期货衍生品的多尺度随机波动模型

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英文标题：
《Multiscale Stochastic Volatility Model for Derivatives on Futures》
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作者：
Jean-Pierre Fouque, Yuri F. Saporito, Jorge P. Zubelli
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper we present a new method to compute the first-order approximation of the price of derivatives on futures in the context of multiscale stochastic volatility of Fouque \\textit{et al.} (2011, CUP). It provides an alternative method to the singular perturbation technique presented in Hikspoors and Jaimungal (2008). The main features of our method are twofold: firstly, it does not rely on any additional hypothesis on the regularity of the payoff function, and secondly, it allows an effective and straightforward calibration procedure of the model to implied volatilities. These features were not achieved in previous works. Moreover, the central argument of our method could be applied to interest rate derivatives and compound derivatives. The only pre-requisite of our approach is the first-order approximation of the underlying derivative. Furthermore, the model proposed here is well-suited for commodities since it incorporates mean reversion of the spot price and multiscale stochastic volatility. Indeed, the model was validated by calibrating it to options on crude-oil futures, and it displays a very good fit of the implied volatility.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一种新的方法来计算期货衍生品价格在Fouque\\textit{et al.}（2011，CUP）的多尺度随机波动背景下的一阶近似值。它为Hikspoors和Jaimungal（2008）中提出的奇异摄动技术提供了一种替代方法。我们方法的主要特点有两个：第一，它不依赖于任何关于支付函数规律性的附加假设，第二，它允许对模型进行有效且直接的校准，以确定隐含的波动率。这些特征在以前的作品中没有实现。此外，我们方法的核心论点可以应用于利率衍生品和复合衍生品。我们方法的唯一先决条件是基础导数的一阶近似。此外，本文提出的模型非常适合大宗商品，因为它包含现货价格的均值回归和多尺度随机波动。事实上，通过将该模型与原油期货期权进行校准，该模型得到了验证，并显示出与隐含波动率非常吻合的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Multiscale_Stochastic_Volatility_Model_for_Derivatives_on_Futures.pdf (453.75 KB)

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关键词：波动模型 衍生品 Quantitative Perturbation Applications

未来衍生品的多尺度随机波动率模型*, Yuri F.Saporito+，Jorge P.Zubelli2018年6月10日摘要在本文中，我们提出了一种新方法，在Fouque等人（2011，CUP）的多尺度随机波动背景下，计算期货衍生品价格的一阶近似值。它为Hikspoors和Jaimungal（2008）中提出的奇异摄动技术提供了一种替代方法。我们方法的主要特点有两个：首先，它不依赖于任何关于支付函数规则性的附加假设，其次，它允许对模型进行有效且直接的校准，以确定隐含的波动率。这些特征在以前的作品中没有实现。此外，我们方法的核心论点可以应用于利率衍生品和复合衍生品。我们方法的唯一先决条件是基础导数的一阶近似值。此外，本文提出的模型非常适合大宗商品，因为它包含现货价格的反转和多尺度随机波动。事实上，该模型通过将其校准为原油期货期权进行了验证，并显示了非常好的隐含波动性。1简介在许多金融应用中，未充分考虑的衍生产品合同的基础资产本身就是衍生产品。这类复杂且交易广泛的产品的一个非常重要的例子是期货合约上的衍生品。我们将在Fouque等人提出的多尺度随机波动的背景下研究此类金融工具。

