全球计量对称性、无风险投资组合和无风险利率

无风险投资组合的超额回报率为零，以确保其不会产生经济效益。实际回报率u是计量不变量，因此是有意义的可观察值，而原始投资组合回报率˙π/π则不是。根据公式（19），GDP数字、消费者通货膨胀、工资增长等原始回报需要用实际回报来代替，才能有意义。到目前为止的讨论使用了规范对称性和微分算子的语言。实际价格具有随机成分，通常被建模为随机变量。为了将我们的结果与现实联系起来，我们将价格si推广到随机变量。[10]之后，我们假设参数是表征给定资产市场环境的可观测函数。这导致形成dSi=ui（ξ（t））sidt+σi（ξ（t））sidZi（20）的过程，其中ξ（t）代表表征市场环境的一个或多个因素，以及具有零平均值、单位标准偏差但不一定是正态分布的随机噪声。函数ui和σi可以从给定Si和ξ的同时时间序列的历史数据中提取。某些资产可能需要更复杂的流程，但此流程应足够通用，以捕获大多数资产的行为。假设所有相关的环境变量都包含在ξ（t）中。它们原则上代表了资产行为中可预测的部分。因此，剩余的随机成分必须是不可预测的特定资产噪音。任何两个不相关的噪声过程都应该是不相关的：hdZi，dzi=δij。

类似资产的观察收益中的相关性是因为这些资产的ui（ξ）以类似的方式取决于ξ。如果外部参数ξ（t）的变化速度足够慢，以至于它们在一天中近似为常数，则中心极限定理表明，每日收益率近似为正态分布，因为它们是近似相同分布的短期收益率之和。日常数据的过程（公式（20））变成标准对数正态随机游动，参数取决于ξ（t）和不相关的随机过程。观测到的日收益时间序列的非正态性来自环境变量ξ（t）的时间演化。这不是一个简单的假设。这是此处采用的参数化的结果，将资产行为分解为（近似）对数正态随机游动，参数取决于ξ（t）和时间序列或ξ（t）预测。有关更详细的解释、经验测试和具体示例，请参见[10]。考虑一个投资组合∏=q·s，其中qi=O（1/N），它作为N变得无风险→ ∞. 数量是价格的一般函数。我们通过设置qi=wi/si来参数化组合权重中的数量，其中wi=O（1/N）仅是时间的函数。有了这些选择，投资组合就会演变为asd∏=q·dsq·s=Xiwiuidt+wiσidZi= ^udt+^σdZ（21），其中^σ=Xiwi2σi，dZ=^σXiwiσidZi。（22）自^σ=O（1）/√N） ，随机项消失为N→ ∞. 积分结果微分方程可以得到始终无风险的投资组合。最终，近似无风险投资组合遵循对数正态随机游走。在N→ ∞ 限制N资产的任何有限子集可提供无风险利率。式（21）中的确定项是ui的加权平均值。

如[11]所示，只要权重为正且满足一定的规律性条件，所有这些加权平均值都收敛于资产收益的未加权平均值。因此，所有具有正权重的独立投资组合产生相同的回报。无风险投资组合中没有杠杆。例如，如果我们拥有1美元的无风险投资组合，然后再借1美元购买更多的无风险投资组合，那么产生的头寸就不是无风险的，因为我们对2美元的无风险投资组合有1美元的负债。1美元负债是一种风险资产，即美元的空头头寸，其规模不为1/N。我们可以通过借入价值1美元的无风险投资组合，并将其兑换为我们已经持有的更多无风险投资组合来避免这个问题。然而，这在经济上毫无意义。所有无风险投资组合的收益率相同，贷款人将向我们收取至少无风险利率，以借入无风险投资组合，从而抵消杠杆的任何好处。这并不排除无风险投资组合包含空头。在美国，2美元的多头仓位可以支持1美元的空头仓位，而不存在保证金。只要所有权重均为1/N，这就是一个无风险的投资组合。然而，短期投资组合也是一个渐近无风险的投资组合。其收益率为渐近无风险长期投资组合的负值，这使得任何空头头寸在经济上都没有吸引力。我们的结论是，总体上无风险的投资组合只包含无杠杆的多头头寸。这确保了[11]中的收敛定理适用。5.计价单位和计量单位的变化在文献中，选择计价单位的自由通常等同于根据式（1）计算价格的自由。这两种对称性是相关的，但它们并不完全相同，通过计算它们下的价格过程是如何变化的就可以看出这一点。

