基于流动性的限价订单随机模拟框架

，从每个参考价格中扣除。这里，p下标将指被动订单，即如果参考价格保持不变，不会导致立即执行的订单。d指直接订单或激进订单，在此情况下，我们再次理解，这些订单是相对于期初的参考价格而言的激进订单。因此，如图1所示，我们在bid和SK上以总lt=lp+LDL水平对活动进行积极建模。我们假设发生在更远的地方的活动与接近书籍顶部的活动不相关（如图2所示），因此不太可能对价格演变和成交量过程的性质产生太大影响。因此，处于主动建模LOB级别之外的卷(-ld+1，0, . . . , 在代理交互将这些级别带入主动建模级别的范围内之前，假设买卖中的lp）保持不变。为了展示模拟框架的细节，包括每个代理的随机模型组件，即流动性提供者和流动性需求者，我们首先定义以下符号：1。增值税=（Va，-ld+1t，Va，lpt）-时间t时askside上每个层级上的订单数量的随机向量，时间t2时LOB的活动建模层级上的订单数量。NLO，at=（NLO，a，-ld+1t，NLO，a，lpt）-在区间[t]的每一级，进入ask端limitorder book的限制订单数量的随机向量- 1，t）3。NC，at=（NC，a，1t，…，NC，a，ltt）-区间[t]内ask侧取消的限制指令数量的随机向量- 1，t）4。

NMO，at——流动性需求方在区间提交的市场订单数量的随机变量[t]- 1，t）我们认为限额订单和市场订单以及取消的流程与LOB中实际市场参与者的行为有关。在下文中，我们对两类流动性激励代理人的活动进行了建模，即流动性提供者和流动性需求者。当我们在离散时间间隔中建模LOB活动时，我们在每个时间间隔结束时按以下顺序处理聚合活动：1。流动性提供商代理2限制订单到达-被动。限制流动性供应商代理3的订单到达（主动或直接）。由流动性提供机构4取消。市场指令由流动性需求方代理。这种指令的基本原理是，绝大多数提交和取消的限价指令通常是由高频交易者的活动引起的，许多剩余指令在较慢的交易者可以执行之前被取消。此外，这样的订单允许我们根据LOB的状态设置条件，这样我们在特定级别上的取消不会比在该级别上的订单多。我们不认为这是一个限制，因为对于给定的模拟，我们考虑的时间间隔可以尽可能小。3.2随机代理表示：流动性提供者和需求者我们假设流动性提供者对所有做市行为负责（即LOB的买卖双方提交的限价单和取消限价单）。在将流动性过账到LOB后，寻求流动性的市场参与者，例如使用某种执行算法的共同基金，可以利用市场订单的剩余量。

对于做市商而言，在出价方和要求方执行的交易量之间实现平衡是有利的；然而，也存在逆向选择的风险，即针对具有更高信息的贸易商进行交易，这可能会导致损失，例如，如果贸易商发布的多个市场订单消耗了LOB多个级别的交易量。信息不对称导致的逆向选择风险是市场微观结构理论的基本原则之一[O\'hara，1995]。为了降低这种风险，做市商以不同的价格和/或不同的规模取消并重新提交订单。定义1（流动性提供方代理的限额订单提交流程）。考虑流动性提供方代理的limitorder提交流程，在账簿的买卖双方都包括被动和主动的limitorder，假设其具有以下随机模型结构：1。让多元路径空间随机矩阵NLO，k1:T∈ Nlt×T+可以由随机向量构造，用于极限顺序放置的数量NLO，k1:T=NLO，k，NLO，k，NLO，kT. 此外，假设在时间t时，每个级别的阶数的随机向量都有条件地依赖于极限阶数达到的强度的随机过程，由随机矩阵∧LO，k1:t给出∈ Rlt×T+和路径空间上的∧LO，k1:T=∧LO，k，∧LO，k，∧LO，kT. 在下面，k∈ {a，b}表示买卖双方各自的流程。2.假设随机向量具有条件独立性NLO，ks |∧LO，ks⊥⊥hNLO，kt |∧LO，kti，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(1)3. 对于每个时间间隔[t- 1，t）从当日交易开始，让随机向量表示在限价指令簿的每个主动建模级别中新下的限价指令数量，即对应于滴答声的价格点(-ld+1，0, 1, . . .

