量。构造动态偏差度量示例的一种方法是根据特定类型BSDE的解。当这些解被视为相应随机变量的函数时，我们将其称为g-偏差度量（其中g是相关BSDE的d river函数）。我们在定理3.2中证明，在控制条件下，对于某些驱动函数g，任何动态偏差测度都等于ag偏差测度。

这一结果可以被认为是动态一致性和凸性风险度量与g-期望之间联系的模拟；参见C oq uet etal。（2002年）和Royer（2006年）（关于凸风险度量和g-期望及其生成的贡献，参见Barrieu和El Karoui（20052009）、Rosazza Gianin（2006）、Kl–oppeland Schweizer（2007）、Jiang（2008）、El Karou i and Ravenelli（2009）、Bion Nadal和Magali（2012）、Orpelser和Stadje（2014））。通过利用双稳健表示结果，我们还建立了在没有支配条件的情况下有效的一般动态偏差度量的特征（见定理4.1、4.3和4.4）。备注1.4（与动态一致风险度量的关系）通过将Rockafellar等人（2006）给出的论点推广到Ft条件上下文，我们注意到，任何Ft条件偏差度量等于满足（Ftconditional）较低范围优势条件（即ρt（X））的条件期望和风险度量ρt之和≥ E[X | Ft]表示所有t∈ [0，T]和X∈L（FT）在X为常数的集合上相等）。由于时间一致性的概念在动态偏差和动态风险度量的情况下有所不同，这种关系不会延续到动态情况。集合（ρt）t∈[0，T]，ρT:L（FT）→ L+（Ft）形成了一系列动态一致风险度量，我们回忆起，如果，对于每个t∈ [0，T]，ρ是正齐次次可加的（如（D2）和（D3）），在以下意义上是（动态）单调和平移不变性：平移不变性：对于所有X∈ L（英尺）和m∈ L∞我们有ρt（X+m）=ρt（X）- m、 单调性：如果X，Y∈ L（英尺）和X≤ Y然后ρt（X）≥ ρt（Y）。关于这些公理的讨论，见Artzner等人（1999年）。注意，对于anym，by（D1）-（D2）Dt（m）=0∈ L（Ft），因此动态偏差度量不满足单调性公理。

虽然对于动态偏差度量，时间一致性是根据广义条件方差公式（1.2）定义的，但在动态一致性和凸性风险度量理论中，递归塔式属性是强时间一致性动态风险度量应满足的关系。具体来说，我们记得，如果ρs（ρt（X））=ρs（X）表示s，则动态一致性或凸性风险度量称为强时间一致性≤ t、 （1.3）例如，参见陈和爱泼斯坦（2002年）、里德尔（2004年）、德尔巴恩（2006年）、阿尔茨内雷特（2007年）、福尔默和希伊德（2011年）、切里迪托和库珀（2011年）。注意，动态偏差度量D不是强时间一致的（考虑到t<t时Dt（Dt（X））=Dt（0）=0的f作用）。有趣的是，如P-Proposition 4.9所示，一组条件偏差度量满足性（D6）当且仅当在其对偶表示中，对偶集是凸的、闭合的且加性m-稳定的，这一结果自然补充了文献中的一个众所周知的事实，即一致风险度量（由（1.3）定义）的时间一致性属性可以用凸、闭、乘法m-稳定集来表征（见Delbaen（2006））。目录论文的其余部分组织如下。我们在第2节中介绍了g-偏差度量的定义、性质和一些示例。有了这些结果，我们在第3节中讨论了预测条件下动态偏差测量的特征（定理3.2）。然后在第4节中建立一般动态偏差测度的积分表示，去掉上述控制条件（定理4.1）和对偶鲁棒表示结果。（定理4.3和4.4）。在第5节中，我们提出了一个动态平均偏差投资组合优化问题，并给出了一个均衡解。

