动态偏差测度与连续时间投资组合优化

（i） 让YT等于（2.5）的右边，我们注意到YT=0，而我们有YT=Mt-Ztg（s，HXs，~HXs）ds，Mt=EZTg（s，HXs，~HXs）ds英尺.让（Z，~Z）=（ZMT，~ZMT）代表MTwe的一对，我们得到了ytsaties（2.3）。（ii）为了验证（D6）是否成立，我们注意到陈述（2.5）暗示，对于任何s，t∈ [0，T]带s≤ t、 Dgs（E[X | Ft]）=EZtsg（u，HXu，~HXu）杜财政司司长,由此得出Dgs（E[X | Ft]）+E[Dgt（X）| Fs]等于Ztsg（u，HXu，~HXu）杜财政司司长+ EEZTtg（u，HXu，~HXu）du英尺财政司司长= EZTsg（u，HXu，~HXu）杜财政司司长,等于Dgs（X）。接下来，我们证明公理（D1）-（D5）是满足的。我们从（2.5）中注意到，对于任何X，Dgt（X+m）=Dgt（X）∈ L（英尺），米∈ L∞+而Dgt（m）=0表示g（t，0，0）=0，因此（D1）保持不变。使用（2.5）我们可以看到，DG继承了g的凸性和正均匀性的性质，因此（D2）和（D3）是可以满足的。正性（D4）很容易通过使用它来验证，g对于（h，~h）6=0是非负的和严格正的。最后，如果→ L（FT）中的X，（HXn，~HXn）收敛到Ld（dP×dt）×L（dP×dt×ν（dx））范数中的（HX，~HX），并且（b）g是非负的下半连续的，我们通过应用Fatou的Lemmalim infnDgt（Xn）=lim infnEZTtg（s，HXns，~HXns）ds英尺≥ EZTtlim infng（s，HXns，~HXns）ds英尺≥ EZTtg（s，HXs，~HXs）ds英尺= Dgt（X），这表明（D5）中的下半连续条件也满足。线性增长条件和凸性保证了L引理2.5中的g-偏差测度是连续的。设g是线性增长的凸驱动函数。如果Xn在L（FT）中收敛到X，那么limndg（Xn）=Dg（X）。证据如前所述，如果xn收敛到L（FT）中的X，则HXnandhxn收敛到hx和HXin Ld（dP×dt）和L（dP×dt×ν（dx））的范数。

下一步注意| g（s，HXns，| HXns）|是生长条件（2.2）和过程|HXn |和rrk\\{0}| | HXn |（x）ν（dx）在L（dP×dt）-范数中的收敛的统一整数序列。由于g是连续的（因为它是凸的且局部有界的，参见Zalinescu（2002）中的定理2.2.9），因此limnDg（Xn）=limnEhRTg（s，HXns，~HXns）dsi=EhRTg（s，HXs，~HXs）dsi=Dg（X）。我们列出了g-偏差测量的一些性质，这些性质以驱动函数g的性质为特征。命题2.6假设g和＠g是线性增长的驱动函数。（i） DG是条件凸的当且仅当g是凸的。（ii）dGsaties（D2）当且仅当g是正齐次的。（iii）Dgt是对称的，即Dgt（X）=Dgt(-十） 对于所有t，if，且仅当g在（h，~h）中是对称的。（iv）Dg≥ 只有当g≥ ~g dP×dt a.e.为了简化符号，我们表示s，t∈ [0，T]带s≤ t和（H，~H）∈ Ld（P，dP×dt×L（P×B（Rk\\{0}），dP×dt×ν（dx）），（H·W）s，t:=rtshudwand（~H·N）s，t:=R（s，t]×Rk\\{0}Hu（x）~N（du×dx），和moverover（H·W）t:=（H·W）0，tand（~H·N）t:=（~H·N）t:=（~H·N）0，t）2.6命题的证明。首先，我们证明（我）\'=>’ 自相矛盾。假设i=1,2存在一个非零的可预测集C和一个λ∈ （0，1）使得对于（s，ω）∈ Cg（s，λBs+（1）- λ） Bs，λBs+（1）- λ） ~Bs）>λg（s，Bs，~Bs）+（1）- λ） g（s，Bs，~Bs）。设置His（ω）=Bis（ω），i=1,2，如果（s，ω）∈ C和零，否则，定义为Hi，i=1，2，类似地，d setX=（H·W）T+（~H·N）T，Y=（H·W）T+（~H·N）和Cs={ω∈ Ohm : （s，ω）∈ C} 。使用thatg（s，0，0）=0，可以得出Dg（λX+（1- λ） Y）等于脚趾ZTg（s，λICsHs+（1）- λ） ICsHs，λICsHs+（1- λ） ICsHs）ds= EZTICsg（s，λHs+（1- λ） Hs，λHs+（1- λ） ~Hs）ds> λEZTISCG（s，Hs，~Hs）ds+ (1 - λ） EZTISCG（s，Hs，~Hs）ds= λEZTg（s、ICsHs、ICsHs）ds+ (1 - λ） EZTg（s、ICsHs、ICsHs）ds.

