全球计量对称性、无风险投资组合和无风险利率

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Global Gauge Symmetries, Risk-Free Portfolios, and the Risk-Free Rate》
---
作者：
Martin Gremm
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We define risk-free portfolios using three gauge invariant differential operators that require such portfolios to be insensitive to price changes, to be self-financing, and to produce a zero real return so there are no risk-free profits. This definition identifies the risk-free rate as the return of an infinitely diversified portfolio rather than as an arbitrary external parameter. The risk-free rate measures the rate of global price rescaling, which is a gauge symmetry of economies. We explore the properties of risk-free rates, rederive the Black Scholes equation with a new interpretation of the risk-free rate parameter as a that background gauge field, and discuss gauge invariant discounting of cash flows.
---
中文摘要：
我们使用三个计量不变差分算子定义无风险投资组合，要求此类投资组合对价格变化不敏感、自负盈亏，并产生零实际回报，因此不存在无风险利润。该定义将无风险利率定义为无限多元化投资组合的回报，而不是任意的外部参数。无风险利率衡量全球价格调整的速度，这是衡量经济对称性的标准。我们探讨了无风险利率的性质，重新推导了Black-Scholes方程，将无风险利率参数作为背景规范场进行了新的解释，并讨论了现金流的规范不变贴现。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Global_Gauge_Symmetries,_Risk-Free_Portfolios,_and_the_Risk-Free_Rate.pdf (300 KB)

2022-5-11 07:26:34 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：无风险利率 投资组合 风险投资 无风险 对称性

CALT-TH-2016-007全球计量对称性、无风险投资组合和无风险利率马丁·格雷姆Pivot Point Advisors，LLC5959西环路南，德克萨斯州贝拉尔333号套房77401gremm@pivotpointadvisors.comAbstractWe使用三个计量不变的差异运营商定义无风险投资组合，这些运营商要求此类投资组合对价格变化不敏感，能够自我融资，并产生零实际回报，因此不存在无风险投资。这一定义将无风险利率定义为完全多元化投资组合的回报，而不是任意的外部参数。无风险利率衡量全球价格重新调整的速度，这是衡量经济对称性的标准。我们探讨了无风险利率的性质，重新定义了Black-Scholes方程，将无风险利率参数解释为背景计量领域，并讨论了现金流的计量不变贴现。1简介无风险投资组合在融资中起着核心作用。他们的回报用于贴现现金流。许多期权定价方程都是通过用期权和标的资产构造一个无风险的投资组合，并将该投资组合的收益率设置为无风险利率来推导的。无风险利率也是衡量投资回报的自然基准。尽管它们很重要，但没有对无风险投资组合的普遍定义。当发现现金流时，无风险通常意味着无违约风险。在套利辩论中，SIT通常意味着对投资组合组成部分的小价格波动不敏感。这两个定义是不相容的，不能出现在同一计算中，而不会导致一致性。在很多文献中，无风险率是一个任意的外部参数。这并不令人满意，因为无风险利率是任何经济体的基本组成部分。

经济体的属性应该决定无风险利率。在这里，我们提出了一种构建投资组合的方法，该投资组合可以从构成经济体的资产中产生无风险利率。我们将无风险投资组合定义为对价格波动不敏感，产生零实际回报，并且能够自我融资。第一个要求将风险与随机价格变化的不确定性等同起来。第二项要求确保不存在市场均衡所需的无风险利润。第三个要求允许我们使用任何无风险投资组合的回报来贴现现金流。无违约债券是有风险的，因为它们不满足第一个条件，但对冲投资组合通过构造满足所有要求。此外，还有一类完整的投资组合满足我们的定义。据我们所知，这种类型的无风险投资组合并没有在文献中讨论过。我们表明，这些投资组合的回报率自然出现在人们期望看到无风险利率的地方。这一定义将无风险利率解释为全球价格波动的衡量标准。定义无风险投资组合的三项要求的实施必须尊重均衡经济体的全球对称性。我们考虑所有经济体中存在的两个最基本的对称性。首先是全球范围内的价格调整。如果每一美元的购买力翻了一番，所有商品的成本也翻了一番，那么经济就会发生变化，因为一美元的所有者仍然可以购买与以前相同数量的商品。第二个全球对称性是重新定义贸易单位的自由。一个简单的例子是股票分割。这是单位变动，但没有经济影响。[1]中首次讨论了全球价格调整对称性。