从动态偏差度量的角度研究其他（财务）优化问题，如最优套期保值问题、资本配置问题和最优停止问题，是很有意义的；为了简洁起见，我们将这些作为未来研究的主题。2 g-偏差测量在续集中，我们假设概率空间(Ohm, F、 P）配备有（i）标准D维布朗运动W=（W，…，Wd）（ii）在[0，T]×Rk\\{0}上的泊松和om测度N（dt×dx），独立于W，强度测度^N（dt×dx）=ν（dx）dt，其中L′evymeasureν（dx）满足可积条件zrk\\{0}（|x）|∧ 1） ν（dx）<∞,设N（dt×dx）：=N（dt×dx）-^N（dt×dx）表示补偿泊松度量。进一步，让U表示由L（ν（dx））范数（Ft）t导出的Borel-sigma代数∈[0，T]在[0，T]×上，由W和N，P和O生成的可预测和可选西格玛代数的右连续完成过滤Ohm 关于（英尺）。我们用Ld（P，dP×dt）表示所有可预测的d维过程的空间，这些过程相对于测度dP×dt是平方可积的，我们让=Y∈ O:Esup0≤T≤T|Ys|< ∞表示平方可积c`adl`A可选过程的集合。进一步，设B（Rk\\{0}）是Rk\\{0}上的Borel-sigma代数。对于任何X∈ L（FT）我们用（HX，~HX）表示一对唯一的可预测过程∈ Ld（P，dP×dt）和HX∈ L（P×B（Rk\\{0}），dP×dt×ν（dx）），随后被称为X的表示对，满足+X=E[X]+ZTHXsdWs+ZTZRk\\{0}HXs（X）~N（dt×dx），（2.1），其中rthxsdws:=Pdi=1RTHX，isdWis。我们考虑了以下类型的驱动函数：+参见Jacod和Shiryaev（2013）定义2.1中的定理III.4.34，我们称之为P B（道路） U-可测函数G:[0，T]×Ohm ×Rd×L（ν（dx））→ R+（t，ω，h，~h）7-→ g（t，ω，h，~h）一个驱动函数，如果用于dP×dt a.e。

（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]：（i）（正性）对于任何（h，~h）∈ Rd×L（ν（dx））g（t，h，~h）≥ 当且仅当（h，~h）=0时，等于0。（ii）（下半连续性）如果hn→ h、 ~hn→~hl（ν（dx））-a.e.然后g（t，h，~h）≤ lim infng（t，hn，~hn）。定义2.2如果g（t，h，~h）在（h，~h）中是凸的，我们称驱动函数g为凸的，dP×dt a.e。；正齐次如果g（t，h，~h）在（h，~h）中是正齐次的，也就是说，对于λ>0，g（t，λh，λh）=λg（t，h，~h），dP×dt a.e。如果对于某些K>0，我们有dP×dt a.e.| g（t，h，~h），则是线性增长的|≤ 1+K | h |+KZRk\\{0}h（x）ν（dx）。（2.2）对于此类驱动函数g，可以将给定解的相应动态偏差测量与特定BSDE相关联。定义2.3假设g是线性增长的凸正齐次驱动函数。g偏差度量Dg=（Dgt）t∈[0，T]等于集合Dt:L（FT）→ L+（英尺），t∈ [0，T]，给定byDgt（X）=Yt，X∈ L（FT），其中（Y，Z，~Z）∈ S×Ld（P，dP×dt）×L（P×B（Rk\\{0}），dP×dt×ν（dx））是B-SDE的唯一解，由X×bydYt=-g（t，HXt，~HXt）dt+ZtdWt+ZRk \\{0}~Zt（x）~N（dt×dx），t∈ [0，T），（2.3）YT=0，（2.4）任何g-偏差度量都允许g的积分表示。命题2.4假设g是线性增长的凸正齐次驱动函数。（i）对于给定的X∈ L（FT），我们有dgt（X）=EZTtg（s，HXs，~HXs）ds英尺, T∈ [0，T]。（2.5）（ii）DG是一种动态偏差测量。特别是DGS（D6）。证据