（2.6）（2.6）的右侧等于λDg（X）+（1）- λ） Dg（Y），与Dg的凸性相矛盾。方向是=>’ 在（ii）、（iii）和（iv）中，遵循类似的推理路线。其影响<=’在（i）-（iv）中，遵循命题2.4中的（2.5）。例子。接下来我们给出了一些g-偏差度量的例子。例2.7 g-偏差测度族，其驱动函数由gc给出，d（t，h，~h）=c|h |+dsZRk\\{0}h（x）|ν（dx），c，d∈ R+\\{0}，（2.7）对应于随机变量X的风险度量∈ L（FT）的鞅表示（2.1）中连续和不连续鞅部分的局部波动率的积分倍数。例2.8在g偏差测量的情况下，驱动函数由g（ω，t，h，~h）=CVaRνt，a（~h），a给出∈ （0，ν（Rk\\{0}），风险是根据CV aRνt，a下的（大）跳跃大小的值来测量的。这里CV aRνt，a（~h）=aRaV aRνt，b（~h）db是根据左分位数V aRνt，a（~h），a给出的∈ （0，ν（Rk\\{0}））的h（J）在度量ν（dx）下，也就是说，V aRνt，a（~h）：=V aRνa（h（J））：=sup{y∈ R:ν（{x∈ Rk\\{0}:~h（x）<-y} ）<a}。在下一个示例中，我们部署了以下辅助结果：命题2.9让I:={t，t，…，tn} [0，T]必须严格遵守命令。D=（Dt）t∈Isatis fies（D1）–（D4）和（D6）当且仅当对于某些集合D=（~Dt）t∈Iof条件偏差度量wehaveDt（X）=EXti∈I:ti≥t~DtiEX | Fti+1- E[X | Fti]英尺, T∈ 一、 X∈ L（英尺）。（2.8）特别是，动态偏差测量满足（2.8）~Dti=Dti，ti∈ “我有证据。”<=’: 我们将只展示数据满意度（D6），因为很明显（D1）-（D4）是令人满意的∈ L（FT）并注意到作为Dt，t∈ 一、 满足（D1）和（D4）我们对任何s，t∈ 带s>t thatDt（E[X | Fs]）=Pti的I∈I:t≤ti<sEh~Dti（EX | Fti+1)|Fti。

因此，我们得到Dt（X）等于toXti∈I:t≤ti<sEh~Dti（EX | Fti+1)Fti+Xti∈I:是的≤tiEhDti（E）X | Fti+1)Fti=Dt（E[X | Fs]）+E[Ds（X）| Ft]。\'=>’: 为了X∈ L（英尺）和ti-1.∈ 一、 我≥ 1，我们有（D6）和（D1）Dti-1（X）=Dti-1（E[X | Fti]）+EDti（X）| Fti-1.= Dti-1（E[X | Fti]- EX | Fti-1.) + EDti（X）| Fti-1.. （2.9）基于（2.9）的归纳论证得出（2.8）成立，且Dt=Dt，t∈ 我例2.10命题2.9中的公式（2.8）给出了定义集合D=（Dt）t的方法∈s，t的标准化公理（D1）-（D6）∈ 一、 我们称之为网格I上的动态偏差测量（2.8）和（2.5）的比较表明，可以获得动态偏差测量值，作为网格尺寸为零的网格上（适当选择的）动态偏差测量值的限制。我们接下来对g-偏差测度Dλ：=Dgλ，λ>0，对应于由gλ（ω，t，h，h）给出的驱动函数gλ：=λs | h |+ZRk\\{0}h（x）|ν（dx），λ>0，（2.10）和随机变量x∈ 形式的L（FT）x=x+ZTf（t）dWt+Z[0，t]×Rk\\{0}g（t，y）~N（dt×dy）（2.11）与x∈ R、 f∈ C（[0，T]，Rd）和g∈ C（[0，T]×Rk，R）—。