使用OCMat从0D到1D空间模型

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英文标题：
《From 0D to 1D spatial models using OCMat》
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作者：
Dieter Grass
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We show that the standard class of optimal control models in OCMat can be used to analyze 1D spatial distributed systems. This approach is an intermediate step on the way to the FEM discretization approach presented in Grass and Uecker (2015). Therefore, the spatial distributed model is transformed into a standard model by a finite difference discretization. This (high dimensional) standard model is then analyzed using OCMAT. As an example we apply this method to the spatial distributed shallow lake model formulated in Brock and Xepapadeas (2008). The results are then compared with those of the FEM discretization in GRass and Uecker (2015)
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中文摘要：
我们证明了OCMat中的标准类最优控制模型可以用于分析一维空间分布式系统。该方法是格拉斯和尤克尔（2015）提出的有限元离散化方法的中间步骤。因此，通过有限差分离散化将空间分布模型转换为标准模型。然后使用OCMAT分析该（高维）标准模型。作为一个例子，我们将此方法应用于Brock和Xepapadeas（2008）提出的空间分布浅水湖模型。然后将结果与GRass和Uecker（2015）中的有限元离散结果进行比较
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> From_0D_to_1D_spatial_models_using_OCMat.pdf (1.69 MB)

2022-5-23 00:22:48 上传

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关键词：CMAT Mat intermediate Quantitative distributed

使用OCMatD从0D到1D空间模型。GrassORCOS，维也纳理工大学经济数学方法研究所，奥地利维也纳A-1040。电子邮件：dieter。grass@tuwien.ac.atJuly7，2021摘要我们表明，OCMAT中的标准类最优控制模型可用于分析一维空间分布式系统。该方法是格拉斯和尤克尔（2015）提出的女性离散化方法的中间步骤。因此，通过有限差分离散化将空间分布模型转换为标准模型。然后使用OCMat分析该（高维）标准模型。作为一个例子，我们将此方法应用于Brock和Xepapadeas【2008】制定的空间分布浅水湖模型。然后将结果与Grass和Uecker【2015】中的有限元离散结果进行比较。关键词：空间分布最优控制模型、有限差异离散化、浅水湖模型、模式差异阈值点1简介空间分布最优控制问题的分析（在有限的时间范围内）成为经济建模中的一个重要问题，参见Brock和Xepapadeas【2008】，Brock等人【2014】。从技术上讲，这意味着空间分布态的时间演化是由抛物线偏微分方程描述的。Brock和Xepapadeas【2008】中，作者提供了平衡的局部稳定性分析，即与导出的正则系统相关的椭圆偏微分方程的解。他们提出了一组导致这些平衡点图灵不稳定性的条件，并称之为分岔模式平衡点POSS解，即。

与均匀或平坦的最佳稳态（FOSS）相比，图形化/非均匀的最佳稳态。但是，正如Grass和Uecker【2015】所示，局部稳定性分析不足以证明非均相平衡溶液的合理性。为了回答最优性问题，必须比较收敛到不同平衡点的路径的目标值。这一分析也为关于差异阈值和阈值的讨论提供了新的线索，参见Kiselevand Wagener【2010年】、Kiseleva【2011年】。因此，我们引入了有缺陷和无缺陷平衡的新术语。这一性质区分了稳定或不稳定的最优平衡。由于一般情况下，偏微分方程无法解析求解，因此我们必须求助于数值方法。在Grass和Uecker【2015年】中，我们提出了一种数值程序，该程序依赖于衍生正则系统的有限元离散化，并结合了延拓策略，类似于OCMat中的方法，参见Grass【2012年】。作为一个示例，我们使用分布式浅水湖模型公式（19）。OCMat是一个MATLAB软件包，它为（非分布式）最优控制问题的数值分析提供了工具，尤其是在有限的时间范围内。可从以下网站下载：http://orcos.tuwien.ac.at/research/ocmat_software.This允许我们识别存在无缺陷POS的参数区域，以及缺陷POS和相应的稳定流形将FOSS和POS的吸引区域（阈值点/流形）分开的参数区域。

