基于流动性的限价订单随机模拟框架

它们的流行有几个原因：它们本质上是并行的，它们的特点是使用运算符组合和变异候选解决方案，以快速获得改进的解决方案，并能够在优化过程中捕获多个帕累托最优解决方案[Zitzler等人，2000]，这些解决方案可以分布在整个帕累托前沿。此外，为了更好地理解这种优化搜索框架和随机遗传搜索方法之间的关系，最近取得了一些进展，例如，见Emmerich等人[2013]中的讨论。在本文中，我们探索了在基于模拟的多目标II框架中利用自适应变异核来有效地探索参数空间，我们的方法将传统的遗传搜索算法与自适应MCMC方法中使用的自适应马尔可夫核相结合，如Haario等人[2006]、Roberts andRosenthal[2009]和Andrieu等人[2006]所研究的方法。本文中使用的MOEA基于Deb等人[2002]开发的NSGA-II（非支配排序遗传算法II）。这是一个精英主义的MOEA，在每一次迭代中，都会将最好的父解决方案与最好的解决方案结合起来，产生一系列新的候选解决方案。它产生了一个具有低计算要求（O（mN）计算复杂度，其中m是目标数，N是总体大小）的多样性的Paretooptimal front（即，由于算法使用了拥挤距离算子，解在整个front上分布良好）。该算法可能是最受欢迎的MOEA，经常被用作其他算法的性能基准[Coello等人，2007]。它已被用于各种应用，包括电力系统中的发电扩建规划问题[Kannan等人，2009]，以及地下水监测设计中的平衡目标Reed和Minsker[2004]。

此外，为了解决离散的多目标可分解问题，它在贝叶斯环境中得到了进一步的发展（见Khan[2003]，Khan等人[2002]，Laumansand Ocenasek[2002]）。在该算法中，我们还通过对基于随机代理的LOB模型参数θ的子集加入自适应全局和局部变异核来扩展特征。我们首先概述了优化算法的结构：1。首先，从可行域中随机初始化N个候选解的族或总体。2.对于每个解，计算目标函数，并获得反映帕累托优势的秩。也就是说，解决方案分为多个方面，第一个方面由不受任何其他解决方案支配的解决方案组成，第二个方面由仅受单一解决方案支配的解决方案组成，依此类推。解决方案还指定了一个拥挤距离值，表示与同一战线上其他解决方案的欧几里德距离。3.从这个解族中，应用拥挤比较算子，并根据它们的等级选择最佳解，如果是领带，则根据拥挤距离值选择最佳解。4.然后，应用一个或多个进化算子（在下一节中详细介绍）来进化所选的解决方案集。5.将新的解决方案与当前的解决方案系列相结合，并从第二步开始重复该过程，进行一定次数的迭代。该算法输出排名最高的非支配解集。我们将在下一节详细介绍多目标间接推理过程中使用的运算符。A.1算法设置和进化算子MOEA中使用的大量进化算子的详细信息可在Coello等人[2007]中找到。

在NSGAII中，除了迭代次数（在经济部术语中称为代数）之外，还必须首先为算法的每次迭代选择候选解的总体规模。在我们的优化中，我们使用了N=40个参数集的总体规模，并对总共40代进行优化。我们提到了一些用于在解决方案集中进化和选择的运算符，我们在这里提供了有关其功能的进一步信息：o选择运算符：从算法的第二次迭代开始，步骤3中将有2N组候选解。根据a）优势和b）拥挤距离，或解与相邻解的距离，选择最佳N个解。如果第一条战线上的解决方案数量少于N，则所有解决方案都会被选中，剩余的解决方案则取自其他战线。如果选择的解决方案数量必须少于某一特定战线上的解决方案数量，则选择拥挤距离值最高的解决方案交叉算子：使用模拟二进制交叉（SBX）算子。从两个候选解θ，θ，形成两个新解θ，θ，其中第k元素如下：θ1，k=[（1- αk）θ1，k+（1+αk）θ2，k]（23）θ2，k=[（1+αk）θ1，k+（1- αk）θ2，k]（24）这里，αkis是密度（α）=（η+1）αηcif 0<α的分布中的随机样本≤ 1（η+1）αηc+2如果α>1，我们使用概率为0.7且分布指数ηc=5的交叉算子变异算子：使用多项式变异算子。变异算子根据与边界的距离扰动解的元素。θk=θk+δk（θkU）- θkL），其中我们有δkδk=（（2γk）ηm+1- 1如果γk<0.51- [2(1 - γk）]ηm+1ifγk≥ 0.5这里，γkis均匀分布在（0，1）上，分布指数ηm=10。