我们构造了条件CV-aR偏差测量的近似序列n，由Dt（Y）：=CV-aRt，α（Y）给出- E[Y | Ft]）福里∈ L（英尺），t∈ [0，T]，α∈ （0,1），其中Z∈ L（FT）CV aRt，α（Z）=αZαV aRt，b（Z）db，V aRt，b（Z）=sup{y∈ R:P（Z<-参见Rockafellar等人（2006a）。具体而言，（2.8）中的表达式建议缩放与小时间单位对应的条件偏差度量值，以便在极限内获得动态偏差度量。表示形式为（2.11）Mti+1:=E的XX | Fti+1, Mi+1:=Mti+1- Mti，ti=ti/2n，i=0，2n- 1.根据该建议，我们指定了tn=T和d对总风险的贡献Mi+1=Zti+1tif（s）dWs+Z（ti，ti+1）×g（s，y）~N（ds×dy），i=0。

，2n-1、C（[0，T]，Rd）和C（[0，T]×Rk，R）表示连续函数的集合f:[0，T]7→ 连续函数G:[0，T]×Rk7的Rd和→ R是如此的令人惊讶∈[0，T]| g（T，x）|→ 0为| x |→ ∞ 还有supx∈Rk\\{0}支持∈[0，T]{g（T，x）|/|x |}∞.通过Dti(Mi+1）：=√ti+1CV-aRti，α(Mi+1），ti+1=ti+1- ti，它产生了动态偏差度量D（n）=（D（n）t）t∈Inon In:={ti，i=0，…，2n}给定比亚迪（n）t（X）=Xti≥德拉蒂(Mi+1）Fti=Xti≥tpσ（ti）ti+1E“CV aRti，αMi+1pσ（ti）ti+1！Ft#，带σ（t）：=|f（t）|+ZRk\\{0}| g（t，x）|ν（dx），t∈ 在（2.12）中，我们使用了CV aRti，α是正齐次的。像Mi+1是不可整除的，并且fand g是有界的，我们通过应用Lindeberg-Feller中心极限定理（参见例如Durrett（2004），第129页）得出→ ∞ 在保持固定利率的同时Mi+1/pσ（ti）ti+1在分布上收敛于标准正态随机变量ξ。通过一致可积性和Mi+1从FTI我们得到了Cv aRα，tiMi+1pσ（ti）ti+1！=CV-aRαMi+1pσ（ti）ti+1！→ CV aRα（ξ）=αZαΦ-1（u）du=：cα，其中CV aRα（·）=CV aRα，0（·）和Φ-1指定标准正态分布函数Φ的倒数。因此，让n→ ∞ 在（2.12）中，利用f和g的统一连续性，我们得到了任意t∈ [0，T]的形式为T=k/2m，k，m∈ N、 D（N）t（X）→ cαE“ZTts | f（s）|+ZRk\\{0}| g（t，x）|ν（dx）dsFt#=Dcαt（X）。（2.13）3特征化理论接下来，我们展示了满足支配条件的任何动态偏差度量都是某些驱动函数g的GDevision度量。定义3.1动态偏差度量D=（Dt）t∈[0，T]被称为λ-支配的如果对于所有T∈ [0，T]和X∈ L（英尺）我们有t（X）≤\'Dλt（X）。定理3.2设D=（Dt）t∈[0，T]是Dt:L（FT）地图的集合→ L+（英尺），t∈ [0，T]。