在这个概率空间中，我们假设资产价值由具有多尺度随机波动性的指数Ornstein-Uhlenbeck（exp-OU）随机过程描述。即Vt=es（t）+Ut，dUt=κ（m）- Ut）dt+η（Yεt，Zδt）dW（0）t，dYεt=εα（Yεt）dt+√εβ（Yεt）dW（1）t，dZδt=δc（Zδt）dt+√δg（Zδt）dW（2）t，（2.1）其中（W（0）t，W（1）t，W（2）t）是一个相关的Q-布朗运动，dW（0）tdW（i）t=ρidt，i=1，2，dW（1）tdW（2）t=ρdt。当ε=1时，我们将用（2）中第二个随机微分方程给出的过程表示。该模型的主要假设是：o对于任何固定的（ε，δ），SDE（2）存在唯一的解。o选择风险中性概率Q，以便将市场中观察到的VO的未来价格与模型（2）和鞅关系（1）产生的价格相匹配|ρ|<1，|ρ|<1，|ρ|<1和1+2ρ-ρ-ρ-ρ> 0. 这些条件决定了（W（0）t，W（1）t，W（2）t）协方差矩阵的正不确定性利率是恒定的，等于r。oα和β使得过程具有唯一的不变分布，并且与[Fouque等人，2011年，第3.2节]中所述的均值回复相同。oη（y，z）是一个正函数，在z上是光滑的，因此η（·z）对于y的不变分布是可积的。os（t）是一个确定的季节性因子。值得注意的是，我们本可以像Fouque等人[2011]所做的那样，明确考虑波动性风险的市场价格，这样做的话，我们将得到ε阶的平均价格-1/2和δ1/2阶项分别在Yε和Zδ的漂移中，两者都取决于Yε和Zδ，它们可以按照上述参考文献中的方式处理。

[2011].记住ε=1的过程Yε。应用上述参考文献中所述的未来价格的一阶近似值，我们选择上述正式系列的第一项，即beh（t，u，z，t）=exps（T）+m+（u- m） e-κ（T-t） +η（z）4κ1.- E-2κ（T-（t）,（3.1）h1,0（t，u，z，t）=g（t，t）V（z）Hu（t，u，z，t），（3.2）h0,1（t，u，z，t）=f（t，t）V（z）Hu（t，u，z，t），（3.3）其中，表示关于Yby h·i的不变分布的平均值，我们有η（z）=hη（·z）i，（3.4）V（z）=-ρη（·，z）β（·）φy（·，z）,V（z）=ρg（z）hη（·z）i′η（z）′η（z），f（t，t）=e3κ（t）-（t）- e2κ（T-t） 2κ-e3κ（T-（t）- 16κ，g（t，t）=e-3κ（T-（t）- 13κ，φ（y，z）是泊松方程的解φ（y，z）=η（y，z）- η（z），（3.5），其中Lb是Y的最小生成元。此外，我们可以假设h1,1不依赖于Y，并选择H2,0（t，u，Y，z，t）=-φ（y，z）Hu（t，u，z，t）+c（t，u，z，t），（3.6）对于一些不依赖于y的函数c。在所有这些选择和一些正则条件下，类似于本节末尾定理3.2中给出的条件，如Chiu等人[2011]和Hikspoors and Jaimungal[2008]所示，wehavehε，δ（t，u，y，z）=h（t，u，z，t）+√εh1,0（t，u，z，t）+√δh0,1（t，u，z，t）+O（ε+δ）。此外，以下简化适用：h1,0（t，u，z，t）=g（t，t）V（z）e-3κ（T-t） h（t，u，z，t）和h0,1（t，u，z，t）=f（t，t）V（z）e-3κ（T-t） h（t，u，z，t）。3.2未来价格的动态在本节中，我们将推导描述Ft动态的SDE，并将其系数写成Ft，t的函数。