为了探索这些差异，我们重写了等式（1）assi=eφsi=eRtdφsi=Y si（23），并将规范参数提升为随机过程，dφ=φudt+φσdZφ，其中φu和φσ分别是漂移和波动性，为简单起见，dZφ为正态分布。这使得Y成为对数正态随机变量。primed Coordination中的价格过程readsdsi=（ui+φu+ρσiφσ）sidt+qσi+φσ+2ρσiφσsidZi，（24），其中ρ是dzian和dZφ之间的相关性。在这种转变下，价格过程的确定性和随机性成分都会发生变化。要选择sias numeraire，我们设置φu=-ui- ρσiφσ，φσ=σi，和dZφ=-dZi，确保ρ=-1并使其恒定。在这种变换下，两种价格的比率是不变的。这表明，这可能是经济的对称性，在这种情况下，投资组合的时间演化，即∏，在计价转换下应该是不变的滴滴涕+AΠ =滴滴涕+AΠ=滴滴涕+A-伊迪特Y∏。（25）然而，滴滴涕+A-伊迪特Y∏=Y滴滴涕+Aπ+[Y，π]，（26），其中最后一项表示非零交叉项。当∏对价格变化不敏感时，如果∏没有随机项，则交叉项消失。例如，如果∏=V（s）+qs，那么如果q=-五/s、 但并非如此。数值变换影响期权价格和边界条件。例如，期权的行权价格E在经过计算转换后变得随机。使用标准同质性参数，期权价格可以写成在对称条件下转换的所有数量的展开式，其中Cs和cEE是参数不变比率的函数。该参数化明确跟踪基准变化对基础价格和边界条件的影响。为了从等式（24）中恢复非随机规范变换，我们设置φu=˙φ和φσ=0。

这将改变Y的随机分量，从而导致交叉项inEq。（26）消失，即使∏有随机贡献。这种全球对称性同样适用于托里斯基和无风险投资组合。它不会改变价格过程的随机性质。非随机边界条件在变换下仍然是非随机的。如果Y和∏中的随机项不相关，它们也会消失，但这不适用于任意性。σ的不变性与我们之前对投资组合回报的发现一致。回报流的波动性定义为σ=E˙ππ- E˙ππ!. （28）投资组合收益和投资组合收益的预期值都会随着公式（3）的变化而变化，因此˙φ（t）项会取消。我们可以使用规范对称性，使一个渐近无风险的投资组合成为基准，因为它没有随机贡献。这是一个自然的标准选择，因为无风险投资组合的名义回报率为零。6无风险投资组合的期权定价定义是套利论点的一种推广，它导致Black-Scholes方程[9]与规范不变性的要求相结合。当我们把约束条件应用到一个包含N的宇宙时，看看我们是否能恢复布莱克-斯科尔斯方程是有用的→ ∞ 资产和第一项资产的一个选项V。[4]和[5]中已经讨论了相关想法。该选项将sand的交易量表不变性单位分解为R+×GL（N）- 1). 根据等式4，价格不敏感的投资组合必须满足qi=O（1/N），i=2，与熟悉的delta对冲条件qQ=-五、s、 （29）Sar的动力学与si的动力学无关，i=2，N.只有当两部分投资组合无风险时，整个组合才是无风险的。评价情商。