然后给出了一个动态偏差测度，当且仅当存在一个凸且正齐次的线性增长驱动函数g，使得D=Dg时，对于某些λ>0，它是λ主导的。此外，该驱动函数g是唯一的dP×dt a.e.证明。我们首先验证唯一性：如果“g”是满足Dg=D“g”的一个驱动函数，那么从命题2.6（iv）可以看出，g=“g dP×dt a.e”。接下来我们注意到<=’ 遵循命题2.4。剩下的部分用于证明隐含的=>’, 这是通过一些辅助结果建立的（其证明推迟到本节末尾）。因此，假设D是一个给定的动态偏差度量，它是λ主导的，因此特别是不确定的。接下来，我们确定一个候选驱动函数g。对于剩下的证明，我们假设d=1，以便于表示。固定h∈ R和h∈ L（ν（dx））考虑映射uh，~h:P×P→ R由uh给出，~h:C×C7→ D（ICh·W）T+（ICh·N）T.引理3.3 Let（h，~h）∈ R×L（ν（dx））。（i） C7→ uh，~h（C，), C7→ uh，~h(, C） 和C7→ uh、~h（C，C）是（[0，T]×上的σ-有限度量Ohm, P） 。（ii）对于任何C，C∈ P我们有uh，~h（C，C）=uh，~h（C\\C，) + uh，~h(, C\\C）+uh，~h（C∩ C、 C∩ C） 。（3.1）以Disλ为主的C7→ uh，~h（C，C）对于测度dp×dt是绝对连续的，我们从Rad on-Nikodym定理得出结论，存在一个可积的非负密度，比如Rh，~h（s，ω），即R0,0=0，对于任何集合C∈ Puh，~h（C，C）=EZTICsRh，~h（s）ds, （3.2）式中Cs={ω∈ Ohm : （ω，s）∈ C} 。特别是，我们注意到uh，~h（C，) = uh，0（C，C）和uh，~h(, C） =u0，~h（C，C）分别满足（3.2）的相对湿度，~hr由R0、手相对湿度0代替。我们用R byg（t，ω，h，~h）：=Rh，~h（t，ω），（t，ω）定义候选河流函数g∈ [0，T]×Ohm.

（3.3）下一个结果证实g是一个驱动函数。引理3.4 e xi表示g的一个版本，对于dP×dt a.e.（t，ω），（h，~h）7→ g（t，ω，h，~h）是连续的、凸的、正齐次的且受gλ支配。注意（t，ω）7→ g（t，ω，h，~h）对于每个（h，~h）是可预测的∈ R×L（ν（dx））和引理3.4（h，~h）7→ g（t，ω，h，~h）在（h，~h）中是连续的，因此通过s标准参数，g可以近似为P B（R） U-可测阶跃函数和g本身可以看作P B（R） U-可测量。进一步注意，g（t，ω，h，~h）与Rh一样是非负的，~h（t，ω）对于每个（h，~h）都是非负的，并且g（s，ω，0，0）=0，因为度量u0,0的密度R0,0（s，ω）为零。在下一个结果中，我们表明Dmay与Dg是一致的。引理3.5设g如引理3.4所示。为了X∈ 我们有D（X）=Dg（X）。引理3.5和备注1.2（ii）意味着Dt=dgtn不仅适用于t=0，也适用于所有其他t∈ （0，T）。证明是完整的。引理3.3、3.4和3.5的证明引理3.3的证明基于以下辅助结果：命题3.6设D为动态偏差度量，t∈ [0，T]。如果一个，一∈ 富坦代∩Aj= 对于i6=j和X，Xn∈ L（英尺），那么对于任何t∈ [0，T]DtnXi=1aixi=nXi=1Dt（IAiXi）。（3.4）证据。设置Sk:=Pki=1aixind Bk=∪ki=1Ai，k=1，n、 让我们首先通过一个归纳论证来证明，dt（Sn）=nXi=1aidt（Xi）。（3.5）等式。（3.4）是（3.5）和（1.1）的直接结果。使用（1.1）和事实-1.∩安= 我们有Dt（Sn）=Dt（IBn-1Sn-1+IBcn-1IAnXn）=IBn-1Dt（Sn-1） +IBcn-1Dt（IAnXn）=IBn-1n-1Xi=1aidt（Xi）+IBcn-1ANDT（Xn）=nXi=1AIDT（Xi），其中我们使用了（1.1）和第三等式中的归纳假设。这就完成了（3.5）的证明，也就是引理的证明。引理3.3的证明。（i） 让我们先来看看C7→ uh，~h（C，) 构成一个σ-有限度量。显然，uh，~h（·，) 为非负数且为uh，~h(, ) = 0