然而，在我们的情况下，我们有一个基本的区别：微分算子的系数ε，δ，由方程（3.3）给出，以复杂的方式依赖于ε和δ。尤其是对应于系数ε的术语-1不仅仅是ε的顺序-1.为了避免这个问题，我们将把系数展开为ε和δ的幂，然后收集每个阶的正确项。因此，有必要计算ψε，δi展开式的一些项。附录A给出了该展开式的所有细节，最终结果是：Lε，δ=εL+√εL+L+√εL+√δM+rδεM+·式中，Lis由（3.3）和l=ρe给出-κ（T-t） η（y，z）β（y）x十、y、 （3.11）L=t+e-2κ（T-t） η（y，z）x十、- r·（3.12）-E-2κ（T-（t）φy（y，z）β（y）x十、y、 M=ρ（1）- E-2κ（T-t） ）2κβ（y）g（z）‘η（z）’η（z）x十、y（3.13）+ρβ（y）g（z）Yz、 L=（ψ2,3,0（t，x，y，z，t）β（y）（3.14）+ρψ1,2,0（t，x，y，z，t）η（y，z）β（y））十、Y-ρe-3κ（T-（t）φy（y，z）η（y，z）β（y）xx、 M=ρe-κ（T-t） （1）- E-2κ（T-t） ）2κη（y，z）g（z）‘η（z）’η（z）xx（3.15）+ρe-κ（T-t） η（y，z）g（z）x十、z+（ψ2,2,1（t，x，y，z，t）β（y）+ρψ1,1,1（t，x，t）η（y，z）β（y））十、y、 与Fouque等人[2011]中描述的情况的根本差异体现在一个术语中：微分算子，它对顺序有贡献√ε在Lεδ的展开式中。此外，请注意，这些算子的系数与时间有关，这使渐近分析变得复杂。Fouque等人[2004]也提出了这一难题。3.5一阶近似的形式推导让我们正式写出Pε，δ的幂√δ和√ε、 Pε，δ=Xm，k≥0(√ε） k(√δ） mPk，m，并简单地用pw表示P0,0，这里我们假设，在到期日T，P（T，x，y，z，T）=φ（x）。我们对测定P，P1,0和P0,1感兴趣。我们遵循Fouque等人提出的方法。

因此，我们选择满足PDE的PtoLB（¨σ（t，z，t））P（t，x，z，t）=0，P（t，x，z，t）=а（x）。还要注意的是，LB（‘σ（t，z，t））是具有时变波动性‘σ（t，z，t）的黑色微分算子，因此，如果我们定义时间平均波动性，’σt，t（z，t），则公式为‘∑t，t（z，t）=t- tZTt′σ（u，z，T）du（3.22）=η（z）e-2κ（T-（T）- E-2κ（T-t） 2κ（t- t） ！，我们可以将（t，x，z，t）=PB（t，x，¨σt，t（z，t）），其中PB（t，x，σ）是在具有恒定波动率σ的黑色模型中，具有到期日和支付功能的欧洲衍生品在（t，x）的价格。为了简化这里和下面的符号，我们定义了λ（t，t，t，κ）=e-κ（T-（T）- E-κ（T-t） κ（t- t） 。（3.23）因此，\'σt，t（z，t）=\'η（z）λσ（t，t，t，κ），其中λσ（t，t，t，κ）=pλ（t，t，t，t，2κ）。3.5.2通过（0，0）阶方程（3.5）计算pε1,0，我们得到公式p2,0=-L-1磅（σ）- 对于某些不依赖于y的函数c，LB（¨σ））P+c（t，x，z，t），（3.24）。