此外，我们能够证明同质/异质差异阈值（Skiba）点的存在，并计算了差异阈值点的连接流形。在本文中，我们采取一个中间步骤，对规范系统进行完全有限元近似，以证明OCMat标准最优控制类的能力，即有限时间水平问题，其中状态的时间演化由ODE描述。为了将OCMat过程直接应用于初始化和文件生成，我们通过有限差分格式（FD）离散状态方程的偏微分方程。这就产生了许多可以由OCMat处理的ODE。然后将该方法的数值结果与Grass和Uecker【2015】的类似结果进行比较。本文的结构如下。我们首先讨论和介绍了generalterms，并在第2节简要介绍了有限的差异离散化。在第3节中，我们总结了0D（非分布）浅水湖模型的重要性质和结果，该模型在Scheffer【1998】、M¨aler等人【2003】、Carpenter和Brock中介绍和分析。[2004]和Wagener[2003]。在下一节4中，将建立一维空间分布浅水湖泊模型及其离散化模型。然后对后一种模型进行了详细的数值分析。2一般定义2。1个空间尺寸为0（0D模型）的模型maxu（·）Z∞E-ρtg（x（t），u（t））dt（1a）s.t.˙x（t）=f（x（t），u（t））（1b）x（0）=x∈ 注册护士。（1c）带f∈ C（Rn×Rm，Rn），g∈ C（Rn×Rm，R）。Let（x*（·），u*（·））是式（1）的最优解。

然后存在λ（·），使得（x*（·），u*（·），λ（·））是正则系统˙x（t）=f（x）的解*（t） ，u（t））（2a）˙λ（t）=ρλ（t）- H（x*（t） ，u*（t） ，λ（t），λ）（2b）x*（0）=x（2c），带U*（t） =argmaxuH（x*（t） ，u，λ（t），λ）（2d）和h（x，u，λ，λ）：=λg（x，u）+λ>f（x，u），（2e）为了简化符号，我们进行以下假设假设假设2.1。问题等式（1）是正常的，即λ=1。因此，我们省略了参数λ。假设2.2。Let（x*（·），u*（·））是最优解，λ（·）是相应的协态。然后，存在一个显式函数uo（x，λ）∈ C（Rn×Rn，Rm），使得对于每个tH（x*（t） ，uo（十）*（t） ，λ（t）），λ（t））=最大值（x*（t） ，u，λ（t））。然后是一个最优解（x*（·），u*（·））可以在满足˙x（t）=f（x（t），λ（t））（3a）˙λ（t）=ρλ（t）的解中找到-\'Hx（x（t），λ（t））（3b）x（0）=x（3c），其中\'f（x（t），λ（t））：=f（x（t），uo（x（t），λ（t）））和'H（x（t），λ（t））：=H（x（t），uo（x（t），λ（t）），λ（t），1）。（3d）随后，我们将省略条形标志。定义2.1（OSS）。Let（x*（·），u*（·））带x*（·）≡ ^x∈ R和u*（·）≡ ^u∈ Rmbe问题（1）的最优解，其中x（0）=^x。然后（^x，^u）被称为最优平衡，并表示为asOSS。Let（^x，^λ）∈ R2nbe正则系统的平衡方程式（3）。然后（^x，^λ）∈ R2nis表示CSS和j（^x，^λ）：=df（x，λ）dxdf（x，λ）dλ-dH公司o（x，λ）dxr-dH公司o（x，λ）dλ（^x，^λ）（4）是相应的雅可比矩阵，如果没有歧义，我们只写^J。响应于J（^x，^λ）的特征空间表示为asEs（^x，^λ）：={ξ∈ C：J（^x，^λ）v=ξv，Reξ<0}，ns：=尺寸Es（^x，^λ）（5a）Eu（^x，^λ）：={ξ∈ C：J（^x，^λ）v=ξv，Reξ>0}，nu：=尺寸Eu（^x，^λ）（5b）Ec（^x，^λ）：={ξ∈ C：J（^x，^λ）v=0}，nc：=尺寸Ec（^x，^λ）。（5c）定义2.2（鞍点特性）。Let（^x，^λ）∈ R2nbe等式（3）的平衡。如果Dim Es（^x，^λ）=n（6），那么可以说，平衡满足鞍点性质（SPP）。

平衡（^x，^λ）表示为CSS。否则表示为CSS-. 数字（^x，^λ）：=ns- 如新大学- nc（7）称为（^x，^λ）的缺陷。缺陷d（^x，^λ）<0的平衡称为缺陷，否则称为无缺陷。如果（^x，^λ）有缺陷，且根据（^x，uo（^x，^λ））是OSS，那么（^x，uo（^x，^λ））称为有缺陷，否则称为无缺陷。提案2.1。Let（^x，^λ）∈ R2nbe等式（3）的平衡，ρ>0。然后（^x，^λ）满足相应雅可比J（^x，^λ）满足| Reξ的每个特征值ξ的鞍点性质-ρ|>ρ（8）证明。Grass等人[2008]证明存在n个（不一定是不同的）复数\'ξ∈ 带Re？ξ的C≥ 0，使得相应雅可比矩阵的任何特征值ξ满足ξ=ρ+(R)ξ或ξ=ρ-(R)ξ。这种对称性与SPP一起产生| Reξ-ρ|=Re'ξ>ρ，最后一个不等式相同，toRe'ξ>ρi eff Reξ<0。因此，n个特征值的负实数部分完成了证明。备注2.1。命题2.1允许我们通过等效公式（8）来制定SPP。要求等式（8）的PP定义的优点是，它也可以应用于分布式系统的平衡。如果依赖于稳定歧管尺寸的定义失效。2.2空间维度1的模型（1D模型）我们假设空间分布模型是通过引入一个扩散项导出的，而函数f和g与模型（1）相同。这个yieldsmaxu（·，·）Z∞ZL公司-Le公司-ρtg（x（z，t），u（z，t））dzdts。Ttx（z，t）=f（x（z，t），u（z，t））+Dx（z，t）Zx（z，t）Z±L=0x（z，0）=x（z），z∈ [-五十、 L）]。或改造[-五十、 L]变成[0，1]yieldsmaxu（·，·）Z∞Ze公司-ρtg（x（z，t），u（z，t））dzdt（9a）s.t。tx（z，t）=f（x（z，t），u（z，t））+D（2L）x（z，t）z（9b）x（z，t）Z0,1=0（9c）x（z，0）=x（z），z∈ [0，1]。