（9） 对于这两个组成部分的投资组合，使用伊藤引理，我们发现五、tQ+σs五、平方米- s五、sQA+VQ（A+B）=0（30）和A=-˙siqi+si（BN）-1） ijqjsiqi。（31）第二个等式将A与之前一样确定为负无风险利率，但第一项资产不再在设定A（t）中发挥作用。公式（30）是Black-Scholes方程，对无风险利率参数进行了新的解释，将其作为一个背景计量领域，通过消除全球价格重新调整的影响来修正投资组合的时间演变。该推导使用了全球对称性和我们对无风险投资组合的定义，而不是依赖套利论点。在N→ ∞ 极限，由qi=O（1/N），i=2，N是无风险的。因此，A（t）是一个确定性函数，我们可以通过规范变换将其设置为零。正如我们在上一节所讨论的，gague变换不会改变价格过程的随机性质。特别是，非随机边界条件在规范变换后仍然是非随机的。我们可以在任何标准中施加边界条件，但为了比较期权价格，有必要对所有考虑中的期权在同一标准中施加边界条件。例如，为了有意义地将期权价格与不同的商业价格进行比较，这些价格需要在同一标准中具体说明。在这里，我们采用了任意约定，即在自然A=0标准中规定了边界条件，其中无风险投资组合的名义和实际回报为零。实体经济包含有限但大量的资产。这些领域并不认可完全多元化的无风险投资组合。唯一无风险的解决方案是对冲投资组合。为了适应这种更现实的情况，我们需要修改我们的要求，以允许近似无风险的投资组合。最简单的选择是放松情商。

（4） 因此，它允许对订单1/N的价格变化敏感，同时保持投资组合必须自我融资且不产生任何经济效益的要求。根据这些假设，如前所述，公式（30）给出了有限N的期权定价方程。然而，背景测量场现在是一个随机变量，由等式（21）中的负投资组合回报给出，dA=-^udt- ^σdZ随^σ=O（1）/√N） 。为了在A=0规范中施加边界条件，我们现在需要进行一个数值转换，将随机性从A（t）的随机部分转移到assetpricessi=eφsi=eRtdAsi。（32）使用dA和股票价格的随机过程，等式（20），随机过程得出公式DSi=si（ui）- ^u+σidZi- ^σdZ），（33），其中我们忽略了被额外因子1抑制的相关项/√N.由于正态分布的差异是另一个正态分布，因此价格过程仍然是对数正态分布，平均值为ui- ^u和标准偏差∑=σi+^σ。素数变量中的定价方程如下：五、tQ+∑s五、平方米- s五、sQA+VQA+B= 0（34），A=0。这与公式（30）的定价公式相同。使用近似无风险投资组合的唯一效果是O（1/√N） 波动率从σ增加到∑。用与式（30）相同的非随机边界条件求解式（34），可以隔离用近似无风险利率替换无风险利率的影响。如果在不同规范中引入非随机边界条件，则在a=0规范中，该边界条件将变得随机。由于边界条件不匹配，因此得出的解与式（30）的a解不可直接比较。为了进一步说明这些概念，我们简要讨论了随机“无风险”利率下最简单的期权定价方程[12]。

在该模型中，单一资产的期权是资产价格和价格的函数，或者是随机无违约债券。齐次方程提供了一个定价方程，可以用合适的边界条件来求解。为了将这个模型与我们的结果进行比较，我们用本文的语言重新创建了它。我们假设我们的经济拥有一定数量的资产，因此不存在无风险利率。将这个近似无风险的投资组合定义为H=δ-1PNi=2qisi，其中δ是任意标度O（1）。该投资组合取代了默顿模型中的无违约债券。期权价格的形式为V（s，H，t）。利用公式（4），我们发现，如果δ=-五、H.（35）通过选择δ，我们发现（DPP）·K=五、t+σs五、s+^σH五、H+五、- s五、s- H五、H（A+B）Q=0。（36）这是[12]中给出的定价方程的规范不变扩展。[12]中没有涉及A和B的术语。我们不能简单地将A=B=0。A是从近似无风险投资组合的观察收益中提取的市场指标，H。要将涉及背景领域的条款设置为零，我们需要进行一次阿努梅雷尔转换，可能还有一次交易单位转换，以便A=A-˙φ=0和B=0。设置A=0的转换也将H的名义和实际回报设置为零。这消除了涉及仪表区的术语，并将H减少到一个常数。其余的动态项重现等式（34）。然而，[12]在原始规范中施加非随机边界条件，其中H是随机的，而我们在自然规范中施加它们。即使撇开规范不变性所需的条件不谈，[12]中的期权价格也永远无法与我们的价格相比，因为边界条件是在不同的规范中施加的。本节中的示例说明了全局对称的威力。