用φ（y，z）表示泊松方程lφ（y，z）=η（y，z）的解- η（z）。因此，我-1磅（σ）- LB（¨σ））=L-1.（σ（t，y，z，t）- “∑（t，z，t））x十、=E-2κ（T-t） L-1（η（y，z）- η（z））xx=e-2κ（T-t） φ（y，z）D，这里我们使用符号dk=xkKxk。（3.25）从（1/2,0）阶方程（3.5）中，我们得到了可解性条件HLP2,0+LP1,0+LPi=0。（3.26）使用公式（3.5.2）计算P2,0，使用公式（3.4）计算L，我们得到LP2,0=-陆上通信线-1磅（σ）- LB（¨σ））P=-ρe-κ（T-t） η（y，z）β（y）x十、YE-2κ（T-t） φ（y，z）DP= -ρe-κ（T-t） xη（y，z）β（y）十、YE-2κ（T-t） φ（y，z）DP= -ρe-3κ（T-t） η（y，z）β（y）φy（y，z）DDP。我们还通过方程（3.4）得到了LP1,0=P1,0t+σ（t，y，z，t）xP1,0十、- rP1,0和from（3.4）LP=-ρe-3κ（T-（t）φy（y，z）η（y，z）β（y）DP。结合这些方程，我们得到lp2,0+LP1,0+LP=v（t，y，z，t）DP+v（t，y，z，t）DDP+LB（σ（t，y，z，t））P1,0，其中v（t，y，z，t）=-ρe-3κ（T-（t）φy（y，z）η（y，z）β（y）。因此，对于Y的不变分布求平均，我们从（3.5.2）推导出Pε1,0=√εP1,0满足PDE：LB（σ（t，z，t））Pε1,0（t，x，z，t）=-f（t，t）AεP（t，x，z，t），Pε1,0（t，x，z，t）=0，（3.27），其中ε=Vε（z）（DD+D），（3.28）f（t，t）=e-3κ（T-t） ，Vε（z）=-√ερφy（·，z）η（·，z）β.线性偏微分方程（3.5.2）显式求解：Pε1,0（t，x，z，t）=（t- t） λ（t，t，t，κ）Vε（z）（DD+D）PB（t，x，′σt，t（z，t）），（3.29），其中λ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，3κ），λ由（3.5.1）定义。

要看到这一点，请注意（3.5.2）给出的算子Aε，以及（3.5.1）和（3.5.1）给出的算子LB（？（t，z，t））通勤，因此，PDE（3.5.2）的解由pε1,0（t，x，z，t）给出=ZTtf（u，T）duAεP（t，x，z，t）。因此，通过求解上述积分，我们得到（3.5.2）。3.5.3计算Pδ0,1为了计算P0,1，我们需要考虑δ中的1/2阶项，更明确地说是以下项：(-1,1/2）：LP0,1=0，（3.30）(-1/2,1/2）：LP1,1+LP0,1+MP=0，（3.31）（0,1/2）：LP2,1+LP1,1+MP1,0+LP0,1+MP=0。（3.32）回想一下，由方程（3.4）和（3.4）定义的地块对y进行导数。选择P0,1=P0,1（t，x，z，t）和P1,1=P1,1（t，x，z，t）独立于y，前两个方程（3.5.3）和（3.5.3）是满足的。最后一个方程（3.5.3）变成了SLP2,1+LP0,1+MP=0，因此该泊松方程的可解性条件为P2,1+LP0,1+MPi=0。从（3.4）我们得到mp=ρ′η（z）′η（z）（1）- E-2κ（T-t） ）2κe-κ（T-t） η（y，z）g（z）DP+ρe-κ（T-t） η（y，z）g（z）DzP，然后，如果我们写Pδ0,1（t，x，z，t）=√δP0,1（t，x，z，t），上述可解性条件可以写成LB（¨σ（t，z，t））Pδ0,1=-f（t，t）AδP- f（t，t）AδP，Pδ0,1（t，x，z，t）=0，（3.33），其中δ=Vδ（z）D，Aδ=Vδ（z）Dz、 Vδ（z）=√δ2κρhη（·z）ig（z）‘η（z）’η（z），f（t，t）=e-κ（T-（t）- E-3κ（T-t） ，Vδ（z）=√Δρhη（·，z）ig（z），f（t，t）=e-κ（T-t） 。这个偏微分方程的解也可以显式计算pδ0,1（t，x，z，t）=（t- t） Vδ（z）（λ（t，t，t，κ）D+λ（t，t，t，κ）DD）PB（t，x，¨σt，t（z，t）），其中λ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，κ）- λ（t，t，t，3κ），λ（t，t，t，κ）=e-2κ（T-T） λ（T，T，T，κ）- λ（t，t，t，3κ）。附录C.3.6摘要和一些注释中给出了该计算的细节。我们现在总结了欧洲期货衍生品价格一阶渐近展开所涉及的公式。

