一种新的资产定价结构随机波动模型及其应用

Franke和Westerhoff（2012）（FW）提出的chartists资产定价模型，用于捕捉房地产金融市场中通常观察到的新房产。在第2.1节和第2.2节中，我们正式定义了资产定价模型及其定价动态和代理互动。接下来，在第2.3节中，我们描述了我们对基本价值运动的贡献，最后在第2.4.2.1节中讨论了模型的动力学。价格调整资产价格的变化是由过度需求决定的，正如在最初的FW模型中一样，遵循文献中一些最突出的例子（Beja和Goldman，1980年；Farmer和Joshi，2002年）。这里所说的超额需求，是指每个交易周期的确切正订单或负订单。每种交易者类型的具体需求尽可能简单，以每个平均交易者的需求为形式。对原教旨主义者来说，需求与当前价格和基本价值之间的差异成反比。也就是说，在时间t时，他们的核心需求与差距（pft）成正比- pt），其中Pti是时间t时资产的对数价格，而Pf是时间t时的基本对数值。同样，图表专家组Dct的核心需求与他们刚刚观察到的价格变化成比例（pt-pt-1） ，P和pt在哪里-1时间t和t的原木价格是多少- 分别为1。集团内的各种规格通过添加到每个核心需求中的噪声项来捕获。这些术语概括了集团内部的异质性，并根据集团当前的规模进行了扩展。具体而言，噪声由两个正态分布的随机变量表示ftandCTC分别面向原教旨主义者和宪章主义者。换句话说，人们可以将噪声变量视为一种方便的方法，来捕捉由数百或数千个不同的代理组成的市场的异质性。

在每次迭代中，这两个噪声项中的每一个都会被采样，并添加到需求的确定部分，从而得到相应组中每个代理的总需求。因此，结合确定性和随机性因素，我们得出t期内每组资产的净需求如下：Dft=φ（pft- pt）+英尺英尺~ N（0，σf）φ>0，f> 0，（1）Dct=χ（pt- pt-1) + 计算机断层扫描计算机断层扫描~ N（0，σc）χ≥ 0, C≥ 0，（2）其中φ和χ是常数，表示交易者需求的积极性，σfta和σcta是噪声规避。代理可以在每次迭代中切换策略，因此他们的市场份额会随着时间的推移而变化。为简单起见，我们将代理人的人口规模定为2N。让我们分别计算一下t时刻市场上原教旨主义者和图表主义者的数量。我们将原教旨主义者的多数指数定义为：xt=（nft- nct）/2N（3）因此，xt∈ [-1，1]，一个xt=-1（x=+1）对应于一个所有交易者都是图表主义者（原教旨主义者）的市场。此外，市场份额可以用多数指数表示：nft/2N=（1+xt）/2，nct/2N=（1）- xt）/2。（4） （标度）总需求Dt，由以下等式给出：Dt=nftDft+nctDct=（1+xt）Dft/2+（1- xt）Dct/2（5）通常处于不平衡状态。也就是说，代理商的总需求加起来不会等于零，我们的供应或需求都会过剩。根据文献中的早期例子（Farmerand Joshi，2002），假设做市商吸收过剩的供给，并提供任何过剩的需求。做市商调解投资者之间的交易并提供流动性。他通过从库存中提供库存并在需求过剩时提高价格来定价，同时积累库存并在供应过剩时降低价格。

具体而言，做市商通过以恒定系数u>0按比例调整价格来应对供需不平衡。因此，确定下一阶段t+1价格的方程式由方程式1-5得出：pt+1=pt+u[（1+xt）φ（pft- pt）+（1- xt）χ（pt）- pt-1) + t] ，（6）T~ N（0，σt），σt=[（1+xt）σf+（1- xt）σc]/2。（7） 方程7由方程1和2的两个正态分布之和乘以市场分数（1±xt）/2得出。结果是一个新的正态分布，其均值为零，方差等于两个单方差之和。组合方差σt取决于原教旨主义者和图表主义者的市场份额的变化。这种随机时变方差是该模型的一个关键特征，在Franke和Westerhoff（2009）中被称为回报的结构随机波动率（SSV）（定义为价格的对数差异）。2。市场份额的演变为了完善模型，仍然需要建立市场份额的运动NF和nct。它们在每个时期都是预先确定的，只在一个时期和下一个时期之间变化。根据Brock和Hommes（1997）引入的离散方法（DCA），可以使用多项式logit模型确定nst+1（s=f，c）的两个市场份额。在基本设置中，考虑了一些收益指数和UFTAR，通常来自两组过去的收益。市场份额可以表示为nst+1=exp（βust）/exp（βuft）+exp（βuct），其中β是选择的强度。除以exp（βuft），原教旨主义者的市场份额由nft+1=1/{1+exp给出[-β（uft）- uct。注意，任何效用变量的差异（uft- uct），可以被视为衡量原教旨主义交易的相对吸引力。

