一种新的资产定价结构随机波动模型及其应用

首先考虑的是原始收益的一阶自相关系数。它需要接近于零，以便与这方面的经验发现一致（Kendall和Hill，1953年；Fama，1965年；Bouchaud和Potters，2003年；Chakraborti等人，2011年；Cont等人，2014年）。这将限制图表师对最近价格变化的价格推断。此外，如果模型产生的系数不显著，则更长时间滞后的所有自相关也将消失。此外，剩下的三个时刻是处理收益的波动性。首先，模型应适当调整整体波动率，从而限制由两个方差σf和σc带来的一般噪声。考虑绝对收益的平均值。接下来，重尾由绝对收益的希尔尾指数来衡量。为了消除偏差并考虑更准确的尾部指数，尾部被指定为上5%。长记忆效应由绝对回报的自相关函数（ACF）捕捉，滞后时间可达100天。特别是，当我们增加滞后时，自相关会衰减，而不会变得明显。整个文件必须匹配，并由六个不同的系数（τ=1,5,10,25,50,100）充分代表。因此，根据九个矩（原始收益的希尔估计、波动性、一阶自相关和绝对收益的滞后自相关τ=1,5,10,25,50,100）对模型进行评估，总结为（列）向量m=（m，…，m）（素数表示换位）。

应用模拟矩的方法，它们必须尽可能接近根据每日标准普尔500指数计算的等效经验矩memp。两个向量m和mempis之间的距离被定义为一个二次函数，带有一个合适的加权矩阵W∈ R9x9（稍后定义）。因此，距离由以下公式给出：J=J（m，memp；W）=（m- memp）W（m）- memp）。（12） 权重矩阵W考虑了矩的采样可变性，其确定对模型参数至关重要。其想法是，给定时刻i的采样可变性越高，可以认为主要和次要因素之间的差异越大。这种行为可以通过相应的小对角线元素wii来实现。此外，矩阵W应支持a=1:1000 do^θa=minimum（funJ，method=Nelder Mead）的算法2参数估计，其中^a为^θ=θθa=1和^Ja=J[ma（^θ；S），mempT]def funJ（θ）：使用参数θ向量模拟模型得到模拟力矩msim=（m，…，m）得到J（memp，mempT；msim）- mempT）W（msim- mempT）返回j单个时刻之间可能存在的相关性。W的一个明显选择是矩的估计方差协方差矩阵∑的逆（Franke，2009），W=∑-1.（13）^∑中的协方差通过bootstrap程序进行估计，该程序用于根据经验观测构建额外样本。在文献中，这通常是通过块引导实现的（Winker等人，2007年；Franke和Westerho ff，2011年和2012年）。然而，每次将两个不相邻的块粘贴在一起时，返回序列中的原始长期依赖性就会中断。因此，随机选择的块的独立性不能再现原始样本的依赖结构。这就是所谓的关节点问题（Andrews，2004）。

由于我们的估计与汇总统计有关，我们可以通过避免块引导来克服接合点问题。相应地，为了估计方差-协方差矩阵∑，我们使用了Franke和Westerhoff（2014）首先描述的一种新的自举方法。在他们的工作中，作者将这种方法应用于OFW模型，并用转移概率方法（Lux，1995）对代理之间的相互作用进行建模。因此，我们首次将这种新的自举框架应用于一个模型，其中代理根据离散选择方法Brock和Hommes（1997）随机交互。与传统的块引导不同，我们对单天进行采样，并与每一天相关，计算滞后自相关所需的前几次滞后的历史。更详细地说，该过程在算法1中给出。我们构造了一组时间索引，I={1，2，…，T}，对于每个引导样本b，我们可以直接从中取样。相应地，一个引导样本由T随机抽取并从I替换而来。重复这个B次，我们得到B=1，B指数集，Ib={tb，tb，…，tBT}，（14）从中获得自举矩。为了获得良好的表现，bootstrap方法重复5000次，获得每个矩的分布。形式上，让mb=（mb，…，mb）为矩的结果向量，`m=（1/B）pbmb为它们的平均值。然后，矩协方差矩阵∑的估计变成∑=BBXb=1（mb）- \'m）（mb）- “m”）。（15） 回到估计问题，我们感兴趣的是使公式12中的距离函数J最小化的一组参数。为了减少随机模拟中的可变性，时间范围被选择为长于经验样本周期T，通常定义为S=10·T。

在S个周期（或几天）内进行重复模拟，以寻找一组参数，将相关损失降至最低。为此，设θ为参数向量，m=m（θ；S）表示向量θ产生的力矩。图3：目标函数J的分布。此外，θ的不同试验的可比性由一个