我们记得，和以前一样，Dk=xk/xk。我们正式推导了Pεδ的一阶近似：Pεδ≈ P+Pε1,0+Pδ0,1，其中P（t，x，z，t）=PB（t，x，\'σt，t（z，t）），Pε1,0（t，x，z，t）=（t- t） λ（t，t，t，κ）Vε（z）（D+DD）PB（t，x，¨σt，t（z，t）），Pδ0,1（t，x，z，t）=（t- t） Vδ（z）（λ（t，t，t，κ）D+λ（t，t，t，κ）DD）PB（t，x，\'σt，t（z，t）），式中，\'η（z）=hη（·z）i，Vε（z）=-√ερφy（·，z）η（·，z）β,Vδ（z）=√δ2κρhη（·z）ig（z）’η（z）’η（z），λ（t，t，t，κ）=e-κ（T-（T）- E-κ（T-t） κ（t- t） ，λ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，3κ），λ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，t，κ）- λ（t，t，t，3κ），λ（t，t，t，κ）=e-2κ（T-T） λ（T，T，T，κ）- λ（t，t，t，3κ），λσ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，2κ）。\'σt，t（z，t）=\'η（z）λσ（t，t，t，κ）。微扰法的一个有价值的特点是，为了计算一阶近似值，我们只需要集团市场参数（κ、η（z）、Vδ（z）、Vε（z））的值。这一特征也可以被视为该近似的模型独立性和鲁棒性：在定理3.2所述的正则条件下，该近似独立于描述过程Yε和zδ的系数的特定形式，即模型（2）中涉及的函数α、β、c和g。从现在起，我们将使用以下符号“P（t，x，z，t）=P（t，x，z，t），（3.34）Pε，δ（t，x，z，t）=Pε1,0（t，x，z，t）+Pδ0,1（t，x，z，t），（3.35）3.7近似精度我们现在陈述在前面章节中确定的形式近似的精确精度结果。第3.4节中的所有推理都只是一个正式的过程，是对拟议一阶近似值的深思熟虑的选择。下一个结果显示了该近似值的精度顺序，并对之前做出的选择进行了后验调整。定理3.2。

这在之前关于这个主题的工作中没有实现，请参见第5.4.1节未来合同的近似买入价格和隐含波动率。我们假设t=0，不丧失一般性，并考虑F0上的欧洲买入期权，两个到期日t≤ T和K，即支付函数由φ（x）=（x）给出-K） +。由于我们对校准市场组参数以在固定时间t=0时调用价格感兴趣，我们将在公式中删除变量（t，x），并改为写入变量（t，K）。我们还将删除变量z，因为它应该只是一个参数。（T，K）-看涨期权的黑色公式由CB（T，K，σ）=e定义-rT（F0，TΦ（d（σ））- KΦ（d（σ）），其中d1,2（σ）=log（F0，T/K）±σTσ√T.让我们也表示‘d1,2=d1,2（’σ0，T），其中‘σ0，是（3.5.1）中定义的时间平均波动率，注意等式（3.6）满足‘P（0，F0，T，z，T）=CB（T，K，’σ0，T）。（4.1）以下黑市希腊人之间的关系是众所周知的，它们在以下方面至关重要：CBσ（T，K，σ）=TσDCB（T，K，σ），和dCBσ（T，K，σ）=1.-dσ√TCBσ（T，K，σ）（4.2）=+对数（K/x）σTCBσ（T，K，σ），其中运算符dk在（3.5.2）中定义。利用上述和（4.1）的关系，我们可以将（3.6）改写为‘Pε，δ=λ（T，T，κ）’σ0，TVε（z）+λ（T，T，κ）’σ0，TVε（z）+log（K/F0，T）’σ0，TT+λ（T，T，κ）’σ0，TVδ（z）+λ（T，T，κ）’σ0，TVδ（z）+对数（K/F0，T）’σ0，TT！！\'Pσ.现在，我们将价格Pε，δ转换为黑色隐含波动率I:CB（T，K，I（T，K，T））=Pε，δ=\'P+\'Pε，δ+·。评论由于在我们的模型中，我们没有现成的现货价格可供交易，所以我们使用期货。