多项式变异算子的使用概率为0.2。协方差矩阵变异和采样：上面讨论的NSGA-II算法只能为输出解向量生成二进制、整数或实数编码。然而，流动性提供者提交limitorder活动的随机过程需要指定一个正定义和对称性方差矩阵，用于从多元斜t分布生成强度。我们不能天真地扩展上述进化算子（交叉和变异），以产生新的协方差矩阵交叉解集，从而保证协方差矩阵的正不确定性和对称性约束得以保留。因此，我们提出了对MOEA的一个扩展，有效地是另一个将生成协方差矩阵的条件解的算子，这样每一个新的一代都保持在正有限矩阵的流形中。一旦应用了前面讨论的进化算子，该算子将生成新的候选协方差矩阵。为了确保优化算法能够高效地搜索可行解空间，并且不会陷入可能解空间的次优区域，我们的协方差矩阵采样算子有两个组件来执行探索和利用类型的移动。根据Peters等人[2012]的建议，变异核由具有不同参数的逆Wishart分布的混合组成，一个混合组件用于提供全局搜索（探索），另一个混合组件用于提供局部搜索（利用）。为了有效地做到这一点，它基于一种针对局部混合成分的自适应学习策略。

在这种情况下，该算法将以较高的概率探索局部区域，但以较小的概率进行可能较大的移动。我们现在描述一个完整的协方差变异步骤。在第n代MOEA中，我们生成{∑n，i}，i=1。N来自混合物分布q（N，∑i），定义如下：q（N，∑i）=（1- w） IW（ψn，p）+wIW（ψ，p），其中p，pare自由度参数与p<p，其中wi较小，因此从第二个分布进行采样的频率较低。这里，ψ表示一个无信息的正定义矩阵，其影响是，从第二个分布中取样会导致远离正在探索的局部区域。ψ也是一个正定义矩阵，根据与多目标优化前一阶段中成功提出的候选解决方案的样本平均值的矩匹配来确定，如下所示：ψn=Pnt=1wtnXt=1wtPNi=1rt，iNXi=1rt，i∑t，其中rt，ii是第t代中第i个解决方案的非支配秩，w<1是一个指数权重因子。B进一步的结果在第5.2节和第5.2节中，我们分别给出了参考模型和模型的校准结果，其中我们分别采用了某些假设。该校准使用单一资产（BNP Paribas）一天内的数据进行，以便能够提供有关目标函数值的详细结果、使用帕累托前沿上的单个解决方案的单个模拟的LOB演变，以及重复模拟的总结。在本节中，我们在2012年2月1日至2012年2月21日的每个交易日重复校准5项资产的参考模型（法国巴黎银行、法国农业信贷银行、道达尔股份有限公司、德希尼布股份有限公司和Sano Fi）。这些股票选自法国CAC40股票，因此是该国流动性最强的股票之一。

具体而言，我们选择了代表不同行业（银行、能源和制药）的资产，这些资产具有不同的规模（最低价格增量）和市值，因为这些都是影响日常交易活动的因素。我们将结果总结如下：我们首先分别校准每天和每个资产的参考模型，从中我们每次都获得一组J解（即帕累托前沿的非支配解）。对于每个解（参数向量^θj，j∈ 1.J） ，我们对LOB模型N=50次进行模拟，并将辅助模型与模拟数据进行匹配，以获得N个辅助模型参数向量βi，J，*βi，j，*, 我∈ 1.N.前者是ARIMA模型参数，适用于买卖双方的交易量过程，后者是GARCH模型参数，适用于原木收益。然后，我们可以为这些向量中的每个参数构造经验分布，并确定95%的置信区间。由此，我们可以确定，对于帕累托前沿的每项资产，辅助模型的参数系数是否与实际数据相符。在图14和图15中，我们显示了对于每个日期、每个资产和每个辅助模型参数，帕累托前沿上的解的比例，其中辅助模型系数与真实数据的比值在辅助模型系数与模拟数据的95%置信区间内。我们注意到，这一比例随着时间的推移而变化，正如人们所预期的，因为并非帕累托前沿的所有解决方案都会产生LOB动态，从而密切反映真实数据中观察到的结果。然而，我们注意到，对于大多数参数和大多数天数，该比例通常超过25%。