，lp），如图1所示，用NLO，kt=（NLO，k，-ld+1t，NLO，k，lpt），并假设这些随机向量满足条件独立性质hno，k，st |∧LO，k，sti⊥⊥hNLO，k，qt∧LO，k，qti，s6=q，s，q∈ {-ld+1，0, 1, . . . , lp}。(2)4. 假设随机向量NLO，kt∈ Nlt+按照多元广义Cox过程分布，条件分布为NLO，kt~ GCPλLO，kt由公共关系部提供NLO，k，-ld+1t=n，NLO，k，lpt=nlt∧LO，kt=λLO，kt=Qlps=-ld+1（λLO，k，st）NSN！扩展-λLO，k，sti（3）5。根据∧LO，ks，无条件假设潜在强度的随机向量的独立性⊥⊥ ∧LO，kt，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(4)6. 假设强度随机向量∧LO，kt∈ Rlt+是通过随机向量ΓLO，kt的元素转换获得的∈ Rlt，其中对于每个元素，我们有∧LO，k，st=uLO，k，sF的映射ΓLO，k，st（5） 我们这里有∈ {-ld+1，lp}，基线强度参数nuLO，k，so∈ R+和严格单调映射F:r7→ [0, 1].7. 假设随机向量ΓLO，kt∈ R根据多元斜t分布ΓLO，kt分布~带位置参数向量mk的MSt（mk，βk，νk，∑k）∈ Rlt，偏度参数向量βk∈ Rlt，自由度参数νk∈ N+和lt×ltcoveriance矩阵∑k。因此，ΓLO，kt有密度函数fΓLO，ktγt；mk，βk，νk，∑k=cKνk+lt√（νk+Q（γt，mk））[βk]t[∑k]-1βkexp（γt）-mk）T[∑k]-1βk√（νk+Q（γt，mk））[βk]t[∑k]-1βk-νk+lt1+Q（γt，mk）νkνk+lt（6），其中Kv（z）是由Kv（z）=z给出的第二类修正贝塞尔函数∞伊夫-1e-z（y+y）-1） dy（7）和c是归一化常数。我们还将函数Q（·，·）定义如下：Q（γt，mk）=（γt- mk）T∑k-1（γt- mk）（8）该模型还允许使用skew-t边缘和skew-t copula，详情见Smith等人[2012]。

重要的是，该随机模型允许以下比例混合表示，ΓLO，ktd=mk+βkW+√W Z（9）与反伽马随机变量W~ IGaνk，νk和独立的高斯随机向量Z~N0，∑k.8.假设对于来自随机向量NLO，kt的每个元素NLO，k，stof阶数，存在对应的随机向量OLO，k，st∈ 订单大小为NNLO、k、st+。我们假设元素OLO，k，si，t，i∈n1，NLO，k，STOI以OLO，k，si，t的形式分布~ H（·）。此外，我们假设订单大小是无条件独立的OLO，k，si，t⊥⊥ OLO、k、si、tfor i 6=i、s 6=sand t 6=t。我们现在定义了流动性提供者代理的第二个组成部分，即取消流程。取消过程与上述限购单提交过程具有相同的随机过程模型规范，包括投标和询价中每个LOB级别的随机强度之间的斜t依赖结构。因此，为了避免重复，我们仅在以下规范中规定了取消流程与订单安排模型定义之间的差异。定义2（流动性提供方代理的限额订单取消流程）。考虑流动性提供方代理的限额订单取消流程，使其具有与限额订单提交相同的特定随机模型结构。例外情况是，假设在每一级别的每个时间间隔内，取消的订单数量正好被该级别的订单总数截断。1.至于提交，我们假设取消是一个多元路径空间随机矩阵NC，k1:T∈ Nlt×T+由NC给出的取消订单数的随机向量构成，k1:T=NC，k，NC，k。

