(90)形式为:dXi=ξidt+dWi(t)+ζiJidNi(t),(91)相应的Kolmogorov向后算子的形式为l(N)f=NXi=1NXj=1ρijfXiXj+ξifXi(92)+Pπ∈π(N)λπYi∈πJif~十、-Pπ∈π(N)λπf~十、≡ρf+ξ·f+Jf- νf,其中j~十、=Pπ∈π(N)λπYi∈πJif~十、, (93)Jif~十、= iZXif(X,…,Xi)- JXN)e-ijdj,(94)和i=σiθi/σ。我们可以在正锥R(N)+中建立一个典型的定价方程。我们有电视t、 ~X个+ L(N)Vt、 ~X个= χt、 ~X个, (95)Vt、 ~X0,k= φ0,kt、 ~是的, 五、t、 ~X个∞,K= φ∞,Kt、 ~是的, (96)VT、 ~X个= ψ~十、, (97)其中~X,~X0,k,~X∞,k、 ~Ykare N和N- 一维向量,~ X=(X,…,xk,…,xN),~ X0,k=十、0k。。。xN公司,~十、∞,k级=十、∞KxN公司,~Yk=(x,…xk-1,xk+1。。。xN)。(98)此处χt、 ~X个, φ0,k(t,~ y),φ∞,k(t,~ y),ψ~十、是已知的函数,是合同规定的。例如,联合生存概率Qt、 ~X个wehaveχt、 ~X个= 0,φ0,kt、 ~是的= φ∞,Kt、 ~是的= 0,ψ~十、= 1至X∈D(1,…,1)。(99)对应的伴随算子isL(N)+g~十、=ρg- ξ·g+J+g- νg,(100),其中j+g~十、=Pπ∈π(N)λπYi∈πJ+ig~十、, (101)J+ig~十、= iZ∞g(X,…,Xi+j,…,xN)e-ijdj,(102)很容易检查Zr(N)+hJif~十、G~十、- F~十、J+ig~十、id~X=0。(103)我们通过引入格林函数G来解方程(95)-(97)t、 ~X个, 或者更明确地说,Gt、 ~ x;0,~ X, 因此tG(t,~ x)- L(N)+G(t,~ x)=0,(104)Gt、 ^X(k)= 0,克t、 ^X(k)∞= 0,(105)克0,~ X= δ~十、-~十、. (106)很明显,(V G)t+LV G- V L+G=χG.(107)一些相对简单的代数产生(V G)t+ ·~F(V,G)+ 合资公司G- V J+G=χG,(108),其中~ F=(F,…,Fi,…FN)(109)=F(1)。。。,F(1)i。。。F(1)N+F(2)。。。,F(2)i。。。F(2)N≡~F(1)+~ F(2),F(1)i=VXiG+ξiV G+Xj<iρijVXjG、 F(2)i=-V GXi- 五、Xj>iρijGXj.格林定理yieldsV0,~ X=ZR(N)+ψ~十、GT、 ~X个d~X(110)+XkZTdtZR(N-1) +φ0,kt、 ~是的gK公司t、 ~是的d ~ Y-ZTZR(N)+χt、 ~X个Gt、 ~X个dtd~X,其中gkt、 ~是的=GXk公司t、 X。。。,0k。。。,XN公司.
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