因此，我们可能会使用吸引力水平，即差异（uft）来更改符号- uct）。离散选择法由以下公式给出：nft+1=1+exp(-βat），nct+1=1- nft+1。（8） 我们使用市场影响u=0.01来规范价格规则6中的所有需求条款。此外，我们确定了选择强度β=1。当然，设定这些价值只是分别衡量市场对价格的影响和原教旨主义的相对吸引力水平的问题。请注意，市场份额直接受吸引力水平的影响。指数的增加导致原教旨主义者的市场份额增加。因此，确定吸引力水平及其所有组成部分的确切机制非常重要。在FW模型设置之后，我们考虑三个原则，它们可能会影响代理选择这两种策略之一的方式。第一个原则是羊群机制，这意味着一个群体中的代理人越多，该群体就越有吸引力。这一观点在文献中已被长期使用（例如，见Kirman（1993）和Lux（1995）），可以很容易地用一个与市场份额（nft）最近差异成比例的术语来表示- nct）。第二个原则是基于对两种交易策略之一的某种倾向。这可以由一个常数α直接捕捉到，如果代理对原教旨主义（图表主义）有先验偏好，则该常数α为正（负）。最后，第三部分概括了价格失调的概念。这一点得到了孟霍夫等人的经验支持。

（2009），世卫组织观察到，当价格离其基本价值越来越远时，专业人士越来越倾向于预测其均值回归均衡。在当前价格趋向于远离基本价值的环境下，图表主义变得更加危险，原教旨主义更具吸引力。因此，可以方便地根据价格ptt与基本值pft的平方偏差进行比例分配。结合吸引力水平的三个组成部分，我们得到：at=α+αn（nft- nct）+αp（pt）- pft），（9）其中α是易感参数，αn>0表示羊群效应参数，αp>0表示价格失调的影响。总之，该模型由两个中心动力学方程控制。首先，根据等式6和7进行价格调整，结构随机成分为σt。其次，市场份额的变化由等式8和9描述，包含了通过强烈的价格失调校正的羊群机制。整个系统具有易于前向迭代的递归结构。2.3. 基本值的运动金融时间序列的特点是缺乏可预测性，数学上称为鞅性质。它是理论模型的一个基本组成部分，表明对过去事件的了解永远无法帮助预测未来的运动。价格序列缺乏可预测性是众所周知的，并有记录在案，有大量文献对这一程式化事实提供了看似合理的一般性解释（Lux，2008）。由于信息的高效性，传统的融资可以解释这一点，也就是说，所有当前可用的相关信息都已经嵌入到市场价格中。

因此，价格只有在新信息到来时才能改变。金融时间序列数据的一个类似、非常常见的特性是其非平稳性。特别是，非平稳过程是一个随机过程，其联合概率分布随时间推移而变化。因此，其均值和方差随时间而变化。通常，股票价格被定义为随机行走的例子，这是一个非平稳过程。通常认为非平稳数据是不可预测的，无法预测。更详细地说，金融数据的非平稳性已经讨论和研究了很长一段时间，与鞅性质类似，它起源于有效市场理论（Pagan，1996）。A属性图1：增强Dickey Fuller平稳性测试结果。表1：模型参数φχσfσcαnαpupσp0。121 1.555 0.592 1.917-0.301 1.990 22.741 0.01 0.157与非平稳性相关的是单位根，单位根表示不能拒绝时间序列遵循随机游走或鞅过程的假设。或者，该系列被称为一级集成。关于单位根的问题已经产生了大量的文献，产生了一系列可以应用于金融数据的统计测试。广泛使用的非平稳性检验之一是增广Dickey-Fuller（ADF）单位根检验。按照这种方法，我们将经典的ADF测试（考虑到常数和趋势顺序）应用于OFW模型，其中基本值保持不变，pft=0。在10000次模拟中，单位根测试被拒绝2716次，p值小于10%的临界值。此外，试验被拒绝1557次，p值小于5%的临界值。使用MacKinnon（2010）更新的表格获得p值。

因此，我们可以说，使用恒定基本值的模型生成的价格序列在大约27%的时间内是平稳的，这强烈地影响了实际金融时间序列的行为。未能通过单位根检验的主要原因是假设基本值不变，这是不切实际的。作为解决方案，我们通过允许基本值Pfto随时间变化来扩展设置。具体地说，我们设定PFTO遵循几何布朗运动。这是描述股价行为最广泛使用的模型（Hull，2006），通常用于定量金融。从数学上讲，基本价格由dpft=uppftdt+σppftdWt给出，（10），其中wt是一个Weirner过程，upis是百分比漂移，σpis是百分比波动。漂移和波动率的精确值将与第3节中的所有其他模型参数一起进行估计。随着模型的改变，我们再次对10000个不同的模拟进行了增强Dickey Fuller测试。现在，当p值低于10%的临界值时，该试验仅被拒绝750次，当p值低于5%的临界值时，该试验被拒绝378次。因此，我们可以说，新模型（FW+）生成的价格序列在超过93%的模拟中是非平稳的（95%的区间内）。两个模型中生成的非平稳价格序列数量的直观表示可以（A）模拟原木价格（b）模拟多数指数（c）模拟收益（d）经验收益图2：6867个时间段内的模拟价格序列（pt）、基本价格序列（pft）、多数指数（xt）和收益（rt），以及标准普尔500指数的经验收益。如图1所示。我们绘制了增加模拟次数时生成的非平稳价格序列的百分比。