，北卡罗来纳州，kT.此外，假设这些随机向量在每个LTL水平上的取消顺序数，强度的潜在随机过程由随机矩阵∧C，k1:T给出∈ Rlt×T+，在路径空间中由∧C，k1:T给出=∧C，k，∧C，k，∧C，kT.2.假设对于随机向量Vkt，对于放置限制顺序后位于LOB中的体积，我们有Vkt=Vkt-1+NLO，kt，随机向量NC，kt∈ Nlt+按照截断的多变量广义Cox过程分布，条件分布为NC，kt |Vkt=v~ GCPλC，ktI（NC，kt<v）（带v=（v-ld+1，vlp）由PR提供NC，k，-ld+1t=n-ld+1，NC，k，lpt=nlp∧C，kt=λC，kt，~Vkt=v=lpYs=-ld+1（λC，k，st）NSN！Pvsj=0（λC，k，st）jj！。(10)3. 假设对于取消计数NC、k、st，具有最高优先级的订单从级别s（也是其各自队列中最早的订单）取消。还假设取消总是完全取消订单，即没有部分取消。我们通过考虑流动性需求代理人的规格来完成代表代理人的规格。定义3（流动性需求方代理的市场订单提交流程）。假设流动性提供者的代表代理人由市场订单组成，其具有以下随机结构：1。假设一个路径空间随机向量NMO，k1:T∈ N1×T+表示根据随机变量构造的市场订单数量，表示每个时间间隔内的市场订单数量，k1:T=NMO，k，NMO，k，NMO，kT.此外，假设对于这些随机变量，强度的潜在随机过程由随机变量∧MO，k1:T给出∈ Rlt×T+，在路径空间上由∧MO，k1:T给出=∧MO，k，∧MO，k，∧MO，kT.2.

假设随机变量具有条件独立性NMO，ks∧MO，ks⊥⊥hNMO，kt∧MO，kti，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(11)3. 假设对于随机变量Rkt，在下达限制指令和取消限制后，位于LOB另一侧的容积，我们有?Rkt=∑lps=1h?Vk，st-T- NC，k，sti，其中k=a，如果k=b，反之亦然，随机变量NMO，kt∈ N+根据截断的广义DCOX过程分布，条件分布为NMO，kt |Rkt=r~ GCPλMO，ktpr给出的I（NMO，kt<r）NMO，kt=nλMO，kt=λMO，kt，~Rkt=r=（λMO，kt）nn！Prj=0（λMO，kt）jj！。(12)4. 根据∧MO，ks，无条件假设潜在强度的随机向量的独立性⊥⊥ ∧MO，kt，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(13)5. 假设每个强度随机变量∧MO，kt∈ R+有一个相应的转换强度变量ΓMO，kt∈ R和每个元素的关系由∧MO，kt=uMO，kF的映射给出ΓMO，kt（14） 对于某些基线强度参数uMO，k∈ R+与严格单调映射F:r7→ [0, 1].6. 假设随机变量ΓMO，kt∈ R、 表征广义Cox过程变换前的强度，分布在区间[t]- 1，t）根据一元斜t分布ΓMO，kt~ St（mMO，kt，βMO，k，νMO，k，σMO，k）。假设对于市场订单计数的每个元素NMO，kT，都有一个对应的随机向量k，st∈ NNMO，kt+订单大小。我们假设元素OMO，ki，t，i∈n1，NMO、ktois根据OMO、ki、t进行分配~ H（·）。还假设市场订单大小是无条件独立的OMO、ki、t⊥⊥OMO，ki，tfor i 6=ior t 6=t。我们用随机向量Lt表示给定日期时间t的真实数据集的LOB状态，这对应于出价和要价的每个级别的价格和数量。