通过最低限度的努力，我们能够确认布莱克-斯科尔斯方程尊重他们，而默顿方程不尊重他们。值得注意的是，Black-Scholes方程是计量变量，尽管这不是推导中的要求。默顿的例子表明，这远不能保证，尽管他的推导与布莱克-斯科尔斯方程的推导一样合理。一种可能的解释是，布莱克斯科尔斯的世界如此简单，只有一种方法可以为期权定价。正如关于这一主题的广泛文献所显示的那样，将随机“无风险”利率纳入Black-Scholes框架的趋势不计其数。7贴现现金流看似简单的无风险利率应用就是贴现现金流。对时间T的现金流进行估值的TextBook方法只是使用可能与时间相关的无风险利率c（0）=d（0，T）c（T）=e将现金流贴现到当前-RTdtr（t）c（t）。（37）这里c=n·s是一个由n美元组成的投资组合，价格s=1。这种现金流贴现方法存在问题的原因有几个。如果无风险利率不为零，则意味着无风险收益，而如果经济处于均衡状态，则不可能发生无风险收益。此外，贴现因子d（t，t）转换为asd（0，t）→ eφ（0）-价格调整下的φ（T）d（0，T）（38）。它在经济上没有意义，因为它是一个依赖于计量的项目。最后，等式（37）忽略了美元购买力的变化，这可能对未来美元的实际价值产生比贴现系数更大的影响。在我们的框架中，我们将一美元兑换成无风险的投资组合，持有到时间T，然后以当时的汇率兑换成美元。具体而言，在t=0时，我们购买价值ns（0）的无风险投资组合。这里是我们投资的美元数量，s（t）是一美元的价格。

由于无风险投资组合是由构造常数决定的，所以在时间T时它仍然值n·s（0）。然而，一美元的价格或购买力发生了变化。因此，当我们在时间T进行交换时，我们收到了不同数量的美元，ns（0）=nTs（T）。（39）美元和所有其他资产一样，是随机的。我们不知道s（T），但我们可以计算期望值。一个投资组合，π=ns（t），由n美元组成，价格随机，根据式（19）演化。这个随机微分方程可以解析地积分为yieldnhs（T）i=ns（0）Herdt（˙s/s+A（T））i=ns（0）Erdt（u（T）-σ（t）+A（t））。（40）反转方向，因此我们从T贴现到现在，如等式（37）所示，我们发现n=hs（T）是（0）nT=eRTdt（u（T）-σ（t）+A（t））nT。（41）该贴现系数是计量不变的，因为in涉及收益和计量领域之间的差异。这并不意味着没有风险，因为美元是有风险的。等式（41）及时转换任何资产，而不仅仅是美元。贴现率是特定于资产的，因为每项资产的购买力变化不同。形式上，等式（41）降低了toEq。（37）如果我们设置u=0和σ=0，但在我们的宇宙中没有这样的资产。为了说明这些概念，我们从11个以美元计算的等权可交易指数中构建了一个粗略的近似无风险利率。我们的数据集涵盖了从2005年7月到2015年6月的十年。我们在2005年6月31日任意将近似无风险投资组合的每股价格设定为1美元，因此美元相当于无风险投资组合的一个单位。2005年6月31日，我们还任意将所有其他工具的每股价格调整为1美元。我们的11个指数组合的非零回报决定了A（t）。在回溯场消失且近似无风险投资组合为常数的情况下，可以方便地在量表中重新计算数据。