接下来我们验证C7→ uh，~h（C，) 对于形式为C:=（t，t]×A和C:=（t，t]×B的带A的disj点集是可加的∈ F和B∈ Ft.我们首先考虑的是t≤ T≤ T≤ 坦达∩ B= （注意，在这种情况下，C∩ C=). 通过部署命题2.9和命题3.6，我们注意到uh，~h（（（t，t]×A）∪ （（t，t]×B），) 等于toD（IAh·W）t，t+（IA∪Bh·W）t，t+（IBh·W）t，t）=E[Dt（（IAh·W）t，t）]+E[Dt（（IA）∪Bh·W）t，t）]+E[Dt（（IBh·W）t，t）]=E[Dt（（IAh·W）t，t）]+E[Dt（（IAh·W）t，t）]+E[Dt（（IBh·W）t，t）=D（（IAh·W）t，t）+D（（IBh·W）t，t），等于uh，~h（（t，t）×A，) + uh，~h（（t，t）×B，). 这些案件并不复杂≤ t<t≤ 坦特≤ T≤T≤ t可采用类似的方式进行验证。因此，我们可以得出这样的结论：在形式为（t，t]×A和（t，t]×B）的不相交集上，uh，~his加法在L（FT）中是不连续的（见备注1.2（iii）），并且上面考虑的集合是一个半代数，生成可预测的σ-代数，) 是σ-fite。这证明了C7→ uh，~h(, C） 和C7→ uh、~h（C，C）是类似的σ-有限度量，在h·W以上的等式中分别替换为~h·N和（h·W+~h·N）。（ii）定义（i）中的C和Cas，并考虑案例t≤ T≤ T≤ t一般（不一定是万向节）A∈ F和B∈ 英尺。

表示X=IA（h·W）t，t+IB（~h·N）t，tas为鞅增量X=IA（h·W）t，t+IA\\B（h·W）t，t+IA之和∩B[（h·W）t，t+（~h·N）t，t]+IB\\A（~h·N）t，t+IB（~h·N）t，并使用命题2.9和3.6，我们得到uh，~h（C，C）=D（X）等于[Dt（IA（h·W）t，t）]+EDtIA\\B（h·W）t，t+IA∩B[（h·W）t，t+（~h·N）t，t]+IB\\A（~h·N）t，t+ EhDt（IB（h·N）t，t）i=E[Dt（IA（h·W）t，t）]+EDt（IA\\B（h·W）t，t）+ EhDt（IA）∩B[（h·W）t，t+（~h·N）t，t]）i+EhDt（IB\\A（~h·N）t，t）i+EhDt（IB（~h·N）t，t）i。因此，再次使用命题2.9，我们有uh，~h（C，C）=D（IA（h·W）t，t+IA\\B（h·W）t，t）+D（IB∩A[（h·W）t，t+（~h·N）t，t]）+D（IB\\A（~h·N）t，t+IB（~h·N）t，t）=uh，~h（C\\C，) + uh，~h（C）∩ C、 C∩ C） +uh，~h(, C\\C）。这些案件并不复杂≤ t<t≤ 坦特≤ T≤ T≤ t可采用类似的方式进行验证。通过D（备注1.2（iii））和单调类参数的连续性（通过保持第一个C和C固定），可以得出所有可预测集的（3.1）h值，如断言的那样。