利用上述基于随机代理的模型规范，并给定一个参数向量θ（通常代表流动性提供和流动性需求代理类型的所有参数），还可以生成日内LOB活动的模拟，并得出合成状态L*t（θ）。模拟LOB在时间t的状态从时间t的状态中获得- 1和一组随机分量，通常用Xt表示，它们是从基于代理的模型的以下分量的单个随机实现中获得的：o限制订单提交强度∧LO，bt，∧LO，at，订单号NLO，bt，NLO，at和订单大小OLO，a，si，t，OLO，b，sj，t，其中s=-ld+1。lp，i=1。NLO，a，st，j=1。NLO，b，sto限额订单取消强度∧C，bt，C，A和取消数量NC，bt，NC，ato市场订单强度∧MO，bt，MO，at，市场订单数量NMO，bt，NMO，at，VMO，bt，VMO，A和市场订单大小OMO，ai，t，OMO，bj，t，i=1。NMO，at，j=1。NMO，bt这些随机特征与LOB，L的先前状态相结合*T-1（θ），产生新的状态*对于给定的一组参数θ，给定的byL*t（θ）=G（L）*T-1（θ），Xt）（15）G（·）是一种转换，它将LOB的先前状态和当前步骤中生成的活动映射到一个新步骤，与匹配引擎在每个事件后更新LOB的方式大致相同。然而，由于我们在离散的时间间隔内对活动进行建模，LOB仅在每个时间间隔结束时更新，而输入事件（限价订单、市场订单和取消）在第3节规定的订单中进行处理。1.

然后，在实现这些参数θ的条件下，LOB中的交易活动可以根据算法1.4基于模拟的可能性校准中描述的程序进行模拟。所有基于代理的建模框架的一个共同属性是，它们能够生成它们所代表的随机过程的实现，在我们的例子中是LOB过程。也就是说，给定一组关于代理参数的规范，代理模型的模拟是简单而有效的。然而，通常情况下，要么没有直接可处理（逐点评估）的似然模型，要么似然模型复杂且计算成本高。在这些情况下，当根据观察到的LOB数据校准此类模型时，基于似然推理的传统参数估计方法不直接适用。然而，有一系列方法尚未在基于代理的建模算法中得到广泛应用1基于代理的随机LOB模拟1：过程模拟（θ，T）2：对于T=1。T do3： 模拟流动性提供者限额订单的买卖。4：对于k=a，b-do5： 模拟限制订单提交的相关随机强度。6：样品ΓLO，kt=γLO，kt~ M St（mk，βk，νk，∑k）通过等式9.7：在等式5.8中应用变换λLO，kt=ukF（γLO，kt）： 模拟每个级别的出价/要求的相关限制订单计数。9：样本NLO，kt=NLO，kt~ GCPλLO，kt通过方程式3.10： 模拟限制订单大小。11：对于s=-ld+1。lp，i=1。

NLO，k，stdo12:OLO，k，si，t~ H（·）13： 模拟流动性提供者取消的限额订单买卖。14：对于k=a，b-do15： 评估每个级别的投标和询价的总数量。16:~VLO，kt=VLO，kt-1+NLO，kt=~vLO，kt17： 模拟买卖取消计数的相关随机强度。18：样本ΓC，kt=γC，kt~ M St（mC，k，βC，k，νC，k，∑C，k）通过等式9.19：在等式5.20中应用变换λC，kt=uC，kF（γC，kt）： 在每一级别的出价/要求中模拟相关的限价订单取消计数。21：样本NC，kt=NC，kt~ GCPλC，ktI（NC，kt<vLO，kt）通过等式10.22： 模拟流动性需求方市场订单。23：对于k=a，b-do24： 评估每一级别投标/报价的当前剩余量。25:RLO，kt=lps=1hVLO，k，st- NC，k，sti=~rLO，kt26： 模拟市场订单提交的随机强度。27：样品γMO，k~ St（mMO，kt，βMO，k，νMO，k，σMO，k）来自斜t分布。28：计算式14.29中的转换λMO，kt=uMO，kF（γMO，kt）： 模拟市场订单数量。30：样品NMO，kt |rLO，kt~ GCPλMO，ktI（NMO，kt<rLO，kt）通过等式12.31： 模拟市场订单大小。32：对于i=1。NMO，ktdo33:OMO，ki，t~ H（·）34:Lt← G（Lt）-1，NLO，at，NLO，bt，NC，at，NC，bt，NMO，at，at，OLO，at，OLO，bt，OMO，at，OMO，bt）返回L={L，…，LT}文献，允许人们仍然对基于模拟的格式指定的模型执行模型校准，即参数估计。我们模型的结构确保我们能够捕捉到不同LOB级别的活动之间的非线性依赖性等特征。该活动包括被动或主动提交的限价订单、取消订单和市场订单，并且可能由两类不同的代理人发起。鉴于这种复杂性，获得可能性的分布形式是不可能的。