红线和蓝线分别代表初始模型和修改后的模型。硬线（虚线）是在10%（5%）临界值下计算的ADF结果。我们可以观察到非平稳价格序列的数量是如何大幅减少的，从初始模型的27%（临界规模为10%）减少到我们修改模型的4%（临界规模为5%）。因此，我们可以说，新模型产生了更现实的价格序列，因为在真实金融市场中，价格遵循鞅，而对过去事件的了解并不能帮助预测未来变化的平均值。和原始（FW）模型不同，我们改进的（FW+）设置更好地反映了真实金融时间序列的一些基本属性——非平稳性和不可预测性。2.4. 模型如何发挥作用我们现在转向探索定性指标，以证明金融市场最重要的类型化事实的存在。第4节将对FW+模型产生的价格、回报、波动性和成交量系列进行深入分析。表1给出了用于所有模拟的数值参数。在图2中，我们展示了模型在6867天内的简单运行，涵盖了1980年1月至2007年3月中旬标准普尔（S&P）股票市场指数所代表的经验数据的时间跨度。顶部面板显示了模型生成的（对数）价格系列Pt和基本价值pft。我们可以观察到价格的不规则波动，波动幅度相当大，类似于图2（c）中的经验收益所反映的真实金融系列的行为。第二个面板显示了交易员的相应组成，或市场份额的波动。大多数指数在不断变化，从原教旨主义统治时期（正值）到图表主义统治时期（负值）。

然而，它表明，市场大部分时间由原教旨主义者主导（xt>0.6），并突然转向图表主义（xt）≈ -0.65).对分别绘制在图2（A）和（c）中的模拟价格序列和多数指数进行快速目视检查，发现在存在严重定价错误的情况下，原教旨主义者的市场份额很高。另一方面，当价格接近基本价值时，图表师的数量就会增加。从模型定义来看，这种行为是显而易见的。当价格偏离基本价值时，吸引力水平等式中的错误定价因素使原教旨主义更具吸引力。然而，越来越多的原教旨主义者开始主导市场，他们的行为开始了价格向基本价值回归的过程。随着当前价格越来越接近基本价值，基本价值主义不再具有吸引力或可支持性，这使得代理人转向图表主义。羊群因素占据主导地位，导致图表主义占多数，图表主义的行动将使价格偏离基本价值。图2中的第三个面板展示了代理策略中这些不规则切换对回报的影响。由于图表主义者的需求变化较大，σc>σf，通过比较图2（b）和（c），我们观察到图表主义统治期间的回报水平超过了基础主义制度的水平。因此，当大多数经纪人都是图表师时，正常的收益序列似乎会被波动性加剧的爆发所打断。3.模型参数的估计在本节中，我们使用文献中最主要的方法之一，模拟矩法（MSM），讨论模型参数的形式化数值估计。

有关模拟矩方法及其在基于代理的模型中的应用的概述，请参阅Winker等人（2001）的工作；吉利和温克（2003）；阿米隆（2008）；Franke（2009）。该技术基于在FW+模型参数集（φ、χ、σf、σc、α、αn、αp、up、σp）上优化的目标函数。该方法指的是模拟产生的一组统计数据，也称为矩。其基本思想是，这些时刻应该接近它们的经验对应物，它们之间的距离由目标函数捕捉。基于代理的模型不应该模拟确切的经济或金融市场，而是应该解释金融市场的一些最重要的程式化事实，算法1 b=1的协方差矩阵集I={1，2，…，T}的Bootstrap估计：b从I构造Bootstrap样本Ib={tb，tb，…，tbT}替换T随机数，计算从Ibend得到的矩向量mb=（mb，…，mb）\'m=BPbmb^∑=BPb（mb- \'m）（mb）- \'m）W=^∑-1使此估算方法适合我们的目的。在本文中，我们使用1980年1月至2007年3月中旬标准普尔（S&P500）股票市场指数的T=6866日观测数据集（与FW模型中的数据集相同）对FW+模型进行了校准。进行估算时，应确保经验金融数据的四个最受讨论的统计特性相匹配。这些因素包括原始收益缺乏自相关、重尾、波动性聚集和长记忆。回报或（对数）价格变化以百分比表示，例如：rt=100（pt- pt-1). （11） 鉴于此，收益的波动性定义为其绝对值vt=|rt |。为了进行定量分析，这四个程式化的事实使用了大量的汇总统计或矩来衡量。