（9d）将Pontryagin的最大值原理应用于偏微分方程，参见例如，Tr¨oltzsch【2009】，我们可以推导出（9）的规范系统，类似于公式（3），如下所示：tx（z，t）=f（x（z，t），λ（z，t））+Dx（z，t）x（10a）tλ（z，t）=ρλ（z，t）-H（x（z，t），λ（z，t））十、- Dλ（z，t）x（10b）nx（z，t）| 0,1=0（10c）nλ（z，t）| 0,1=0（10d）x（z，0）=x（z），z∈ [0，1]。（10e）对于数值分析，我们可以使用有限元法（FEM）对公式（10）进行离散化。对于分布式浅水湖模型（参见第4节），这已在Grassand Uecker【2015】中进行。在本文中，我们想演示OCMat的功能，并将其转换为高维0D模型。对于FDM离散化，我们使用长度为h、Nh=1和N的等距网格∈ N、 ddzx（z）zi公司≈x（zi+h）- x（zi- h） 2h（11a）ddzx（z）zi公司≈x（zi- h）- 2x（zi）+x（zi+h）h（11b）Zg（z）dx≈ hN公司-1Xi=1g（zi）+g（z）+g（zN）！（11c）因此，模型（9）近似为Maxu（·），。。。，uN（·）N（Z∞E-ρtN-1Xi=1g（xi（t），ui（t））+g（x（t），u（t））+g（xN（t），uN（t））！dt）（12a）s.t.˙xi（t）=f（xi（t），ui（t））+DN（2L）（xi-1（t）- 2xi（t）+xi+1（t））（12b）x（t）- 十、-1（t）=xN+1（t）- xN公司-1（t）=0，t≥ 0（12c）xi（0）=xi，0。（12d）Zi=iN，i=0，Nxi（t）：=x（zi，t），ui（t）：=u（zi，t）xi：=x（zi，·），ui：=u（zi，·）注意，我们不考虑模型（12）近似（9）的条件下的问题。Werather认为，在空间浅水湖模型的特殊情况下，模型（12）理所当然地认为ifOCMat可以处理此类问题，并将结果与Grass和Uecker【2015】的结果进行比较。模型（12）的正则系统变为˙xi（t）=f（xi（t），λi（t））+D（x）i（t）（13a）˙λi（t）=ρλi（t）- Hx（xi（t），λi（t））- D（λ）i（t）（13b）xi（0）=xi，0。（13c）安度oi=ui（xi，λi）~D：=DN（2L）D（x）i：=D（x- x） i=0D（xi-1.- 2xi+xi+1）i=1，N- 1D（xN-1.- xN）i=ND（λ）i：=D（λ- 2λ）i=0D（2λ- 2λ+λ）i=1D（λi-1.- 2λi+λi+1）i=2。