引理3.4的证明。首先，注意可预测的σ-代数是由可数的多个集合生成的，比如A，A。修理∈ N表示Pn:=σ（A，…，An）。通过考虑内部划分，我们可以在重新标记后，在不丧失普遍性的情况下假设AIA是不相交的。用η表示测量η：=dP×dt on(Ohm ×[0，T]，P）并设Rnh，~h=Eη[Rh，~h | Pn]。§由于过滤是由不相交的集合A，A，对于dP×ds a.e.（s，ω），rnh，＠h（s，ω）=Xi:ν（Ai）6=0IAi（s，ω）η（Ai）uh，＠h（Ai，Ai）。（3.6）通过可能修改Rnh，我们可以假设（3.6）适用于所有（s，ω）∈ [0，T]×Ohm.它由（3.6）和（h，~h）的凸性和正齐性得出→ uh，~h（Ai，Ai）对于所有固定的（s，ω），Rnh，~h（s，ω）在（h，~h）中是凸的且正h均匀的。此外，我们声称|Rnh，|h |≤ gλ（h，~h）。

假设情况并非如此，也就是说，对于某些（h，| h）和Ai，|Rnh，|h |>gλ（h，| h）的所有（s，ω）∈ 人工智能。然后我们将有f或X=（H·W）T+（~H·N）Twith Hs=hIAiandHs=~hIAithat D（X）=uH，~H（Ai，Ai）=ehrtai（s）Rh，~H（s）dsisatis fiesd（X）>EZTIAi（s）gλ（h，~h）ds= EZTgλ（Hs，~Hs）ds=\'Dλ（X），这与D是λ主导的事实相矛盾。因为Pn是σ-代数的递增序列∪∞n=1Pn=P根据鞅收敛定理，对于dP×dt a.E.（t，ω），Rnh，h（t，ω）=Eη[Rh，h | Pn]（t，ω）收敛到Eη[Rh，h | P]（t，ω）=Rh，h（t，ω）。这种收敛只适用于零集。在这个零集上，我们可以设置rh，~h（t，ω）等于lim supnRnh，~h（t，ω）。因此，这个版本的Rh，~his由gλ控制，在（h，~h）中对每个（t，ω）都是凸的且正齐次的∈ [0，T]×Ohm 作为凸函数和正齐次函数的极限。由于每个局部有界的凸函数都是连续的（见Zalinescu（2002）中的定理2.2.9），因此断言的连续性就随之而来。引理3.5的证明。我们把证据分成几个步骤。第1步：对于X=（（hIC）·W）T+（~hIC）·NTfor（h，~h）∈ R×L（ν（dx））和C，C∈ P、 通过使用g（t，ω，0，0）=0，我们发现Dg（X）=EhRTg（s，hIC（s），~hIC（s））dsiis等于toE中兴通讯\\C（s）g（s，h，0）ds+ EZTIC\\C（s）g（s，0，~h）ds+ E中兴通讯∩C（s）g（s，h，~h）ds= uh，~h（C\\C，) + uh，~h(, C\\C）+uh，~h（C∩ C、 C∩ C） ，（3.7）等于uh，~h（C，C）=D（X）（注意，我们只需要在C上积分）∪Casg（t，ω，0，0）=0）。第2步：修复ti，ti+1∈ [0，T]与ti<ti+1并设X=（hiI（ti，ti+1]）·Wti，ti+1+（~hiI（ti，ti+1]）Nti，ti+1，高：=Pmj=1cjIAj，~hi=Pmj=1~cjIAj和cj∈ R、 ~cj∈ L（ν（dx）），和不相交集Aj∈ Fti，§具体地说，Rnh，~his是所有有界Pn随机变量U满足Eη[Rh，~hU]=Eη[Rnh，~hU]的Pn可测量随机变量，而Z满足Eη[Z]=RTE[Z（s）]ds∈ L（η）。j=1。