在右图中，我们绘制了J的实际分布。总之，模型参数的估计基于等式16的最小化，其中目标函数J由等式12、13、14和前面描述的九个矩集定义。该模型在S%P 500数据上进行了验证，得出了表1所示的一组参数。这些是我们用来生成下一节讨论的所有结果的参数值。对于实际的最小化问题，我们使用Nelder-Mead单纯形搜索算法（Nelder and Mead，1965）。图4：收益的自相关函数。红线（蓝点）表示经验（模拟）回报。两条上（下）线代表滞后τ=1。。。，100.4. 结果在本节中，我们探讨了我们的模型产生的统计特性。具体而言，我们提供了定量和定性指标，以证明金融市场最重要的程式化事实的存在。将对新模型生成的价格、回报、波动性和数量序列进行深入分析。我们证明，该模型能够匹配一组丰富的属性，包括鞅、原始收益中不存在自相关、重尾、波动聚类和绝对收益中的长记忆、成交量波动关系、总高斯性、凹价格影响和极值事件。4.1. 缺乏自相关性价格序列缺乏可预测性是金融时间序列最显著的特征之一。多年来，它一直困扰着研究人员和投资者，使其成为讨论最多的房地产金融数据之一。金融数据的一个类似、非常常见的特性是其非平稳性。股票价格具有概率分布，其均值和方差随时间变化。

因此，它们被定义为随机游动的示例，这是一个非平稳过程。这促使我们将基本价格的行为改变为几何布朗运动，这是我们的主要贡献之一，这样模型生成的价格序列是非平稳的（见第2.3节）。金融数据的另一个广为人知的特性表明，价格变动没有表现出任何显著的自相关（Cont，2001）。自相关函数定义为：C（τ）=corr（r（t，t） ，r（t+τ，t） ），（19）其中，corr表示样本相关性，快速衰减，即使是小间隔时间也接近于零。许多研究发现，在第一个滞后之后，ACF迅速下降，因此证实了所有水平的回报率都没有（线性）自相关，并使其成为一个公认的程式化事实（Working，1934年；Kendall and Hill，1953年；Fama，1965年；Bouchaud and Potters，2003年；Chakraborti等人，2011年）。使用自相关函数可以很容易地证明收益中没有自相关。这一基本的程式化事实如图4所示，其中原始回报的ACF是以1到100之间的滞后时间计算的。我们比较了模拟收益和经验收益的ACF，表明它接近（a）原始收益分布。红线代表叠加在收益分布上的正态分布。（b） 波动率分布。红线代表叠加在波动率分布上的指数分布。图5：（a）原始收益和（b）绝对收益的分布。第一次滞后后为零。这种行为与实证结果一致，强化了价格变化不相关的观点。4.2. 计量经济学文献中另一个具有挑战性的话题是收益的分布。考虑原始收益的分布，如图5（a）所示。

我们可以立即观察到，分布显示出与高斯性的强烈偏差。与许多其他金融资产的回报一样，股票价格的回报呈钟形，类似于正态分布，但峰值和尾部的质量比高斯分布更大（Fama，1965；Mandelbrot et al.，1963）。这种分布有过多的阳性荨麻疹，称为瘦肉型荨麻疹。具体而言，模拟收益序列的峰度为2.49，负偏度为-0.0055。正的超额峰度意味着分布的峰值比正常值大，概率分布函数的缓慢衰减。这种非正常衰变被称为重尾（orfat）衰变（Jansen and De Vries，1991；Lux，1996；Gopikrishnan等人，1998；Jondeau and Rockinger，2003；Bouchaud等人，2008）。重尾被定义为密度高于正态假设下预测值的分布尾（LeBaron和Samanta，2005）。例如，指数衰减的分布（如正态分布）被视为细尾分布，而密度函数的幂衰减被视为厚尾分布。接下来，我们考虑绝对收益的分布，或波动率。从图5（b）中我们可以看到，绝对收益的分布比叠加在其上的指数分布衰减更大，表明存在一条重尾。绝对收益分布中的幂律行为可以通过拟合形式p（x）的分布来近似∝ 十、-α、 （20）其中α是幂律指数。根据Alstott等人（2014）的工作和Clauset等人（2009）的关键建议，我们试图将幂律分布定义为绝对收益的分布。因此，我们发现幂律指数α=4.0181，与经验数据αemp=4.031非常相似。