不久之后[2]将其推广到局部对称，并认为由此产生的模型是对市场失衡的描述。[3] 提供晶格规范理论和外汇市场之间的映射。[4] [5]在价格重标度对称的背景下讨论了期权价格。在局部规范不变性的背景下，投资组合的演化在[6]中进行了讨论。关于金融中规范对称性的综述见[7]和[8]。在下一节中，我们将讨论上述两种全局对称性。第3节介绍了定义无风险投资组合的不同运营商。第4节讨论了渐近无风险投资组合的性质，包括它们与价格重标度对称性的关系。规范对称性和数值变化之间的差异是第5节的主题。在第6节中，我们表明Black-Scholes方程[9]是我们定义无风险投资组合的特例。我们还讨论了一个简单的推广，将贴现与近似无风险的投资组合结合起来。在第7节中，我们推导了未来收到的现金流的计量不变贴现系数。我们在第8节简要地评论了参数不确定性的影响，然后在最后一节给出了一些结论性的评论。2.Gauges对称性我们的经济宇宙包含N种资产，价格为si，数量为qi。价格是时间的函数。数量是价格和时间的函数。投资组合的价值是s·q=siqi。此外，资产上有M个衍生工具，其价格为VLAN，数量为Ql。包含衍生工具和基础资产的宇宙具有aprice向量P=（s，V）和相应的数量向量K=（q，q）。

包含衍生工具和标的资产的投资组合价值由∏=P·K=PαKα给出。这意味着对提高和降低的指数求和。在全球价格可能随时间变化的重新调整下，经济是不变的→ si=eφ（t）si，（1），因为这使得所有汇率保持不变。期权价格Vl（si）的规模与此相同。规范参数φ（t）是时间的任意确定性函数。φ（t）的选择通常被称为量规选择。不依赖于φ（t）选择的量或表达式是规范不变的。在文献中，这种计量不变性通常等同于选择一种计量单位的自由，即以一种价格作为计量单位的自由。正如第5节所示，这些转换是相关的，但并不完全相同。数值变换改变了价格的随机特性，而计量变换使其保持不变。除非另有说明，本文给出的结果依赖于更一般的计量变量。第二个全球规范对称性是对贸易单位的重新定义。一个常见的例子是股票分割。交易单位会发生变化，通常是两倍，而单位价格也会发生变化，以确保该股票的仓位价值不会随着崩盘的发生而变化。我们可以更笼统地重新定义交易单位，例如，同意交易某些资产的线性组合，而不是单一资产。这些变换的规范组是GL（N），一般线性变换组。依赖时间的∈ 德国劳埃德船级社（N）按合格中介机构的数量和价格行事→ q0i=bijqjand-si→ si=b-1jisj。（2） 在期权空间上也有类似的转变。为了以后的使用，我们注意到在这里讨论的规范对称下投资组合是如何变换的。投资组合∏=P·K在重新定义贸易单位（Eq）时是不变的。

（2） ，但它转变为∏→ 在重标度总和法下，式（1）中的∏=eφ（t）∏。相应地，投资组合收益率转换为∏∏→˙ΠΠ+˙φ. （3） 将观测值分为依赖于量表选择的观测值和与量表无关的观测值是有用的。后者在经济上是相关的，因为每个人都依赖于他们的财产，而不管他们使用什么标准。量具相关的数量不能与经济相关，因为每个观察者都可以自由选择不同的量具，从而为这些观察值选择不同的值。投资组合的回报率是从公式（3）中可以看出的计量依赖性。然而，两种回报的差异是一个包含经济相关信息的独立数量的例子。3无风险投资组合的定义无风险投资组合的定义遵循套利论据中使用的定义，其中风险通常等同于不确定性。在我们的宇宙中，唯一的不确定性来自资产价格的随机波动。对价格（微小）变化不敏感的投资组合具有决定性的发展，通常被称为无风险投资组合。我们将其称为价格不敏感，因为无风险投资组合必须满足其他要求。套利论据的第二个组成部分是，处于均衡状态的市场没有机会做出无风险的交易。如果存在这种套利，交易者会利用它们，直到它们消失，让市场回到均衡状态。因此，我们要求投资于无风险投资组合不会产生经济效益。最后，我们要求无风险投资组合必须是自我融资的，以便可以用来计算资产流动。我们只需购买无风险投资组合，持有一段时间而不增加或退出我们的投资，然后出售。

最终收益是初始购买价格的时间转换价值。总之，我们将无风险投资组合定义为满足三个要求的投资组合：它们对价格变化不敏感，持有它们不会产生任何经济效益，而且它们是自我融资的。在本节中，我们将这一定义转化为一组尊重全球经济对称性的不同算子。第一个要求是无风险投资组合必须对价格变化不敏感。如果数量向量K满足Kα，则为这种情况siPα始终为0（4）。在一个N=M=1的宇宙中评估这一点，我们发现投资组合对价格变化不敏感五、s=0，（5）其中sis为单一资产的价格、对应数量、期权价格和对应数量。这是标准的delta对冲要求。考虑一个拥有N项资产且没有衍生工具的宇宙。那么量向量的分量必须满足qjsisj=qi=0。（6） 对于有限N，唯一的解决方案是q=0，但在N→ ∞ 限制出现其他解决方案。如果价格是独立的，任何规模为1/N的投资组合对价格变化都是渐近敏感的，因为每种资产的风险敞口往往为零。我们表明，这些完全分散的投资组合返回的是无风险利率。给定资产类别内的价格通常是相互关联的，这违反了我们的独立性假设。