N- 2D（λN-2.- 2λN-1+2λN）i=N- 1D（λN-1.- 2λNi=N）我们引入的缩写符号xd：=（x>，…，x>N）>∈ Rn（N+1）λd：=（λ>，…，λ>N）>∈ Rn（N+1）ud：=（u>，…，u>N）>∈ Rm（N+1）。定义2.3（FOSS和POS）。Let（xd，*（·），ud，*（·））带xd，*（·）≡ ^xd∈ Rn（N+1）和ud，*（·）≡^ud∈ Rm（N+1）是xd（0）=^xd的问题（1）的最优解。如果^x=^x=···=^xN=^x∈ Rnthen（^xd，^ud）称为FL（同质）最优稳态（FOSS），否则称为模式化（异质）最优稳态（POSS）。定义2.4（FCSS和PCSS）。Let（^xd，^λd）∈ R2n（N+1）是正则系统的平衡。（13） 。然后（^xd，^λd）被称为fl（齐次）稳态（FCSS）i ff^x=^x=····=^xN=^x（14），否则它被称为模式化（非齐次）稳态（PCSS）。如果FCSS（PCSS）满足PP，则表示为FCSS（PCSS），否则表示为FCSS-（PCS-).定义2.5（州共有状态空间）。设（xd（·），λd（·））为正则系统方程（13）的解。然后用kydjk（t）表示（kxdk（·），kλdk（·））：=NN-1Xi=1kyij（t）k+kyj（t）k+kyNj（t）k！，y=x，或y=λ，j=1，n、 （15）称为状态共状态空间中的解路径。备注2.2。在Brock和Xepapadeas【2008】中，FOSS（POSS）被引入为满足SPP的规范系统的FL（模式化）最优平衡。我们出于两个原因加强了这个术语1。为了更清晰，我们决定进一步区分规范系统和最优系统。2、存在不满足SPP的最优平衡，参见第4.4.1.3节无空间差异的浅水湖模型。浅水湖模型的一个著名版本，见Wagener【2003】，可以用asmaxu（·）Z表示∞E-ρtln（u（t））- cP（t）dt（16a）s.t.˙P（t）=u（t）- bP（t）+P（t）1+P（t）（16b）P（0）=P>0。

（16c）我们有时将模型（16）称为0D浅水湖模型。根据Pontryagin的最大值原理，我们发现正则系统˙P（t）=uo（t）- bP（t）+P（t）1+P（t）（17a）˙λ（t）=2cP（t）+λ（t）ρ+b-2P（t）（1+P（t））（17b）P（0）=P（17c），带Uo（t） =-λ（t）。（17d）Let（P*（·），u*（·））是式（16）的最优解；然后是P*（·）是IVP的唯一解决方案˙P（t）=u*（t）- bP（t）+P（t）1+P（t）（18a）P（0）=P.（18b）ODE（18a）被称为u*（t） 。Wagener[2003]证明了每个最优解（P*（·），u*（·））对于任意P>0，收敛到最优性系统的平衡点（^P，^u），且^u>0，通常取决于P。参数空间（b，c）中的详细分岔分析，见Wagener（2003）等，揭示了参数空间中存在的区域，其中最优系统由一个全局稳定的最优平衡点（^P，^u）组成两个局部稳定平衡（^Po，^uo）和（^Pe，^ue）。这些由以下状态值之一分隔–不稳定最优平衡的状态值^Pu（^Pu，^uu）。-一个被称为Skiba point的差异阈值PIalso。因此，我们可以对最优解决方案进行全面分类。在存在三个最优平衡的情况下，我们选择^Po和^Pesuch，即^Po<^Pu<^Pe。有一些中间情况（分歧情况），其中等式成立，但没有具体提及。我们还将^Peas称为富营养化，将^Poas称为寡营养平衡。全局稳定：对于任何初始状态P>0，存在唯一解（P*（·），u*（·））收敛到（^P，^u），独立于P。见图2c。局部稳定I：对于任何初始状态0<P<^，存在唯一解（P*（·），u*（·））收敛到（^Po，^u），与P无关。对于P>^put，存在唯一解（P*（·），u*（·））收敛到（^Pe，^u），它独立于P。

对于P=^，最优解为（P*（·），u*（·））≡ （^Pu，^uu）。见图3c。^pu称为临界点。局部稳定II：前一个病例的前两个陈述仍然正确，取代了^Puby PI。对于P=P，存在两个最优解（P*i（·），u*i（·）），i=1，2，收敛于（^Po，^u）和（^Pe，^u），且^Po<PI<^Pe。见图4c。PIS被称为差异阈值点或Skibapoint。从最优控制理论的角度来看，最后两种情况具有特殊的意义。firstcase通常被称为历史依赖，即最优解取决于其初始起始点。在第二种情况下，我们还观察到最优解的非唯一性，即差异。有关潜在分岔的详细讨论和描述，请参阅toKiseleva和Wagener【2010年】、Kiseleva【2011年】。表1规定了这两种典型情况的参数值。在第一种情况下，我们找到了一个差异阈值，在第二种情况下，我们找到了一个阈值。型号（16）型号（19）规格ρc b D L NI 0.03 0.5 0.65*0.5 2π/0.44 50II 0.3 3.5*0.55 0.5 2π/0.44 50表1：0D和1D模型的两种考虑方案的参数值。带上标的值*表示自由参数。分叉分析无论如何，这种分类是对正则系统方程（17）进行深入数值分析的结果。该分析包括其平衡点的分岔分析（见图1），以及相关稳定路径及其目标值的计算。数值计算是必要的，因为等式（17）中平衡点（^P，^λ）的局部性质让我们不要推断出^u=1/^λ的相应平衡点（^P，^u）是最优系统等式的最优平衡。（18a）。