这些值是使用尾部的末端来计算的，这样可以最大限度地减少幂律和实际分布之间的差异。请注意，幂律指数与Cont（2001）报告的大多数其他实证结果一致。最后，我们通过计算著名的希尔尾指数（Hillet al.，1975）来分析绝对收益的分布。我们得到的模拟绝对收益的希尔指数为3.79，这与标准普尔500指数的经验希尔指数3.98没有显著差异。与之前一样，我们使用尾部的同一端计算了著名的Hill估值器，从而最小化了幂律和实际分布之间的差异。值得注意的是，研究的大多数数据集显示尾部指数高于2，小于5（Cont，2001）。波动性聚类和长记忆第4.1节中讨论的缺乏自相关性并不排除收益率存在非线性相关性的可能性。众所周知，序列相关性的缺失并不意味着独立（Pagan，1996）。即使是收益率序列的简单直观表示（见图5（b））也揭示了异方差性，这是对独立和同分布收益假设的否定。也就是说，以平方收益或绝对收益衡量的波动性在时间上不是常数。Mandelbrot等人（1963年）在棉花价格的每日收益中首次注意到波动性的波动。作者报告说，高波动期与低波动期交替出现。在Fielitz（1971）中发现了更多异方差的早期例子；Wichern等人（1976年）；许（1977），举几个例子。此外，回报的非线性表示，如绝对回报、平方回报或各种回报幂，表现出更高的正自相关，并随时间持续。

绝对回报的力量可以被视为衡量波动性的指标，表明波动性具有高度的可预测性。这一现象在不同的金融工具和时间段内是稳定的，是众所周知的波动性聚集的量化特征。也就是说，较大的价格变化更可能导致较大的价格变化。Mandelbrot等人（1963年）首次注意到了这种行为，而Cont（2005年）对金融市场中的波动性集群进行了广泛的研究。我们可以通过检查模型产生的回报来观察这种行为（图2（c））。收益相对较小的时期会被收益的突然增加所打断。此外，这些周期似乎聚集在一起。具体地说，价格的小变动之后是小变动，价格的大变动之后是大变动。确认波动率聚类存在的一种常见方法是考虑其自相关函数。尽管衡量波动性的方法各不相同，但最常用的方法是绝对收益率，Ca（τ）=corr（|r（t+τ），t） |，|r（t，t） |）。（21）在图4中，我们绘制出以绝对收益衡量的波动率的自相关性，观察到正相关随着时间的推移而持续，通过缓慢的衰减而加倍。这是波动性集群的明显存在。与波动性聚集效应密切相关的一个特性是自相关函数的衰减。长记忆效应特别解决了这种衰退。Mandelbrot（1971年）是第一个提出这种程式化事实的人，并在许多实证研究中观察到了这一点（Mandelbrot和Taqqu，1979年）。在不同的市场和时期发现了长期依赖性（Liu等人，1997年、1999年；Cont，2005年；Chakraborti等人，2011年；Cont等人，1997年）。

通常，如果衰减很慢，类似于双曲函数，我们可以说相应的过程表现出长记忆。对这种程式化事实的一种可能解释是，在外部事件或信息的影响下，不同时间尺度的投资者在市场中相互作用，这通常会导致长-短松弛时间的混合（二次反应的延迟展开）。因此，不同的弛豫时间结合在一起，导致自相关函数出现双曲线衰减。观察自相关函数衰减的一种方法是通过拟合形式为Ca（τ）的幂律~Aτβ，（22），通过实证研究发现系数β≤ 0.5（Liu等人，1997年；Cont等人，1997年；Cont，2005年）。我们注意到，可以通过指数α获得ACF的闭合曲线≈ 0.472（图4）。（a） 绝对收益与成交量（b）平方收益与成交量图6：成交量波动关系。以（a）绝对收益和（b）平方收益和交易量衡量的波动性之间的相互关联。另一种广泛使用的测试长记忆效应的方法是使用Hurst指数（Hurst，1951），对于长记忆过程，该指数在1/2<H<1的范围内。通过计算波动率的赫斯特指数，我们得到了0.70的值。同样，经验绝对回报的赫斯特指数等于0.69。因此，长记忆过程的存在得到了清楚的证明。4.4. 交易量-波动率关系和总高斯指数波动率和交易量之间的关系对于理解信息如何在市场中传递和嵌入很重要。在不同的时间尺度上，不同的金融机构都注意到并记录了这一点。Osborne（1959年）首次观察到了交易量与波动率的关系，Ying（1966年）首次发现了交易量与波动率的正相关关系。有关早期调查，请参见Karpo Off（1987）。