然而，如果一个经济体拥有N→ ∞资产包含一系列相互不相关的相关资产集。如果我们的N资产不仅包括股票和债券等传统投资资产，而且还包括构成消费价格指数或GDP的商品和服务，那么这可能对实体经济几乎是正确的。第二个要求是，对无风险投资组合的投资不得产生任何经济收益。这意味着，在某种意义上，投资组合的价值必须是恒定的。恒常性的另一个概念是将投资组合价值的总时间导数设为零，但这并不是规范不变的。最简单的规范不变量表达式isDP·K=滴滴涕+A（t）P·K=0。（7） 这是一个随时间变化的背景测量场，它会随着时间的变化而变化→ A=A-规范对称下的φ，公式（1）。通过在素数坐标中写出方程，用原始坐标替换表达式，并验证所有涉及规范参数φ（t）的项都取消，可以直接检查规范不变性。引入规范场A解决了规范不变性的问题，并引入了一个新的自由度，只要选择A满足等式（7），该自由度允许非零投资组合回报。我们将在下一节讨论背景测量场的解释。最后一个要求是，无风险投资组合必须能够自我融资，以便能够及时转换资产流动。这是第二个要求的一个补充，可以通过写出等式（7）asDP·K=（DPP）·K+P·（DKK）来理解。（8） 第一项反映了由于价格变化而产生的价值变化，第二项反映了流动和流出。

自融资无风险投资组合满足（DPP）·K=0和P·（DKK）=0，（9），其中第一个等式是自融资投资组合的恒常性要求。第二个等式要求K代表一个自我融资的投资组合，因为它要求所有的投资组合变化都是成本中性的。如果我们要求这两个表达式分别消失，则它们必须是标度变换下的规范不变量，公式（1）和重新定义贸易单位的规范变换，公式（2）。为了确保在后一种情况下的不变性，我们引入了一个新的GL（M）×GL（N）背景规范场B=亿元人民币（10） 有一个更大的对称组，允许对期权和基础资产进行重新定义，但对角线子组对于我们的目的来说是足够的，并且避免了一些微妙之处。转换为asBγδ=bγκbκρb-1ρδ-˙bγκb-1κδ. （11） 如果我们将微分算子定义为dpβα，则等式（9）中的两个表达式分别是规范不变的=滴滴涕+AΔβα+Bβα（12）DKβα=滴滴涕Δβα- Bβα。（13） 这两个运营商定义了本文中“自我融资”和“恒定”的含义。结合等式（4），他们定义了无风险的投资组合。由于所有无风险投资组合必须满足等式（9），且A（t）和B（t）相同，因此所有投资组合必须产生相同的名义回报。对于对冲投资组合，无风险利率唯一的标准套利论证适用。对于完全多元化的投资组合，由于没有固定的交易会对价格产生影响，所以套利机制不起作用。在下一节中，我们将讨论渐近无风险投资组合的性质，并表明它们仍然产生相同的回报。4渐近无风险投资组合渐近无风险投资组合在构造上对N中每个组成资产的具体情况不敏感→ ∞ 限度因此，他们的名义回报率衡量的是市场数据所暗示的全球价格波动。

因为这个通货膨胀率适用于包括现金在内的每项资产，所以即使这些投资组合的名义回报率非零，它也不会对经济产生影响。为了正式地看到这一点，我们在一个完全多元化的投资组合（DPP）上评估等式（9）·K=˙s·q+A（t）s·q+s·BN·q=0（14）和p·（DKK）=s·q- s·BN·q=0。（15） 背景规范场A和BN不受对称参数的约束，但q和s的演化决定了它们的值。求解BNwe find（BN）ij=˙qi（q）的等式（15）-1） j.（16）这一背景领域确保了对贸易单位的重新定义不会产生经济影响。等式（14）yieldsA（t）=-˙s·q+s·BN·qs·q=-ddtln（s·q）。（17） 我们对无风险投资组合的定义要求背景测量值等于无风险投资组合的负回报。这确保了无风险投资组合的非零名义回报不会产生任何经济效益。我们将A（t）称为市场指标，因为它确定了与时间相关的全球市场价格重新调整。理解A（t）影响的一种方法是通过设置φ（t）=ZtdτA（τ）转换为A=0的规范。（18） 在这个量表中，背景量表字段消失，K·˙P=0，表明Portfolio是恒定的。在原始标准中，如果我们忽略背景标准场的影响，我们会产生非零投资回报的错觉。为了更全面地理解背景测量场的影响，请考虑任意组合π。它的时间演化由式（7）中的算符控制，但由于它不一定是无风险的，因此π没有理由是常数。为了计算π的返回，我们写了π=滴滴涕+A（t）π = uπ. （19） 背景计量字段从π的名义回报中减去无风险利率（或相当于全球价格波动的虚假回报），因此u是无风险利率的超额回报。